« Papiers et écrits mathématiques » : différence entre les versions

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Je dois aussi des remerciements à M. Paul Dupuy, dont tous les géomètres connaissent la belle Notice sur la vie d'Évariste Galois, publiée dans ''les Annales scientifiques de L'École Normale''<ref>Tome XIII (1,q96) de la 3e série. Cette Notice a été reproduite, avec le portrait de Galois, dans les ''Cahiers de la quinzaine'' [ 2e cahier de la 5e série (1903)].</ref>.
 
 
==__MATCH__:[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/9]]==
M. Dupuy a bien voulu procéder à un premier classement des manuscrits qui m'avaient été remis et en séparer ceux qui appartiennent incontestablement à Galois, dont il connaît bien l'écriture.
 
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(pages : 25-32).
 
Dimension du papier : 31 x 20. La lettre, datée deux fois, au commencement et à la fin (29 mai 1832), contient sept pages : le bas
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/10]]==
de la septième, au-dessous de la signature, a été coupé sur une longueur d'environ 8 cm.
 
Le verso de la dernière page contient le brouillon de deux lettres, d'ailleurs biffées, dont l'une porte une date, biffée aussi ; on lit 14 mai 83 ; il est vraisemblable que Galois a écrit sa lettre à Chevalier sur la première feuille venue, une feuille sur laquelle il avait griffonné une quinzaine de jours auparavant.
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''entre nous. Au reste M. soyez (?)''<br>
''persuadé qu'il n'en aurait sans doute''<br>
''jamais
''jamais été davantage ; vous supposez''<br>
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/11]]==
''jamais été davantage ; vous supposez''<br>
''mal et vos regrets sont mal fondés.''<br>
''La vraie amitié n'existe guère''<br>
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''faveur.''
 
J'ai collationné le manuscrit avec le texte imprimé : il n'est guère utile de parler de quelques changements de notation, sans aucune importance, qui remontent à Liouville, de dire que Galois a écrit ''bulletin ferussac'' et non Bulletin de Férussac, ou encore de signaler, page 29 des ''Œuvres'', ligne 24, la substitution du mot « équation » au mot « réduction » que le sens indique suffisamment et qu'on lit dans le manuscrit et dans le texte de Liouville. Le point le plus intéressant est que le théorème de Legendre (page 3o, ligne 31)
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/12]]==
page 3o, ligne 31)
 
FE'+ EF'- FF' = <math> \frac{\pi}{2} </math>,
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''J'ai jugé convenable de placer en tête de ce Mémoire la préface qu'on va lire, bien que je l'aie trouvée biffée dans le manuscrit. Ce manuscrit est précisemment celui que l'auteur présenta à l'Académie.''
 
La dernière phrase de cette note, qui figure dans la copie de Chevalier et sur l'épreuve dont j'ai parlée, a disparu du texte définitif. Liouville a-t-il voulu effacer la légère contradiction entre le texte et la note, a-t-il cru devoir se conformer au désir de Galois, qui semble avoir souhaité qu'on ignorât que ce Mémoire etait celui-la même qu'il avait présenté à l'Académie ; a-t-il jugé lui-même que, pour des raisons de convenance envers l'Académie, cette
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ignorance était préférable ? C'est là, en vérité, des questions dont la réponse importe bien peu, non plus que la petite inexactitude du mot ''extrait''. Il importe beaucoup plus que le texte du Mémoire de Galois ne se soit pas égaré, comme le précédent, et qu'il ait pu être remis l'auteur, qui y a fait plusieurs remaniements : ceux-ci, le plus souvent, peuvent se distinguer par l'écriture. La conjecture de Chevalier, à savoir que « Galois a relu son Mémoire pour le corriger avant d'aller sur le terrain » (note de la page 40), est tout a fait vraisemblable.
 
La première page de la couverture, qui subsiste, est fort sale, tachée d'encre, couverte de gribouillages, de bouts de calcul, à l'encre on au crayon, au recto et au verso, dans tous les sens ; quelques-unes des formules laissent supposer que Galois, en les traçant, pensait à quelque point de la théorie des fonctions elliptiques ; d'autres se rapportent à une suite récurrente.
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Le manuscrit contient onze pages (38 x 25) ; la marge occupe la moitié de chaque page ; elle contient plusieurs notes et additions, dont les Lines remontent peut-être à la première rédaction, dont les autres ont été sans doute ajoutées par Galois, lorsqu'il a revu son travail pour la dernière fois telle est assurément celle qu'a signalée Chevalier, le tragique « Je n'ai pas le temps ».
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/14]]==
 
En marge de la seconde page, on trouve ces quatre noms :
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</ref> et son propre commentaire fussent publiés. Au surplus, les notes de Poisson et de Galois figurent dans la copie de Chevalier et dans l'épreuve. Liouville les a supprimées finalement, pour des raisons évidentes.
 
La note de la page 37 des ''Œuvres'' est en face du lemme IV et semble le d'une encre différente de celle du texte; mais il ne me parait nullement certain que ce soit une addition de la dernière heure:
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/15]]==
je crois que Galois a dû, à cette dernière heure, remanier et développer hâtivement la démonstration de ce lemme IV; elle ne comportait probablement, dans le texte primitif, que quatre ou cinq lignes; elle est maintenant écrite, partie dans la marge, partie dans le blanc qui restait au bas de la page, d'une écriture serrée, nerveuse : au reste, un mot injurieux, biffé, et qui est de la même encre que le « chérubins » de la couverture ne laisse guère de doute sur l'impatience que ce passage a fait éprouver l'auteur.
 
La note de la page 38 des ''Œuvres'' est en marge, en face de la proposition I. A la site de cette note, avec l'indication « à reporter dans les définitions », se trouve ce qui est imprimé pages 35 et 36, à partir de la ligne 22 (Les substitutions sont…) jusqu'à la ligne 3 (la substitution ST); ce passage est en face du texte imprimé du milieu de la page 38 au milieu de la page 39.
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« ''Il y a quelque chose…'' »
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C'est ainsi qu'elle figure dans l'épreuve. Les six premières lignes de la note de la page 40 sont donc de Liouville.
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Désignons par, '(V) = o l'équation dont l'auteur parle, et soient f(NV, r), f1(V,,..., f..., - ) les facteurs irréductibles dans lesquels, (V) devient décomposable par l'adjonction de r, en sorte que, ( V) = f( ) (,,) 7( v (, )... / (V, I,). Comme r est racine d'une équation irréductible, on pourra dans le second membre remplacer r par r', 'r",., r(1). Ainsi (V)I) est le produit des i quantités suivantes f(V, /).(V, )... f(V, )(-') f,(V, r) fi(V, r')... fl(V,,.(-i)).fi- I (V,,')fi-i(V, I.,)... fi-i(V, 7(p-1)), dont chacune, symétrique en r, r',..., r' (P-1 et par suite exprimable en fonction rationnelle de V indépendamment de toute adjonction, doit diviser I(V)P et se réduire en conséquence a une simple puissance cl polynome q(V) qui cesse de se résoudre en facteurs lorsqu'on n'adjoint pas les auxiliaires r, r', etc. J'ajoute que le degré de la puissance est le même pour toutes. En effet, les équations J(V, r') = o,fl(V, r)= o,...,fi-_(V, r) = o qui dérivent de,'(V)= o et dont les racines sont fonctions rationnelles les unes des autres ne peuvent manquer d'être du même degré. En faisant donc .f(V,,)f(V, ')...f(V, (/,-,))- = (V)IV, on en conclura p = il. Mais p est premier ct i > i; donc on a i = p, d'o-) r = t, ct enfin (V) = f(V, r)f(V, r')... f(V,,(v —li). Cc qu'il fallait demontrer. LIOUVIILE.
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/17]]==
 
