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L'hypothèse la plus simple, et la première que nous devions examiner, c'est que ces forces supplémentaires dérivent d'un potentiel spécial dérivant des trois axes de l'ellipsoïde, et par conséquent de θ et de r; soit F(θ, r) ce potentiel; dans ce cas l'action aura pour expression: |
L'hypothèse la plus simple, et la première que nous devions examiner, c'est que ces forces supplémentaires dérivent d'un potentiel spécial dérivant des trois axes de l'ellipsoïde, et par conséquent de θ et de r; soit F(θ, r) ce potentiel; dans ce cas l'action aura pour expression: |
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<center><math>J=\int\left[H+F(\theta,r)\right]dt</math></center> |
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et les conditions d'équilibre s'écriront: |
et les conditions d'équilibre s'écriront: |
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(8) |
{{MathForm1|(8)|<math>\frac{dH}{d\theta}+\frac{dF}{d\theta}=0,\quad\frac{dH}{dr}+\frac{dF}{dr}=0.</math>}} |
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Si nous supposons r et θ liés par la liaison r = bθ<sup>m</sup>, nous pourrons regarder r comme fonction de θ, envisager F comme ne dépendant que de θ et conserver seulement la 1<sup>ere</sup> équation (8) avec: |
Si nous supposons r et θ liés par la liaison r = bθ<sup>m</sup>, nous pourrons regarder r comme fonction de θ, envisager F comme ne dépendant que de θ et conserver seulement la 1<sup>ere</sup> équation (8) avec: |
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<center><math>H=\frac{\varphi}{bk^{2}\theta^{m}},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{-m\theta}{bk^{2}\theta^{m+1}}+\frac{\varphi^{\prime}}{bk^{3}\theta^{m}}</math></center> |
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Il faut que, pour k =θ l'équation (8) soit satisfaite; ce qui donne, en tenant compte des équations (7): |
Il faut que, pour k =θ l'équation (8) soit satisfaite; ce qui donne, en tenant compte des équations (7): |
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<center><math>\frac{dF}{d\theta}=\frac{ma}{b\theta^{m+3}}+\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}</math></center> |
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d'où: |
d'où: |
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<center><math>F=\frac{-a}{b\theta^{m+2}}\frac{m+\frac{2}{3}}{m+2}</math></center> |
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et dans l'hypothèse de {{sc|Lorentz}}, où m=-1: |
et dans l'hypothèse de {{sc|Lorentz}}, où m=-1: |
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<center><math>F=\frac{a}{3b\theta}.</math></center>> |
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Supposons maintenant qu'il n'y ait aucune liaison et, considérant r et θ comme deux variables indépendantes, conservons les deux équations (H); il viendra: |
Supposons maintenant qu'il n'y ait aucune liaison et, considérant r et θ comme deux variables indépendantes, conservons les deux équations (H); il viendra: |
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<center><math>H=\frac{\varphi}{k^{2}r},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{\varphi^{\prime}}{k^{3}r},\quad\frac{dH}{dr}=\frac{-\varphi}{k^{2}r^{2}},</math></center> |
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Les équations (8) doivent être satisfaites pour k = θ, r = vθ<sup>m</sup>; ce qui donne: |
Les équations (8) doivent être satisfaites pour k = θ, r = vθ<sup>m</sup>; ce qui donne: |
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(9) |
{{MathForm1|(9)|<math>\frac{dF}{dr}=\frac{a}{b^{2}\theta^{2m+2}},\quad\frac{dF}{d\theta}=\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}.</math>}} |