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On sait qu'on peut les intégrer par les potentiels retardés et qu'on a:
On sait qu'on peut les intégrer par les potentiels retardés et qu'on a:


(2) <math>\psi=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\rho_{1}d\tau}{r},\quad F=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\rho_{1}\xi_{1}d\tau_{1}}{r}</math>.
{{MathForm1|(2)|<math>\psi=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\rho_{1}d\tau}{r},\quad F=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\rho_{1}\xi_{1}d\tau_{1}}{r}.</math>}}


Dans ces formules on a:
Dans ces formules on a:


:<math>d\tau_{1}=dx_{1}dy_{1}dz_{1},\quad r^{2}=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}</math>,
<center><math>d\tau_{1}=dx_{1}dy_{1}dz_{1},\quad r^{2}=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2},</math></center>


tandis que &rho;<sub>1</sub>, et &xi;<sub>1</sub>, sont les valeurs de &rho; et de &xi; au point x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>, et à l'instant
tandis que &rho;<sub>1</sub>, et &xi;<sub>1</sub>, sont les valeurs de &rho; et de &xi; au point x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>, et à l'instant


<center><math>t_{1}=t-r\,</math></center>
:''t<sub>1</sub>=t-r''.


Soient: x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub> les coordonnées d'une molécule d'électron à l'instant t;
Soient: x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub> les coordonnées d'une molécule d'électron à l'instant t;
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ses coordonnées à l'instant t;
ses coordonnées à l'instant t;


:''x<sub>1</sub>=x<sub>0</sub>+U, y<sub>1</sub>=y<sub>0</sub>+V, z<sub>1</sub>=z<sub>0</sub>+W''
<center><math>x_{1}=x_{0}+U,\ y_{1}=y_{0}+V,\ z_{1}=z_{0}+W</math></center>


U, V, W sont des fonctions de x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>, de sorte que nous pourrons écrire:
U, V, W sont des fonctions de x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>, de sorte que nous pourrons écrire:


:<math>dx_{1}=dx_{0}+\frac{dU}{dx_{0}}dx_{0}+\frac{dU}{dy_{0}}dy+\frac{dU}{dz_{0}}dz+\xi_{1}dt_{1}</math>;
<center><math>dx_{1}=dx_{0}+\frac{dU}{dx_{0}}dx_{0}+\frac{dU}{dy_{0}}dy_{0}+\frac{dU}{dz_{0}}dz_{0}+\xi_{1}dt_{1};</math></center>


et si l'on suppose t constant, ainsi que x, y et z:
et si l'on suppose t constant, ainsi que x, y et z:


:<math>dt_{1}=+\sum\frac{x-x_{1}}{r}dx_{1}</math>.
<center><math>dt_{1}=+\sum\frac{x-x_{1}}{r}dx_{1}.</math></center>


Nous pouvons donc écrire:
Nous pouvons donc écrire:


:<math>dx_{1}\left(1+\xi_{1}\frac{x_{1}-x}{r}\right)+dy_{1}\xi_{1}\frac{y_{1}-y}{r}+dz_{1}\xi_{1}\frac{z_{1}-z}{r}=dx_{0}\left(1+\frac{dU}{dx_{0}}\right)+dy_{0}\frac{dU}{dy_{0}}+dz_{0}\frac{dU}{dz_{0}}</math>
<center><math>dx_{1}\left(1+\xi_{1}\frac{x_{1}-x}{r}\right)+dy_{1}\xi_{1}\frac{y_{1}-y}{r}+dz_{1}\xi_{1}\frac{z_{1}-z}{r}=dx_{0}\left(1+\frac{dU}{dx_{0}}\right)+dy_{0}\frac{dU}{dy_{0}}+dz_{0}\frac{dU}{dz_{0}}</math></center>


avec les deux autres équations qu'on peut en déduire par permutation circulaire.
avec les deux autres équations qu'on peut en déduire par permutation circulaire.
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Nous avons donc:
Nous avons donc:


(3) <math>d\tau_{1}\mid1+\xi_{1}\frac{x_{1}-x}{r},\quad\xi_{1}\frac{y_{1}-y}{r},\quad\xi_{1}\frac{z_{1}-z}{r}\mid=d\tau_{0}\mid1+\frac{dU}{dx_{0}},\quad\frac{dU}{dy_{0}},\quad\frac{dU}{dz_{0}}\mid</math>,
{{MathForm1|(3)|<math>d\tau_{1}\mid1+\xi_{1}\frac{x_{1}-x}{r},\quad\xi_{1}\frac{y_{1}-y}{r},\quad\xi_{1}\frac{z_{1}-z}{r}\mid=d\tau_{0}\mid1+\frac{dU}{dx_{0}},\quad\frac{dU}{dy_{0}},\quad\frac{dU}{dz_{0}}\mid,</math>}}


en posant
en posant


:<math>d\tau_{0}=dx_{0}dy_{0}dz_{0}</math>.
<center><math>d\tau_{0}=dx_{0}dy_{0}dz_{0}\,</math></center>


Étudions les déterminants qui figurent dans les deux membres de (3) et d'abord dans le 1<sup>er</sup> membre; si on cherche à le développer, on voit que les termes du 2<sup>d</sup> et du 3<sup>e</sup> degré par rapport à &xi;<sub>1</sub>, &eta;<sub>1</sub>, &zeta;<sub>1</sub> disparaissent et que le déterminant est égal à
Étudions les déterminants qui figurent dans les deux membres de (3) et d'abord dans le 1<sup>er</sup> membre; si on cherche à le développer, on voit que les termes du 2<sup>d</sup> et du 3<sup>e</sup> degré par rapport à &xi;<sub>1</sub>, &eta;<sub>1</sub>, &zeta;<sub>1</sub> disparaissent et que le déterminant est égal à


:<math>1+\xi_{1}\frac{x_{1}-x}{r},\quad1+\eta_{1}\frac{y_{1}-y}{r},\quad1+\zeta_{1}\frac{z_{1}-z}{r}=1+\omega</math>,
<center><math>1+\xi_{1}\frac{x_{1}-x}{r}+\eta_{1}\frac{y_{1}-y}{r}+\zeta_{1}\frac{z_{1}-z}{r}=1+\omega,</math></center>


&omega; désignant la composante radiale de la vitesse &xi;<sub>1</sub>, &eta;<sub>1</sub>, &zeta;<sub>1</sub>, c'est-à-dire la composante dirigée suivant le rayon vecteur qui va dit point x, y, t au point x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>.
&omega; désignant la composante radiale de la vitesse &xi;<sub>1</sub>, &eta;<sub>1</sub>, &zeta;<sub>1</sub>, c'est-à-dire la composante dirigée suivant le rayon vecteur qui va dit point x, y, t au point x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>.
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Pour obtenir le 2<sup>d</sup> déterminant, j'envisage les coordonnées des différentes molécules de l'électron à un instant t', qui est le même pour toutes les molécules, mais de telle façon que pour la molécule que j'envisage on ait t<sub>1</sub>=t'<sub>1</sub>. Les coordonnées d'une molécule seront alors:
Pour obtenir le 2<sup>d</sup> déterminant, j'envisage les coordonnées des différentes molécules de l'électron à un instant t', qui est le même pour toutes les molécules, mais de telle façon que pour la molécule que j'envisage on ait t<sub>1</sub>=t'<sub>1</sub>. Les coordonnées d'une molécule seront alors:


:''x'<sub>1</sub>=x<sub>0</sub>+U', y'<sub>1</sub>=y<sub>0</sub>+V', z'<sub>1</sub>=z<sub>0</sub>+W' ''
<center><math>x'_{1}=x_{0}+U',\ y'_{1}=y_{0}+V',\ z'_{1}=z_{0}+W'</math></center>
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