Assurément, en rédigeant cette note, Liouville se conformait au précepte d'être ( transcendantalement clair ) qu'il a rappelé dans l'avertissement aux ''Œuvres'' mathématiques de Galois. Il s'est aperçu ensuite en réfléchissant davantage, que la proposition T1 n'impliquait pas que le nombre p fit premier et il a soigneusement noté les différences essentielles entre les deux rédactions successives de l'auteur. Qu'il ait reculé devant les explications nécessaires pour donner à la pensee de Galois toute la clarté qu'il faudrait, cela, aujourd'hui, n'a aucun inconvénient. Page 41 des ''Œuvres'', les lettres l, v remplacent les lettres p, n dont s'est servi Galois ; pareil changement a été fait dans la lettre à Chevalier ; ces petites modifications, destinées à éviter des confusions possibles, sont de Liouville : les lettres p, n figurent encore dans l'épreuve. Les lignes 7, 8, 9 de la même page sont une addition marginale, mais qui ne semble pas de la dernière heure. Cette addition est suivie de la nouvelle rédaction de la proposition III, datée de 1832, sur laquelle l'attention est appelée dans la note qui est au bas de la page qui nous occupe. Ici encore, Liouville est intervenu ; la note de Chevalier était ainsi conçue. Dans le manuscrit de Galois l'énoncé du théorème qu'on vient de lire se trouve en marge et vis-à-vis de la démonstration qu'il en avait écrite d'abord. Celle-ci est effacée avec soin ; l'énoncé précédent porte la date 1832 et montre par la manière dont il est écrit que l'auteur était extrêmement pressé : ce qui confirme l'assertion que j'ai avancée dans la note précédente. C'est donc Liouville qui a déchiffré et intercalé le texte periiniif de la proposition III. La phrase (il suffit... substitutions), placée entre parenthèses au bas de la page 43 des OEuvres et en haut de la page 44, est une note marginale. Page 46, ligne a4, Galois a simplement écrit ( Journal de lE col(, XVII ). Il y a dans les manuscrits de Galois une feuille (double) qui est une sorte de brouillon de la proposition V ; ce brouillon a plasse en grande partie dans la rédaction du Mémoire ('). Ic ) Jc e pcnc l pas lU'il )y;it ilrit l pub!lier (,c brouillon.
 
- I -
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/18]]==
 
Avant de parler du manuscrit contenant le fragment imprimé dans les dernières pages des ''Œuvres'', je dois dire un mot d'une feuille détachée (') en partie d(eclli'e, qui, par le format du papier, la couleur de l'encre et la forme de l'écriture, parait avoir appartenu au cahier dont ce manuscrit faisait partie. Elle contient une rédaction antérieure de la proposition I et de sa démonstration, rédaction qui semble avoir été écrite au moment même où Galois venait de trouver cette démonstration : l'énoncé de la proposition fondamentale est, presque textuellement, le même que dans le Mémoire sur des conditions de résolubilité, puis viennent seize lignes barrées que je reproduis : Considérons d'abord un cas particulier. Supposons que l'équation donnée n'ait aucun diviseur rationnel et que toutes ses racines se déduisent rationnellement de l'une quelconque d'entre elles. La proposition sera facile à démontrer. En effet, dans notre hypothèse, toute fonction des racines s'exprimera en fonction d'une seule racine et sera de la forme y.R, x étant une racine. Soient X. XI =fX X. =fx..., X,,-i =f,,_-1X les in racines. Écrivons les in permutations ''1 f ixAl X 221 *X, f -1X2-,/n-l J /fiX l J/lxn *** Jfi-lXn, 1 X 1 1 f*I I 2X........ ft ILe reste de la démonstration suivait, contenu dans une douzaine de lignes qui sont devenues les lignes 13-26 de la page 39 des OEuvres : on distingue assez bien les x surcharges des V de la rédaction définitive ; ces douze lignes sont d'ailleurs réunies en marge par un trait, avec l'indication : à reporter plus loin. Galois a changé d'idée ; il trouve maintenant inutile de s'arrêter au cas particulier ; mais il semble que ce cas particulier lui ait été d'abord (')
 
C'est M. P. l)lpuy qui a appelé mon attention sur cette feuille. Quelques autres débris apportent un peu de Ilucutr sur la suite des idées de Galois : ils seront publiés dans un second article nécessaire,
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car ets doue lignes que je viens de dire sont suivies de celles-ci : Le théorème est donc démontré dans l'hypothèse particulière que nons avons établie. Revenons an cas général.
 
Ces trois lignes sont biffées avec un soin particulier, Galois est en possession de la démonstration générale, sous la forme simple et définitive; il est joyeux ; il couvre de hachures les seize lignes puis les trois lignes dont il n'a plus besoin. Vient ensuite la vraie démonstration, les deux dernières lignes de la page 38 des ''Œuvres'' et le commencement de la page 39, jusqu'à: « je dis que ce groupe de permutations jouit de la propriété énoncée ». Puis l'indication, en marge, à demi déchirée: ''mettre ici le partie sautée'', et les lignes 24, 25 de la page 39 des ''Œuvres''.
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(pages 5i-6i).
 
Le manuscrit du Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux,), après la petite introduction biffée par Galois et reproduite par Chevalier, porte l'indication ( ier Mémoire ); le fragment ( Des
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équations primitives qui sont solubles par radicaux ), écrit sur du papier plus petit (35 x 22), commence au milieu d'une page. La moitié supérieure de cette page contient vingt lignes de Galois, qui sont biffées et que je reproduis plus loin ; dans la marge, en face de la dernière ligne, suivie d'un grand trait horizontal, se trouvent les mots « fin du Mémoire », écrits par Galois lui-même, si je ne me trompe ; au-dessous du trait est le titre du fragment et, en face, les mots « Second Mémoire » : ce fragment ou sécond Mémoire commence par les mots : Revenons maintenant à notre objet et que Chevalier a supprimés. Voici le commencement de la page qui, je le répète, est biffé dans le manuscrit soient représentés par ci'X,;2(X'), Q3(X)..... (X) je dis que, P et p étant des nombres quelconques, on aura (P -p)(P - p1P)(P - C2)(P — 93)...(1' --, p) F( P) (mod. F/p). Démonstration : Il suit de l'hypothèse que l'on pourra par des opérations entières et rationnelles déduire de l'équation F? X o celle-ci (P - ) (P --. x)( P - x). *.( -- x) - F(P) quel que soit P. (') On a ic manuscrit et la copie par Chevalier de ce fragment.
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/21]]==
 
-- 14 Or on a évidemment Fp = o (mod. Fp). Donc, en substituant les congruences aux égalités, on aura le théorème énoncé. TV - I COROLLAIRE: Soit F x = ---, n étant premier nous aurons 15 x = x2 O2. =..3..... Donc on aura en général, si est un nombre premier, (P -)(P- p)(P-p3)..(P pv-i)= P (m-od.- ) Si enfin l'on fait P = p on aura le théorème suivant (p P)(pV -p)(p'V- p)..... (pV _pV-) = m rod ) v étant premier. Quelques fragments, qui seront publiés ultérieurement, paraissent se rapporter au même ordre d'idées. Le manuscrit du fragment sur les équations primitives... contient dix pages. On n'a pas ici de raisons de penser que les additions qui sont en marge ne soient pas à peu près contemporaines de la rédaction ; je les note cependant : Page 53 des OEuvres, lignes 19 et 20 ( en remplaçant... indices, Page 57 : de la ligne 5 à la ligne 18. Page 59, ligne 21, à partir de : ( et de 1a... ) et les lignes 22 et 23. Voici maintenant les observations qui résultent de la comparaison du texte imprimé et des manuscrits de Galois et de Chevalier. Liouville a imprimé les indices comme Galois les disposait, par exemple, ak.lk, 1 2 pour désigner une lettre a dont les indices sont k k et; I 2
 
