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« Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/22 » : différence entre les versions

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Soit en effet A l'intensité commune des deux champs, soit
Soit en effet A l'intensité commune des deux champs, soit


:<math>(x-x_{1})=r\lambda,\quad(y-y_{1})=r\mu,\quad(z-z_{1})=r\nu,\quad\lambda^{2}+\mu^{2}+\nu^{2}=1</math>.
<center><math>(x-x_{1})=r\lambda,\quad(y-y_{1})=r\mu,\quad(z-z_{1})=r\nu,\quad\lambda^{2}+\mu^{2}+\nu^{2}=1.</math></center>


Ces propriétés s'exprimeront par les égalités:
Ces propriétés s'exprimeront par les égalités:


⚫
<center><math>\begin{cases} & A^{2}=\sum f^{2}=\sum\alpha^{2},\quad\sum f\alpha=0,\quad\sum f\left(x-x_{1}\right)=0,\quad\sum\alpha\left(x-x_{1}\right)=0\\ \\ & \sum f\lambda=0,\quad\sum\alpha\lambda=0;\end{cases}</math></center>
:<math>\begin{cases}
⚫
& A^{2}=\sum f^{2}=\sum\alpha^{2},\quad\sum f\alpha=0,\quad\sum f\left(x-x_{1}\right)=0,\quad\sum\alpha\left(x-x_{1}\right)=0\\
\\ & \sum f\lambda=0,\quad\sum\alpha\lambda=0;\end{cases}</math>


ce qui veut dire encore que
ce qui veut dire encore que


<center><math>\begin{array}{ccccc} \frac{b}{A}, & & \frac{g}{A}, & & \frac{h}{A}\\ \\\frac{\alpha}{A}, & & \frac{\beta}{A}, & & \frac{\gamma}{A}\\ \\\lambda, & & \mu, & & \nu\end{array}</math></center>
:<math>\begin{array}{ccccc}
\frac{b}{A}, & & \frac{g}{A}, & & \frac{h}{A}\\
\\\frac{\alpha}{A}, & & \frac{\beta}{A}, & & \frac{\gamma}{A}\\
\\\lambda, & & \mu, & & \nu\end{array}</math>


sont les cosinus directeurs de trois directions rectangulaires, et on en déduit les relations:
sont les cosinus directeurs de trois directions rectangulaires, et on en déduit les relations:


:<math>f=\beta\nu-\gamma\mu,\quad\alpha=h\mu-g\nu</math>,
<center><math>f=\beta\nu-\gamma\mu,\quad\alpha=h\mu-g\nu,</math></center>


ou
ou


(6) <math>fr=\beta\left(z-z_{1}\right)-\gamma\left(z-z_{1}\right)\quad\alpha r=h\left(y-y_{1}\right)-g\left(z-z_{1}\right)</math>,
{{MathForm1|(6)|<math>fr=\beta\left(z-z_{1}\right)-\gamma\left(y-y_{1}\right)\quad\alpha r=h\left(y-y_{1}\right)-g\left(z-z_{1}\right),</math>}}


avec les équations que l'on en peut déduire par symétrie.
avec les équations que l'on en peut déduire par symétrie.
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Si nous reprenons les équations (3) du § 1, nous trouvons:
Si nous reprenons les équations (3) du § 1, nous trouvons:


⚫
{{MathForm1|(7)|<math>\begin{cases} x^{\prime}-x_{1}^{\prime}=kl\left[\left(x-x_{1}\right)+\epsilon\left(t-t_{1}\right)\right]=kl\left[\left(x-x_{1}\right)+\epsilon r\right],\\ \\y^{\prime}-y_{1}^{\prime}=l\left(y-y_{1}\right),\\ \\z^{\prime}-z_{1}^{\prime}=l\left(z-z_{1}\right).\end{cases}</math>}}
(7) <math>\begin{cases}
⚫
x^{\prime}-x_{1}^{\prime}=kl\left[\left(x-x_{1}\right)+\epsilon\left(t-t_{1}\right)\right]=kl\left[\left(x-x_{1}\right)+\epsilon r\right],\\
\\y^{\prime}-y_{1}^{\prime}=l\left(y-y_{1}\right),\\
\\z^{\prime}-z_{1}^{\prime}=l\left(z-z_{1}\right).\end{cases}</math>


Nous avons trouvé plus haut au § 3:
Nous avons trouvé plus haut au § 3:


:<math>l^{4}\left(\sum f^{\prime2}-\sum\alpha^{\prime2}\right)=\sum f^{2}-\sum\alpha^{2}</math>.
<center><math>l^{4}\left(\sum f^{\prime2}-\sum\alpha^{\prime2}\right)=\sum f^{2}-\sum\alpha^{2}.</math></center>


Donc <math>\sum f^{2}=\sum\alpha^{2}</math> à entraine <math>\sum f^{\prime2}-\sum\alpha^{\prime2}</math>.
Donc <math>\sum f^{2}=\sum\alpha^{2}</math> à entraine <math>\sum f^{\prime2}-\sum\alpha^{\prime2}.</math>


D'autre part, en partant des équations (9) du § 1, on trouve:
D'autre part, en partant des équations (9) du § 1, on trouve:


:<math>l^{4}\sum f^{\prime}\alpha^{\prime}=\sum f\alpha</math>,
<center><math>l^{4}\sum f^{\prime}\alpha^{\prime}=\sum f\alpha,</math></center>


ce qui montre que <math>\sum f\alpha=0</math> entraine <math>\sum f^{\prime}\alpha^{\prime}=0</math>.
ce qui montre que <math>\sum f\alpha=0</math> entraine <math>\sum f^{\prime}\alpha^{\prime}=0</math>.
Ligne 50 : Ligne 42 :
Je dis maintenant que
Je dis maintenant que


(8) <math>\sum f^{\prime}\left(x^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)=0\quad\sum\alpha^{\prime}\left(x^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)=0</math>.
{{MathForm1|(8)|<math>\sum f^{\prime}\left(x^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)=0,\quad\sum\alpha^{\prime}\left(x^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)=0.</math>}}


En effet, en vertu des équations (7) (ainsi que des équations 9 du § 1) fa premiers membres des deux équations (8) s'écrivent respectivement:
En effet, en vertu des équations (7) (ainsi que des équations 9 du § 1) fa premiers membres des deux équations (8) s'écrivent respectivement:


:<math>\frac{k}{l}\sum f\left(x-x_{1}\right)+\frac{k\epsilon}{l}\left[fr+\gamma\left(y-y_{1}\right)-\beta\left(z-z_{1}\right)\right]</math>,
{{MathForm1||<math>\frac{k}{l}\sum f\left(x-x_{1}\right)+\frac{k\epsilon}{l}\left[fr+\gamma\left(y-y_{1}\right)-\beta\left(z-z_{1}\right)\right],</math>


:<math>\frac{k}{l}\sum\alpha\left(x-x_{1}\right)+\frac{k\epsilon}{l}\left[\alpha r+h\left(y-y_{1}\right)-g\left(z-z_{1}\right)\right]</math>.
<math>\frac{k}{l}\sum\alpha\left(x-x_{1}\right)+\frac{k\epsilon}{l}\left[\alpha r-h\left(y-y_{1}\right)-g\left(z-z_{1}\right)\right].</math>}}
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