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L'hypothèse la plus simple, et la première que nous devions examiner, c'est que ces forces supplémentaires dérivent d'un potentiel spécial dérivant des trois axes de l'ellipsoïde, et par conséquent de θ et de r; soit F(θ, r) ce potentiel; dans ce cas l'action aura pour expression:
L'hypothèse la plus simple, et la première que nous devions examiner, c'est que ces forces supplémentaires dérivent d'un potentiel spécial dérivant des trois axes de l'ellipsoïde, et par conséquent de θ et de r; soit F(θ, r) ce potentiel; dans ce cas l'action aura pour expression:


:<math>J=\int\left[H+F(\theta,r)\right]dt</math>
<center><math>J=\int\left[H+F(\theta,r)\right]dt</math></center>


et les conditions d'équilibre s'écriront:
et les conditions d'équilibre s'écriront:


(8) <math>\frac{dH}{d\theta}+\frac{dF}{d\theta}=0,\quad\frac{dH}{dr}+\frac{dF}{dr}=0</math>.
{{MathForm1|(8)|<math>\frac{dH}{d\theta}+\frac{dF}{d\theta}=0,\quad\frac{dH}{dr}+\frac{dF}{dr}=0.</math>}}


Si nous supposons r et &theta; liés par la liaison r = b&theta;<sup>m</sup>, nous pourrons regarder r comme fonction de &theta;, envisager F comme ne dépendant que de &theta; et conserver seulement la 1<sup>ere</sup> équation (8) avec:
Si nous supposons r et &theta; liés par la liaison r = b&theta;<sup>m</sup>, nous pourrons regarder r comme fonction de &theta;, envisager F comme ne dépendant que de &theta; et conserver seulement la 1<sup>ere</sup> équation (8) avec:


:<math>H=\frac{\varphi}{bk^{2}\theta^{m}},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{-m\theta}{bk^{2}\theta^{m+1}}+\frac{\varphi^{\prime}}{bk^{3}\theta^{m}}</math>
<center><math>H=\frac{\varphi}{bk^{2}\theta^{m}},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{-m\theta}{bk^{2}\theta^{m+1}}+\frac{\varphi^{\prime}}{bk^{3}\theta^{m}}</math></center>


Il faut que, pour k =&theta; l'équation (8) soit satisfaite; ce qui donne, en tenant compte des équations (7):
Il faut que, pour k =&theta; l'équation (8) soit satisfaite; ce qui donne, en tenant compte des équations (7):


:<math>\frac{dF}{d\theta}=\frac{ma}{b\theta^{m+3}}+\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}</math>
<center><math>\frac{dF}{d\theta}=\frac{ma}{b\theta^{m+3}}+\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}</math></center>


d'où:
d'où:


:<math>F=\frac{-a}{b\theta^{m+2}}\frac{m+\frac{2}{3}}{}{m+2}</math>
<center><math>F=\frac{-a}{b\theta^{m+2}}\frac{m+\frac{2}{3}}{m+2}</math></center>


et dans l'hypothèse de {{sc|Lorentz}}, où m=-1:
et dans l'hypothèse de {{sc|Lorentz}}, où m=-1:


:<math>F=\frac{a}{3b\theta}</math>.
<center><math>F=\frac{a}{3b\theta}.</math></center>>


Supposons maintenant qu'il n'y ait aucune liaison et, considérant r et &theta; comme deux variables indépendantes, conservons les deux équations (H); il viendra:
Supposons maintenant qu'il n'y ait aucune liaison et, considérant r et &theta; comme deux variables indépendantes, conservons les deux équations (H); il viendra:


:<math>H=\frac{\varphi}{k^{2}r},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{\varphi^{\prime}}{k^{3}r},\quad\frac{dH}{dr}=\frac{-\varphi}{k^{2}r^{2}}</math>,
<center><math>H=\frac{\varphi}{k^{2}r},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{\varphi^{\prime}}{k^{3}r},\quad\frac{dH}{dr}=\frac{-\varphi}{k^{2}r^{2}},</math></center>


Les équations (8) doivent être satisfaites pour k = &theta;, r = v&theta;<sup>m</sup>; ce qui donne:
Les équations (8) doivent être satisfaites pour k = &theta;, r = v&theta;<sup>m</sup>; ce qui donne:


(9) <math>\frac{dF}{dr}=\frac{a}{b^{2}\theta^{2m+2}},\quad\frac{dF}{d\theta}=\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}</math>.
{{MathForm1|(9)|<math>\frac{dF}{dr}=\frac{a}{b^{2}\theta^{2m+2}},\quad\frac{dF}{d\theta}=\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}.</math>}}
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