dans les OEuvres,
dans les OEuvres, on a adopté la notation, plus conforme aux habitudes actuelles, Page 5. des OEuvres, ligne ' a la place de ( en premier lieu ) il y a i" dans le manauscrit ; la correction est de Liouville. Page 53, ligne ), on doit lire k/,-,/..../ (t 110 n /a,,,,,...,. Page 53, ligne i4i, on doit lire ap t/,), ( i ), / i/s3), ',).....,(tXI) et non a ) ( ) (k),, /- 3...,. (,)-. Page 54, ligne 12, on doit lire a//k, + n, A et non a,/,, t-+n^-o Page 55, ligne 3, on a imprimé à tort a,,,,, -+ n, ki /- O+ i a /ti ~ n,, - a,; d'après le texte de Galois, de Chevalier et de Liouville, il faudrait 7a,,,, I+n - n, + a 0, 7;2 1/ + 2, 1i + CC2 si je ne me trompe, on doit lire anI k/-I. n 1 k,2 + A, -+-n,2 k 2+ a2 (voir page 56, ligne 25). Page 57, ligne 3: le mot ( est ) marqué dans le texte de Galois. Page 5; ligne i6: Galois a écrit < 2 et est par conséquent o ou i et non < 9 et se trouve par conséquent être o ou i. Cette correction et la précédente sont de Chevalier. Page 58, ligne 28; on a imprimé correctement lIt I A, + t l /, -,, -i lI + en corrigeant le faute commise par Chevalier et répétée par Liouville ; Chevalier a écrit im1 la place de n ; il y a d'ailleurs une surcharge dans le manuscrit de Galois, mais la lecture n'est pas douteuse.
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/22]]==
dans les OEuvres, on a adopté la notation, plus conforme aux habitudes actuelles, Page 5. des OEuvres, ligne ' a la place de ( en premier lieu ) il y a i" dans le manauscrit ; la correction est de Liouville. Page 53, ligne ), on doit lire k/,-,/..../ (t 110 n /a,,,,,...,. Page 53, ligne i4i, on doit lire ap t/,), ( i ), / i/s3), ',).....,(tXI) et non a ) ( ) (k),, /- 3...,. (,)-. Page 54, ligne 12, on doit lire a//k, + n, A et non a,/,, t-+n^-o Page 55, ligne 3, on a imprimé à tort a,,,,, -+ n, ki /- O+ i a /ti ~ n,, - a,; d'après le texte de Galois, de Chevalier et de Liouville, il faudrait 7a,,,, I+n - n, + a 0, 7;2 1/ + 2, 1i + CC2 si je ne me trompe, on doit lire anI k/-I. n 1 k,2 + A, -+-n,2 k 2+ a2 (voir page 56, ligne 25). Page 57, ligne 3: le mot ( est ) marqué dans le texte de Galois. Page 5; ligne i6: Galois a écrit < 2 et est par conséquent o ou i et non < 9 et se trouve par conséquent être o ou i. Cette correction et la précédente sont de Chevalier. Page 58, ligne 28; on a imprimé correctement lIt I A, + t l /, -,, -i lI + en corrigeant le faute commise par Chevalier et répétée par Liouville ; Chevalier a écrit im1 la place de n ; il y a d'ailleurs une surcharge dans le manuscrit de Galois, mais la lecture n'est pas douteuse.
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ici maintenant quelques observations concernant les pièces A, B, D, E que le lecteur trouvera plus loin.
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B. La pièce B, qui est d'ailleurs en deux morceaux, est le l!aut d'une feuille (double) qui, si l'on en juge par la largeur, est à peu près du même format que le papier sur lequel est écrite la lettre à Chevalier. Le bas est déchiré. Les mots « note de l'éditeur » sont de la main de Galois. La note se trouve sur un morceau détaché, qui contient une partie des trois dernières lignes du passage biffé que j'ai repoduit ; il se raccorde parfaitement avec la dernière page. Cette pièce ne porte pas de date ; je pense, d'après l'avis de Ml. Dup[)l, qu'elle a été écrite à la prison de Sainte-Pelagie. Il convient de rapprocher, des indications qu'elle fournit, celles-ci (que je trouve sur une feuille déchirée : i" Mémoire sur les conditions dc resolubilite des equations par radicaux ( Janvier 1830) ,c Mémoire sur le même sujet (Juin 1830). Mémoire sur les équations modulaires des fonctions elliptiques ( FC iricr i83'?2)
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/24]]==
 
Mémoire sur les fonctions de la forme S\dl., X tant une fonction quelconque algébrique (Septembre 1831). Sur la même feuille, de l'autre côté, se trouvent les phrases suivantes : C'est aujourd'hui une vérité vulgaire que les équations générales de degré supérieur à 1 i" ne peuvent se résoudre par radicaux, c'est-à-dire que leurs racines ne peuvent s'exprimer par des fonctions des coefficients qui ne contiendraient pas d'autres irrationnelles que des radicaux. Cette vérité est devenue vulgaire, en quelque sorte pal ou~-dire et quoique la plupart des géomètres en ignorent les démonstrations présentées par Ruffini, Abel, etc., démonstration fondées sur ce qu'une telle solution est déjà impossible au cinquième degré. Il parait, au premier abord, que la se termine la de la résolution par radicaux. Ce qui suivait a del decllire. Le reste de cette feuille contient des calculs, en partie numériques, d'autres qui se rapportent a l'équation modulaire pour n — 3, à des essais de développements en fraction continue, etc.
 
C. La pièce C existe en entier, en double, de la main de Galois et de celle de Chevalier. Après l'avoir lue et relue, je me suis décidé à n'en publier qu'un extrait, la fin, un peu moins de la moitié ; c'est que je suis arrivé à cette conviction qu'en écrivant les premières pages, Galois n'était pas en possession de lui-même : le malheureux enfant était en prison, il avait la fièvre, ou il était encore sous l'influence des boissons que ses compagnons de captivité le forçaient parfois d'avaler. Dans ces pages, sans intérêt scientifique, la continuelle ironie fatigue par sa tristesse ; les injures à Poisson, aux examinateurs de l'École polytechnique, à tout l'Institut sont directes et atroces ; certaines allusions sont obscures et veulent être perfides ; les plaisanteries, assez 1onl1'des, se prolongent d'une facon fastidieuse et maladive ; il y a tli passage ou l'écriture est si désordonnée, si surchargée, que Chevalier lui-même n'a pu, a ce qu'il semble, le le completement; telles notes qu'il n'a pas voulu reproduire dans sa copie. On est moins devant la souffrance morale que devant la souffrance physique qui la double ;
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/25]]==
je crois que la curiosité qui s'adresse au gendie n'exclut pas toute pudeur, et je n'ai pas voulu imposer au lecteur la vue de cette douleur exaspérée : celui-ci connait, par le travail de M. Dupuy, la vie, l'exaltation, les tortures de Galois, et ne s'étonnera pas qu'il se soit plaint. Vers le milieu de la préface, la pensée se calme c'est de mathématiques qu'il s'agit ; la sérénité revient.
 
1). L. IF. Bien que les trois morceaux ne se relient que d'une façon assez lâche au sujet traité dans ce qui précède, je les publie ici. Les fragments D, E sont écrits sur une seule feuille (3, X <20o), du même format, à peu près, que la lettre à Chevalier : dans la copie qu'en a faite ce dernier, ils se suivent, séparés par plusieurs lignes de points. Ils devaient évidemment faire partie d'un même ensemble et Chevalier a mis au commencement la note suivante. Je place ici quelques notes recueillies dans les papiers de Galois. Elles sont relatives à une série d'articles, sur les progrès de l'analyse pure, qu'il voulait publier dans un journal scientifique. (A. Ci.) Dans le manuscrit de Galois, la pièce D occupe une grande page ; puis, la feuille deant pliée, la pièce E tient line (petite) page et demie. Le manuscrit est plein de ratures, de surcharges, de dessins à la plume, de taches d'encre ; quelques passages, comme on s'en assurera à la lecture, auraient besoin d'être retouchés ou complets ; la difficulté même de la lecture m'a amené à dater approximativement le manuscrit ; en l'examinant à la loupe, j'ai aperçu quelques mots écrits à l'envers, et en le retournant j'ai pu distinguer ces mots, dont la disposition semble indiquer que Galois n'avait pas de gout pour le calcul mental : jeudi 2't9 mars dimanche ( lundi, avril cUardi ) velldrecdi. l.c ), ecmicr avril de l'année 1(8.'S : tant un dimanche. Ic!lonlt', n'est pas possible, puisque Galois est mort le 30 mai 1832.
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/26]]==
 
Le fragment 1 se trouve en tête d'une feuille couverte de calculs et de dessins à la plume ; par la pensée, il se rattache aux pièces D, E. G. Enfin le bizarre fragment G se trouve sur une feuille déchirée ; aucun indice ne me permet de lui donner une date approximative.
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/27]]==
approximative.
 
J. TANNERY.
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== Papiers inédits ==
 
=== A. Discours préliminaire ===
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/28]]==
préliminaire ===
 
Le memoire qui suit a ete adressé il y a environ sept mois à l'Academie des sciences de Paris, et égaré par les commissaires qui devaient l'examiner. Cet ouvrage n'a donc, pour se faire lire, acquis aucune autorité et cette raison n'était pas la dernière qui retenait l'auteur dans sa publication. S'il s'y decide, c'est par crainte que des géomètres plus habiles, en s'emparant du même champ, ne lui fassent perdre les fruits d'un long travail. Le but que l'on s'est proposé est de déterminer des caractères pour la résolubilité des équations par radicaux. Nous pouvons affirmer qu'il n'existe pas dans l'analyse pure de matière plus obscure et peut-être plus isolée de tout le reste. La nouveauté de cette matière a exigé l'emploi de nouvelles dénominations, de nouveaux caractères. Nous ne doutons pas que cet inconvenient ne rebute dès les premiers pas le lecteur qui pardonne à peine aux auteurs qui ont tout son crédit, de lui parler un nouveau langage. Mais enfin, force nous a été de nous conformer la nécessité du sujet dont l'importance mérite sans doute quelque attention. (') Ce qui suit est un fragment du discours préliminaire desLine par Galois a tLre place en tête du Mémoire sur la théorie des équations qu'il avait résolu de publier. Ce projet for!rmd en septembre 1830 n'a pas eu de suite; des obstacles de tout genre s'y sont opposés. ( \ote cl'Auuilste Chevalier.)
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/29]]==
 
Etant donnée une équation algebrique, à coefficients quelconques, numériques ou littéraux, reconnaitre si ses racines peuvent s'exprimer en radicaux, telle est la question dont nous offrons une solution complète. Si maintenant vous me donnez une équation que vous aurez choisie à votre gré et que vous désiriez connaitre si elle est ou non soluble par radicaux, je n'aurai rien à y faire que de vous indiquer le moven de répondre à votre question, sans vouloir charger ni loi ni personne de le faire. En un mot les calculs sont impraticables. II paraitrait d'après cela qu'il n'y a aucun fruit à tirer de la solution que nous proposons. En effet, il en serait ainsi si la question se presentait ordinairement sous ce point de vue. Mais, la plupart du temps, dans les applications de l'analyse algébrique, on est conduit à des equations dont on connait d'avance toutes les propriétés: propriétés au moyen desquelles il sera toujours aisé de répondre a la queslion par les règles que nous exposerons. II existe, en effet, pour ces sortes d'équations, un certain ordre de considérations métaphysiques qui planent sur tous les calculs, et qui souvent les rendent inutiles. Je citerai, par exemple, les équations qui donnent la division des fonctions Elliptiques et que le célèbre Abel a resolues. Ce n'est certainement pas d'apres leur forme numérique que ce geomètre y est parvenu. Tout ce qui fait la beauté et a la fois la difficulté de cette théorie, c'est qu'on a sans cesse à indiquer la marche des calculs et à prévoir les resultats sans jamais pouvoir les effectuer. Je citerai encore les equations modulaires.
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/30]]==
 
-:{) - Première page. 1 DEUIJ MAlIOIitRS 1) ANALYSE PURE SUIVIS D'UNE DISSERTATION SUR LA CLASSIFICATION DES PROBLEMES PAR EVARISTE GALOIS. l )eixi6e1|I ) Ia c. I T'able (des caticl-res. Mémoire sur les conditions pour qu'une équation soit soluble par racicaux. Mémoire sur les fonctions de la forme X dx, X étant une fonction de x. Dissertation sur la classification les problèmes de Mathématiques et sur la nature des quantités et des fonctions transcendantes. I r,,isiee pia^g (1). I A| lerc Caricliv Ga Ict tS lI aclict Uc I acr oix.c-cnI(re Poillsol I c is sIi il Sturin \ erniier llchacird Bulletin des Sciences Ecole normale Ecole Polytechnique Institut. (') Cette list. se tie s rovc droitc; a gauche cst line autre lisle eIC nors, aI pe prds Ics inmcs: tois ces noins sont bif'es sauf ceux de Sturiii, de Blichard el in
 
- )2i - I OQ atrillie
- )2i - I OQ atrillie page.] AiEL parait être l'auteur (Il s'est le plus occupé de cette théorie. On sait qu'après avoir cru trouver la résolution des équations (générales) du cinquième degré (), ce géomètre a demontré l'imnpossibilité de cette résolution. Mais, dans le mémoire allemand publié a cet effet, l'impossibilité en question n'est prouvée que par des raisonnements relatifs au degré des équations auxiliaires et a l'époque de cette publication, il est certain qu'Abel ignorait les circonstances particulières de la résolution par radicaux. Je n'ai donc parlé de ce memoire qu'afin de déclarer qu'il n'a aucun rapport avcc ma théorie. [Parsscrae bit[': Depuis, une lettre particuliere adressee par Abel à M. Legeildre annoncait qu'il avait eu le bonheur de découvrir une règle pour reconnaitre si une équation est [ou etait] résoluble par radicaux; mais la mort anticipée de ce géomètre ayant privé la science de ses recherches, promises dans cette lettre, il n'en était pas moins nécessaire de donner une solution de ce problème qu'il m'est bien pénible de posséder, puisque je dois cette possession à une des plus grandes pertes qu'aura (?) faites la science. Dans tous les cas, il me serait aisé de prouver que j'ignorais même le nom d'Abel, quand j'ai presenté a l'institut mes premières recherches sur la théorie des équations et que la solution d'Abel n'aurait pu paraitre avant la mienne.] autrtc 1qu je ni'i pu dechiffrcr. Parmi les noms de cette première liste, qui ne figurent pas dans la seconde, je distingue ceux de: lBlancict, Lcroy, Poullct dc l'Isle, Francceur. (') M1tmc eTreur est arrive en 1828 i l'auteur (il avail seize ans). Ce n'est pas la seule analogie frappante entre le géometre norvegien mort de faim, et le géomètre francais condamne à vivre ou à mourir, comme on voudra, sous les verrous d'une prison. (iol dcc l'e dile'ur.)
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- )2i - I OQ atrillie page.] AiEL parait être l'auteur (Il s'est le plus occupé de cette théorie. On sait qu'après avoir cru trouver la résolution des équations (générales) du cinquième degré (), ce géomètre a demontré l'imnpossibilité de cette résolution. Mais, dans le mémoire allemand publié a cet effet, l'impossibilité en question n'est prouvée que par des raisonnements relatifs au degré des équations auxiliaires et a l'époque de cette publication, il est certain qu'Abel ignorait les circonstances particulières de la résolution par radicaux. Je n'ai donc parlé de ce memoire qu'afin de déclarer qu'il n'a aucun rapport avcc ma théorie. [Parsscrae bit[': Depuis, une lettre particuliere adressee par Abel à M. Legeildre annoncait qu'il avait eu le bonheur de découvrir une règle pour reconnaitre si une équation est [ou etait] résoluble par radicaux; mais la mort anticipée de ce géomètre ayant privé la science de ses recherches, promises dans cette lettre, il n'en était pas moins nécessaire de donner une solution de ce problème qu'il m'est bien pénible de posséder, puisque je dois cette possession à une des plus grandes pertes qu'aura (?) faites la science. Dans tous les cas, il me serait aisé de prouver que j'ignorais même le nom d'Abel, quand j'ai presenté a l'institut mes premières recherches sur la théorie des équations et que la solution d'Abel n'aurait pu paraitre avant la mienne.] autrtc 1qu je ni'i pu dechiffrcr. Parmi les noms de cette première liste, qui ne figurent pas dans la seconde, je distingue ceux de: lBlancict, Lcroy, Poullct dc l'Isle, Francceur. (') M1tmc eTreur est arrive en 1828 i l'auteur (il avail seize ans). Ce n'est pas la seule analogie frappante entre le géometre norvegien mort de faim, et le géomètre francais condamne à vivre ou à mourir, comme on voudra, sous les verrous d'une prison. (iol dcc l'e dile'ur.)
 
DEUX AILMOInES D'ANALYSE PURE PAR
DEUX AILMOInES D'ANALYSE PURE PAR E. GALOIS Préface. Cecy est un livre de bonne foy. MONTAIGNE. Les calculs algebriques ont d'abord été peu necessaires au progrès des Mathématiques, les theoremes fort simples gagnaient à peine a etre traduits dans la langue de l'analyse. Ce n'est guere que depuis Euler que cette langue plus breve est devenue indispensable a la nouvelle extension que ce grand geomètre a donnee à la Science. Depuis Euler les calculs sont devenus de plus en plus necessaires et aussi (') de plus en plus difficiles a mesure qu'ils s'appliquaient à des objets de science plus avances. )Des le commencement de ce siecle, l'algorithme avait atteint un degre de complication tel que tout progres etait devenu impossible par ce moyen, sans l'elegance que les geometres modernes ont du imprimer à leurs recherches et au moyen de laquelle l'esprit saisit promptement et d'un seul coup un grand nombre d'operations. Il est évident que l'élégance si vantée et à si juste titre n'a pas d'autre but. Du fait bien constate que les efforts des geometres les plus avancés ont pour objet l'elegance on peut donc conclure avec certitude qu'il devient de plus en plus necessaire d'embrasser plusieurs operations a la fois, parce que l'esprit n'a plus le temps de s'arreter aux details. Or je crois que les simplifications produites par l'elegance des calculs (simplifications intellectuelles, s'entend; de materielles il n'y en a pas) ont leur limite; je crois que le moment arrivera où Jc suis Lc tcxtc de Clevalierl ii y.; dans Il iManuscrit ce Galois un mot I lisille.
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DEUX AILMOInES D'ANALYSE PURE PAR E. GALOIS Préface. Cecy est un livre de bonne foy. MONTAIGNE. Les calculs algebriques ont d'abord été peu necessaires au progrès des Mathématiques, les theoremes fort simples gagnaient à peine a etre traduits dans la langue de l'analyse. Ce n'est guere que depuis Euler que cette langue plus breve est devenue indispensable a la nouvelle extension que ce grand geomètre a donnee à la Science. Depuis Euler les calculs sont devenus de plus en plus necessaires et aussi (') de plus en plus difficiles a mesure qu'ils s'appliquaient à des objets de science plus avances. )Des le commencement de ce siecle, l'algorithme avait atteint un degre de complication tel que tout progres etait devenu impossible par ce moyen, sans l'elegance que les geometres modernes ont du imprimer à leurs recherches et au moyen de laquelle l'esprit saisit promptement et d'un seul coup un grand nombre d'operations. Il est évident que l'élégance si vantée et à si juste titre n'a pas d'autre but. Du fait bien constate que les efforts des geometres les plus avancés ont pour objet l'elegance on peut donc conclure avec certitude qu'il devient de plus en plus necessaire d'embrasser plusieurs operations a la fois, parce que l'esprit n'a plus le temps de s'arreter aux details. Or je crois que les simplifications produites par l'elegance des calculs (simplifications intellectuelles, s'entend; de materielles il n'y en a pas) ont leur limite; je crois que le moment arrivera où Jc suis Lc tcxtc de Clevalierl ii y.; dans Il iManuscrit ce Galois un mot I lisille.
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- 5(i - eIs transformations algdbri(ques prevues par les sl)ctCultions tles analystes ne trouveront plus ni le tems ni la place de se reproduire; t tlel point qu'il faudra se cotenter de les avoir prevues; jc ne ceux pas dire qu'il n'y a plus rien de nouveaut pour l'analysc sans ce secours: mais je crois qu'un jour sans cela tout serait epuise. Sauter i pieds joints sir les calcuis; grouper les ope6rations, les classer suivant leurs difficultLs et non suivaut leurs forines; telle est, suivant noi, la mission des geomletes futurs; lelle est la voic ou je suis eitr,' dans cet ouvrage. 11 ne taut pas confondre l'opinion que j'einets ici, avec I'aflectation que cerlaines personnes ont d'eviter en apparence toute espece de calcul, en traduisant par des phrases lort longues cc qui s'exprime tres brievement par l'algeblre, ct ajoutant ainsi i 1la longueur des operations, les longueurs d'un langage qui n'est pas fait por01' les exprimer. Ces personnes sont en arriere de cent ans. lci rien de senmblable ('); ici l'on fait l'analyse de l'analyse ici les calculs les plus 'leves [les fonctions ellipliques (2)] executes jtisqI'a )present sout consideres comime des cas particuliers, lqu'il a ete itile, indispensable de railer, nais quil seai fu se den pas abandonner ptour des reclierclies plus larges. 11 sera teLis d'etlectier des calculs prevuts par cette haute analyse ct class6s suivant leurs dillicutltds, inais noll specifies dans leur forine, qcladatl la spe)cialit6 d'une qluestion les reclamera. Ija lliese geinetrale tque j'avance lie pourra Ltre bien colpris (1) Chevalier, dans sa cop)i, a supprilnI cetic phrlase: ( Ici rien dc senblabllc ct a plac cet alinca avant Ic pr6ecdcen. C(est ainsi qul'il cst, en cffel, plac6 dans Ic Lexte dc Galois; Iais, d'uile part, les mots ( Ici rien de semblablca i ne sout nullellielt biffis dans Ic manuscrit; ils ont, aut contraire, teL ajoutl s en interligne; d'autre part, ils sont prlc6dCs d'un asLerisquc snivi d'un trait (asscz peu distinct) dont 1'cxtrernit indique sanis dounc la place oi I'alin6a doit ctre place; a ccttc place, Ics hiots supprimlCs pal' Clievalitcr ont un scns trs clair; ils n'en one pas (uand on laissc Ie second alilla avant Ic premier: c'est evidcniment la raison pour laquelle Chevalier les a supprimies. (') On sail assez que le second t1eoil'e cst perdu: toutefois, il subsiste un mlorceau ( lon date) oil (;alois traite de la division dcl I'argumii int dans Ies fonctions ellipitiques te (tout Ic contenu correspond asscz bicn a l'indication du textc; on p)cut1l done suipposer' que cc morceatu pt)ouvail. renrcer dalns I' cscmblc que i;alois vulait l,)li cr. It scra puul l i. 11 r u l s un seco-nd arlicle.
 
(lIU qu(iand un lila lttentivementi
(lIU qu(iand un lila lttentivementi mon ouvrage (lli ell est iCe application, non que le point de vue theorique ait precede l'applicalion; nais je me suis demande, mon livre termine, ce qui le rendait si etrange a la plupart des lecteurs, et rentrant en moiIneme, j'ai cru observer cette tendance de mon esprit h eviter les calculs dans les sujets que je traitais, et qui plus est, j'ai reconni line difficulte insurmontable a qui voudrait les effectuer generalement dans les matieres que j'ai traitees. On doit prevoir que, traitant des sujets aussi nouveaux, hasarde dans une voie aussi insolite, bien souvent des diffictiltes se sont presentees que je n'ai pu vaincre. Aussi, dans ces deux nmenoires et surtout dans le second qui est le plus recent, trouvera-t-on souvent la formule (( je ne sais pas ). La classe des lecteurs dont j'ai p)arl1 au commenlcement (1), ne manquera pas d'y trouver a fire. C'est que, lnallleureuseeent, on ne se doute pas que le Jivre le plus precieux du plus savant serait celui oui il dirait tout ce qi'il ne sailt )as, c'est qu'on ne se doute pas qu'unl auteur ne Iuit (2) jamais Lant a ses lectelrs que quand il dissimule une dificulte. Quand la concurrence c'est-a-dire I'egoisme ne regnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour etudier, au lieu d'envoyer aux academies des paquels cachetes, on s'empressera de publier les moindres observations, pour pen qutelles soient nouvelles, ct el ajouLtant (( je ne sais pas le resie )). Dlc St Pelagie Xb i183' EVARISTI.: GALOIS. (') Voici la plirase i laqucellc alois fail, allusio: ( Tout cc (qui )prcedlc, je I'ai cit por prouver (qu c 'es scicmlmelnt que jc in'expose a la risCe des sots., ( T) 'cxte de Clhevalier; on nI distinguc quec la IcLLr c 12; Ic rcslc dlu Iiot cst un LroL.
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(lIU qu(iand un lila lttentivementi mon ouvrage (lli ell est iCe application, non que le point de vue theorique ait precede l'applicalion; nais je me suis demande, mon livre termine, ce qui le rendait si etrange a la plupart des lecteurs, et rentrant en moiIneme, j'ai cru observer cette tendance de mon esprit h eviter les calculs dans les sujets que je traitais, et qui plus est, j'ai reconni line difficulte insurmontable a qui voudrait les effectuer generalement dans les matieres que j'ai traitees. On doit prevoir que, traitant des sujets aussi nouveaux, hasarde dans une voie aussi insolite, bien souvent des diffictiltes se sont presentees que je n'ai pu vaincre. Aussi, dans ces deux nmenoires et surtout dans le second qui est le plus recent, trouvera-t-on souvent la formule (( je ne sais pas ). La classe des lecteurs dont j'ai p)arl1 au commenlcement (1), ne manquera pas d'y trouver a fire. C'est que, lnallleureuseeent, on ne se doute pas que le Jivre le plus precieux du plus savant serait celui oui il dirait tout ce qi'il ne sailt )as, c'est qu'on ne se doute pas qu'unl auteur ne Iuit (2) jamais Lant a ses lectelrs que quand il dissimule une dificulte. Quand la concurrence c'est-a-dire I'egoisme ne regnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour etudier, au lieu d'envoyer aux academies des paquels cachetes, on s'empressera de publier les moindres observations, pour pen qutelles soient nouvelles, ct el ajouLtant (( je ne sais pas le resie )). Dlc St Pelagie Xb i183' EVARISTI.: GALOIS. (') Voici la plirase i laqucellc alois fail, allusio: ( Tout cc (qui )prcedlc, je I'ai cit por prouver (qu c 'es scicmlmelnt que jc in'expose a la risCe des sots., ( T) 'cxte de Clhevalier; on nI distinguc quec la IcLLr c 12; Ic rcslc dlu Iiot cst un LroL.
 
2- 8 - SCIENCES MATHiEMiATIQUES DISCUSSIONS SUR LES PROGRciEs DE L'ANALYSE PUTRE I)e
2- 8 - SCIENCES MATHiEMiATIQUES DISCUSSIONS SUR LES PROGRciEs DE L'ANALYSE PUTRE I)e toutes les connaissances humaines, on sait que l'Analyse pure estl a plus immaterielle, la plus erminemment logique, la scule qui n'emprunte rien aux manifestations des sens. Beaucoup en concluent qu'elle est, dans son ensemble, la plus methodiqtue et la mieux coordonnee. Mais c'est erreur. Prenez un livre d'Alglebre, soit didactique, soit d'invention, et vous n'y verrez qu'un amas confus de proposilions dont la regularite contraste bizarrement avec le desordre du tout. 11 semble que les idees coltent deja trop a l'auteur pour qu'il se donne la peine de les lier et que son esprit puise par les conceptions qui sont la base de son ouvrage, ne puisse enfanler une meme pensee qui preside a leIr ensenmble. Que si vous rencontrez une metliode, une liaison, une coordination, tout cela est faux et artificiel. Ce sont des divisions sans fondement, des rapprochements arbitraires, un arrangement tout de convention. Ce defaut pire que I'alsence de toute metliode arrive surtout dans les ouvrages didactiques, la plupart composes par des hommes qui n'ont pas l'intelligence de la science qu'ils professent. Tout cela etonnera fort les gens du monde, qui en genelral ont pris le mot Matlematique pour synonyme de reogulier. Toutefois, on sera etonne si l'on retlecl'ci qu'ici commee aillelrs la science est l'ceuvre de 1'esprit lhumain (1), qui est plutot destine a edtudier q(u' conlnailre, clierclier qct'a trouver la verite. En cffet on concoit qu'un esprit qui aurait puissance pour percevoir d'un seul coup l'ensemble des ve'rites matliematiques non pas i nous connues, mnais toutes les vdrites possibles, pourrait les (2) deduire regu1li'rement et coinme maclinalement de quellques ')( iot pett lisiIIc, 0iis par Clievaliir. U1n 1ilot illisible, je suis le textc dc Cheval'ier.
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2- 8 - SCIENCES MATHiEMiATIQUES DISCUSSIONS SUR LES PROGRciEs DE L'ANALYSE PUTRE I)e toutes les connaissances humaines, on sait que l'Analyse pure estl a plus immaterielle, la plus erminemment logique, la scule qui n'emprunte rien aux manifestations des sens. Beaucoup en concluent qu'elle est, dans son ensemble, la plus methodiqtue et la mieux coordonnee. Mais c'est erreur. Prenez un livre d'Alglebre, soit didactique, soit d'invention, et vous n'y verrez qu'un amas confus de proposilions dont la regularite contraste bizarrement avec le desordre du tout. 11 semble que les idees coltent deja trop a l'auteur pour qu'il se donne la peine de les lier et que son esprit puise par les conceptions qui sont la base de son ouvrage, ne puisse enfanler une meme pensee qui preside a leIr ensenmble. Que si vous rencontrez une metliode, une liaison, une coordination, tout cela est faux et artificiel. Ce sont des divisions sans fondement, des rapprochements arbitraires, un arrangement tout de convention. Ce defaut pire que I'alsence de toute metliode arrive surtout dans les ouvrages didactiques, la plupart composes par des hommes qui n'ont pas l'intelligence de la science qu'ils professent. Tout cela etonnera fort les gens du monde, qui en genelral ont pris le mot Matlematique pour synonyme de reogulier. Toutefois, on sera etonne si l'on retlecl'ci qu'ici commee aillelrs la science est l'ceuvre de 1'esprit lhumain (1), qui est plutot destine a edtudier q(u' conlnailre, clierclier qct'a trouver la verite. En cffet on concoit qu'un esprit qui aurait puissance pour percevoir d'un seul coup l'ensemble des ve'rites matliematiques non pas i nous connues, mnais toutes les vdrites possibles, pourrait les (2) deduire regu1li'rement et coinme maclinalement de quellques ')( iot pett lisiIIc, 0iis par Clievaliir. U1n 1ilot illisible, je suis le textc dc Cheval'ier.
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-29 - principes cornlbinds par dcs methlodes uniformes; alors ptlus d'obstacles, plus de ces difficultes clue le savant [rencontre dans ses explorations ')]. Mais il n'en est pas ainsi; si (2) la taclie du savant est plus penille et partant plus belle, la marche de la science est moins retguliire [:] la science progresse par tine serie de combinaisons ol le Ihazard ne jone pas le moindre role; sa vie est brute et ressemblec a celle des mineraux qui croissent par juxt;' position. Cela s'applique non seulement a la science telle qu'elle resulte des travaux d'une s6rie de savants, inais aussi aux recherclies particulie'res a chacun d'eux. En vain les analystes voudraient-ils se le dissimuiler (): ils ne deduisent pas, ils coinbinent, ls comnlarent ('); quand ils arrivent a la verite, c'est en lheurtant de c(it.e et d'atre clqu'il y sont tomb(s. Les ouvrages didactiques doivent partager avec les ouvrages d'invention ce defaut d'une marche siire tolites les fois que le sujet qu'ils traitent ( ) n'est pas autrement soumis a nos lumieres. Its ne pourraient done prendre line forme vraimenl methodique que sur tin bien petit nombre de matiares. Pour la leur donner, il faudrait tine profonde intelligence de l'analyse et I'inutilite de I'entreprise d('goftle ceux qui potrraient en supporter 1a difficulte. (1) C'cst le texte de Chevalier. Le passage est illisible; je ne puis lire (( rencontre ); apres explorations qui est douteux, il y a les mots, douteux aussi: o et qui souvent sont imaginaires ), ct ceux-ci, bien nets: < Mais aussi plus de role au savant ). Chevalier a supprimni ce qui ne s'accordait pas avec son texte. (2) Clevalicr a 6crit: a et la... o. (3) Je suis le texte d Clhevalier; il y a ici, en interligne, une phrase dont le copiste n'a pas tenu compte, malgr6 son inter6t; mallieuruseinent, elle est en partie illisible:j'y distingue a peu pres ce qui suit: < toute inimateriell llc qulle [ii/is.] I'analyse n'est pas plus en notre pouvoirque d'autre [il/is.]. l (') Autre addition, en interligne, supprimde par Chevalier: o il faut I'dpier, la sonder, la sollic iter [la vdrite] ),. ( ') )ans Ic ma iustscrit: qu'il traite,.
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- 3 - II serait en dehors de la gravite de eel ecrit d'entrer dans une ')areile lltte avec des sentiments personnels d'indulgence ou d'animosite;i l'aeard des savants. L'auteur des articles evitera egalement ces deux ecueils. Si un passe penile le garantit du premier, tun amour profond de la science, qui la Ini fait respecter dans cenux qni la cultivent, assurera contre le second son impartialiteh. II est penible dans les sciences de se borner au role de critique: nous ne le ferons que conlraint et force. Quand nos forces norts le permettront, a)pres avoir blame, nous indiquerons cc qui ia nos -eux sera mietux. Notis aurons souvent ainsi l'occasion d'appeler I'attention du leeteur stir les idees nouvelles quli nons ont conduit dans l'etude de l'analyse. Notis nous permettrons donc de i'occuper de ces idees, dans nos premiers articles, afin de n avoir point a v revenir. Dans des sujets moins abstraits, dans les objets d'ar, il y aurait tin profond ridicile a faire ipreceder tin ouvrage de critique par ses propres elivres: ce serait avoner par irop naivement ce qIli est presque toujotrs vrai al fond, que 'on se prend pour le type auquel on rapp)orte les objets pour les jliger: mais ici, il ne s'agit pas d'execution, il s'agit des idees les plus abstraites qu'il soit donne a l'honmme de concevoir; ici criliqute et discussion deviennent synonymes, et discuter, c'est mettre aux prises ses idees avec celles des autres. Nous exposerons done, dans quelques articles, ce qu'il y a de plus general, de plus philosophique, dans des recherches que mille circonstances ont empechl de publier plus t6t. Nous les presenterons seules, sans complications d'exemples et de hors-d'œuvre, qui chez les analystes noyent d'ordinairc les conceptions grneirales. i\ous les exposerons surtout avec bonne fbi, indiquant sans (letour la voie qui nous y a conduit, ct les obstacles qti nolis ont arrLdt. (:at nous voulons lqule Iecteur soil aussi instruit qrie 1nols de s matieres qtre nous aurons traitdes. Quand cc but aura etc rlemnli, nous aurons conscience d'avoir bien fait, sinon par eI j)rotit cl l'cn retirera directemcnt la science, du moins par l'exemplc (lonnc, ( -ltine bonnle ICi qu'on n'a pias trouvdc llustqut'a cc joumr.
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- II - Ici comme dlans Loutes les sciences chaque epoqlle a en quelque sorle ses questions du moment: i y a des questions vivantes qui ixent la fois les esprits les plus eclaires commoe malgrl eiix et sans que [illis.] ait preside a cc concours. 11 semble souvent que les memes idees apparaissent i plusieurs comme une revelation. Si l'on en clierche la cause il est aise de la trouver dans les ouvrages de ceux qu i nous ont precedes oi ces idees sont presentes ia l'insu de leu ts auteurs. La science n a pas tire, jutsqu'"i ce jour. grand parti de cetle coincidence observ-(e si souvent dans les rechelches des savants. Une concurrence facliheise, une rivalite degra(lante en ont ete les principauix fruits. 11 n'est pourtant pas difficile de reconnaitre dans ce fait la preuve que les savants ne sont pas plus qlie d'autres fails p)otr l'isoleiment, (qu'eux aussi appartiennent ai letur epoque et qule lct, ou tard ils decupleront leurts forces par I'association. Alors que de telmpls epargne pour la science! Beaucoup de (Iluestions d'un genre nouveau occupent maintenant les analystes. ('est a& decouvrir [un lien entre ces questions qlle nots (')] attacherons ( ) Passage )i ffe.
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i ffe.
 
- 3- - 'Iout voir, tout entendre, ne pcrdre aucune idl,. 29 7b)le 183 SCIENCE S. HIEtAIC.HIE. I(COLES La lliirarchic est un noyeln nelne pouir l'infteieur. Quiconque n'est pas envieux on a de l'ambition a besoin d'nne llierarclie factice pour vaincre l'envie on les obstacles. Jusqul'F ce ctqu'un hiomime ait dit: la science c'est moi, il doit avoir un nom i opposer 'a ceux q'il combat. Si non, son amnlition passera pour de e'cnvie. Avant d'etre roi il faut etre aristocrate. Macliiavel. L'inti;rigte est un jen. Si l'on rmrite ce (u'on brignie, on v gagne tout. Si non, on perd la partie. On combat les professcurs par l'institut, l'institut par! e Iassc, un passe par un au tre passe. Voici la [illis.] de Victor Hugo. Renaissance, moeyen Agc, enfin,!11 Oi. C'est h ce besoin de conbattre un llomme par un autre homrnme, tin siecle par in autrc siicle, ql'on doit attribuer les reactions littlraires on scientifiqiies, qui ne sont pas de longue duree, Aristote, Ptolmciee, 1)escartes, Laplace. [Uile li gne illisible.] Ce jet uLse celui qui s en serf. Un liomme qui n'est pas devouo se fait eclectique. Un iomime qui a une idee peuti choisir entre, avoir, sa vie durant, Lne reputation colossale d'homme savant, ou bien se faire ulne dcole, se taire et laisser un grand nomn dans l'avenir. Le premier cas a lieu s'il pratique son idee sans l'emettre, le second s'il la j)ublie. 11 y a un troisieme moyen juste milieu entre les deux autres. (Cest te Ipublier et de pratiqluer, alors on est ridicule.
 
== Écrits mathématiques inédits ==
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En dehors des quelques fragments que l'on trouvera plus loin, les écrits mathématiques de Galois (que Liouville n'a pas publiés contiennent une cinquantaine de feuilles détachées (') pleines de calculs qui, pour la plupart, concernent la théorie des fonctions elliptiques et remontent sans doute a un moment ou Galois étudiait les Mémoires de Jacobi (2), quatre pages sur les équations aux (1) Trois de ces feuilles comportent du texte; une se rapporte a la théorie de la transformation, une autre au théorème d'addition pour la fonction sin am, déduit de la formule fondamentale (de trigonométrie sphérique, la troisième au théorème d'addition pour la fonction I (u, a). (2) Les papiers que m'a remis {{Mme}} de Bligni6res contiennent un brouillon, couvert de ratures et de corrections, qui est de la main de Liouville, et qui porte cn tte: Lettre d'Alfred Galois a M. Jacobi, 17 novembre 1847. Voici cette lettre: MONSIEUR, J'ai l'honneur de vous envoyer, en vous priant d'en agréer l'hommage, un exemplaire de la premiere Partie des Œuvres mathématiques de mon frère. Il y a pres d'un an a qu'elle a paru dans Ic Journal de M. Liouville, et, si je ne vous l'ai pas adressée plus tot, c'est que, sans cesse, j'espérais pouvoir vous faire remettre d'un jour a l'autre l'ouvrage complet, dont la publication s'est trouvée retardée par diverses circonstances. Au reste, cette première Partie renferme ce que mon pauvre Evariste a laissé de plus important et nous n'avons guère a y ajouter que quelques fragments arrachés au désordre de ses papiers. Ainsi on n'a rien retrouve concernant la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes; on voit seulement qu'il s'était livre la plume ia la main a une étude approfondie de vos Ouvrages. Quant a la théorie des équations, M. Liouville et d'autres géomètres que j'ai consultés affirment que son Mémoire, si durement repoussé par M. Poisson, contient les bases d'une doctrine très féconde et une première application importante de cette doctrine. (( Ce travail, me disent-ils, assure pour toujours une place a votre frère dans l'histoire des Mathématiques. ) Malheureusement étranger à ces matières, j'écoute avec plaisir de telles paroles: si votre précieux suffrage, qu'Evariste aurait ambitionné par-dessus tout, venait les confirmer, ce serait pour ma mère et pour moi une bien grande consolation; il deviendrait pour notre Evariste un gage d'immortalité, et je croirais que mon frère n'est pas entré tout entier dans la tombe. Etc., etc. T.
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- 34 - dérivées partielles du premier ordre, quelques calculs, avec un commencement de rédaction, sur les intégrales euleriennes (I), huit lignes, dont plusieurs mots sont déchirés, qui paraissent se rapporter au groupe alterne et n'avoir pas grand intérêt, un cahier dont la plupart des pages sont blanches et dont je dirai tout a l'heure deux mots, enfin une vingtaine de lignes sur le théorème d'Abel. (') En posant [m,.] =n] (, -x).1-1x. —. dx, Galois part le la relation [ nt - 1, 1 ] = [ mI [. ]: im -- n il en deddit, en designant par p un noInbre entier positif quelconjuc, [p, im i I] puis rn, i ir [p, in] x [p, itn];/,=o [, in --- it] [nl, ]- i xll l eni reinplacalt [p, n ] par I (i-' - x- - dx, el en passant la lirlite, il obtient FIm ln [M,] — (m1'+n) ' I1 tablit ensuite la relatiion X"I ~r" ' —dx='?()-?(i), oil d log 1' ( ) d() - n' en partalt (le ce que I'on a, pour m - i,.1 ogx( —x)x" 'dx. logei| t i] __ _ _o - t x)__ x" - dx,_ dmi *?1 -o CIX d'ol, enc intégrant le dernier membrlile par parties, ()-' I- dx. x —1
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- 35 Ces vingt lignes peuvent etre regardées comme in resumi e de la célèbre ( Demonstration d'ulne propriété générale d'une certaine classe de fonctions transcendantes a (1), qui est datee de 1829; elles occupent les deux tiers de la premiere page d'une feuille double (de mene formiat (3o x 15) que la lettre a Chevalier. On lit en haut de la page: Theorie des fonctions dle la forme Xdx, X etant une fonction algebrique de x. Ies nots (( onctions de la..., juisqu'a la fin, sont biffds et Galois a ecrit ati-dessiis integrales dont les differentielles est algebrique. Le premier titre est presqtue identique a ceux qui ont ete signalds précédemment (p1. 17 et p. 23). dont l'un porte la mention (< sel)tenmbre i83i. IL'enonce du tlleoreme d'Abel (qli n'est pas noindme) est precede des mots ( Letmine fondamenral )). Apres la demonstration on lit Remarque. Dans le cas ou Le reste de la page, les deux pages qui suivent sont en blanc (2). Ces qcielques lignes sont-elles tout ce qui reste du tlroisieme l/lemoil'e qui contcerne les integratles, que Galois restime dans la lettre a Chevalier? Ce troisiemie Memoire a-t-il tde redige? Je rappelle quelqIces termes de la lettre On pourra faire avec tout cela trois Memoires. Le premier est 6crit, et... je le maintiens.... tout ce que j'ai ecrit a1 est depuis bientot un an dans ma tete. (1) OEuvres d'Abel, ddition Sylow, t. I, p. 515. (2) Lafeuille a 6et pliec; sur la moilie de la quatrieme page, on trouve quelques calculs relatifs a l'intdgrale /x ( x - 2 2 x + ')(x- 2 X '2) ou Galois fait la substitution r2 X --. x
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- 36 - Le pr'emier est ecitit semble indiquer que les autres ne sont pas rediges. On pour7ra faire avec tout cela trois MeAmoires porte a penser que Galois laissait des notes, dont on ne peut plus esperer atujoil r'hui qu'elles soient retrouvees. Une seule chose est certaine, c'est qule, la veille de sa ntort, il avait tout cela dans sa tete. Le calier est du format. 2o0 x 5; on lit sur la couverture: Notes de lmalllematiques quatorze pages, seulement, sont utilisees. On trouve dans ce cahier et, parfois, sur la mneme page, deux sortes d'ecriture: pour l'une, il n'y a pas de doute, c'est bien celle de Galois, avec son allure habituelle. L'autre, beaticoup moins lisible, est droite. Je me suis demande si Galois ne s'elait pas amniuse a deformer son ecrilure; mais M. Paul Dupuv, apres un examen attenLif des deux ecritures, a constate qu'elles revelaient des habitudes tres diff'rentes: elles ne sont pas de la meme personne. Au resle, cc cahier, par son conlenu, n'offre qu'un inltret mediocre. Les pages qui sont de Galois contiennent quelques reinarques sur les asymptotes des courbes algebriques et uin court essai sur les principes de 1'Analyse, dont je citerai quelques lignes; elles caracterisent tn etat d'esprit qui resultait sans doute de 1'enseignement que Galois avait recu; on n'oubliera pas qu'il n'etait sans doute alors qu'uin ecolier, un ecolier qui, peut-etre, avait approfondi deja des problemes singulierement difficiles. Apres avoir expliqué comminent il juge la methode de Lagrange, ou le développement de Taylor tient le role essentiel, preferable a la methode qui consiste a p)artir de la notion de dérivée considérée comnme la limlite de I'expression f(X) —f(x) X-x X --- x limrite (li nie pellt etre conslamment nulle on infinie, et comment le raisonnement de Lagrange ne lieot |)as debout, il propose de lui stlbstituer le suivant: Considtrons d'abord une fonction p (z) qui devienne nulle pour la valeur o (ce la variable. Je dis que l'on pourra toujours determiner un seul nonmbre positif ct fini n de maniere que i ) ne soit ni nulle ni infinie, a moins que 1 — ( tie soit niul quand z = o pour toute valeur finie de 1n.
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- 37 -- Car si(Z) n'est pas nul quand z= o pour toute valeur finie de n, soit m une valeur telle quce ) ne soit pas nul quand z = o. Si - () acquiert alors une valeur finie, la proposition est demontree. Si non ( etant infini et? (z) nul pour rz = o, en faisant croitren lepuis I= ojusqu'a n = m, les valeurs dle () pour z = o devront etre infinies a partir d'une certaine liit. Soit p te limite. e l t ) ne sera pas infini pour z = o mais (Ie sera, quelque petite que soit la quantite Fj. Done T(Pz) ne saurait etre nul pour z = o. La )proposition est dlone demontree. De celte i)roposition ainsi (( deniontree )), Galois conclut qui'une fonction?(z), qui ne devient pas infinie pour = o, peut se metLre sous la forne (z) = A 4- B z'-+ C-.zt,,,. + P zP + zi' W (z), ou les exposants positifs n, n,..,, k vont en croissant, l'exposant k etant aussi grand qiu'on veul. et la Ibnclion I (-) i'etant ni nulle ni infinie pour z - o. De la formule du hinome il ddeduit ensuite le developpenent de Taylor. Quant auix fragments qui suivent, j'ai cru devoir les reprodulire tels quels, avec tne exactitude ininutieuse, en conservant I'orthogral)he, la ponctuation ont l'absence de ponctuation, sans les quelques correctiols qui se presentent naturellemnent a l'esprit. Cette minutie in'etait imposee poutr les quelques passages ou la pensde de Galois n'edait pas claire pour moi; sur cette pensee, les fragments informes que je publie jetteront peut-etre quelqute lueur. Je me suis efforce de donner atn lecteur une photographie sans retouche. J. T.
 
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-39 H [Premiere feuille] ( ). Permutations. Nombres de lettres m. Substitutions. Notation. Periode. Substitutions inverses. Substitutions seinblables. Substitutions circulalires. Ordre. Autres sulbstitutions. Groupes. Groupes semblables. Notation. Thloreme 1. Les Permutations communes a deulx groupes torment In igroupe. Theoreme II. Si un, grotlpe est contenu dans tin autre, celui-ci sera la sommne d'un certain nombre de groupes semil)]al)les au prem-ieLr, qui en sera dit un diviseur. Theoreme III. Si le nomnbre des permlutations d'un groupe est divisible parp (p etanlt premier), ce groupe contiendra une substitutiont dont la periode sera de p termes. Re.duction (les groupes, depenldants ou independants. Groupes irreductibles. Des groupes irr6ductibles en general. Theorleme. Parmi les p)ermutatiolns d'un groupe, il v en a toujours une ouf une lettre donnte occupe tne place doninde, et, si l'on ne considere dans uin groupe irreductible qtue les pernmutations ouf uine neme lettre occupe une meme jplace et qu'on fassc abstraction de cette lettre, les permtitations qL'on obtienidra ainsi lormeront un groupe. Soil n le Iomlbre (les permutations de ce dernier mn (2). Nouvelle demonstration du tlieoreine relatif aux groupes alternes. Theoreme. Si tn groupe contient une sulbsLitution complete de l'ordre m et une de l'ordre nm -I, ii sera irreductible. (1) Ce fragment occupe deux feuilles, ecrites sur les deux faces, du format a3 x I8. (2) Cette phrase elliptique a ete ajoutec dans une fin de ligne et dans l'interligne au-dcssous.
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- 40 Discussion des groupes irreductibles. Groupes, primitif et non primitil. Propriete des racines ('). On pent supposer q(le le groupe ne contienne que des substitutions p)aires. 11 aura toujours un systeme conjugue corplet de /n permutations qclarnl( m-= n t 4ii + i, tn systeme conjugue complet de - permutations quaid m = 4n - a. Done tn - 2 dans le premier cas, t -- 2- dans le second ('). [Deuxieme feuille.] Application a la theorie des fonctions et des equations algebriques. Fonctions semblables. Conbien il peut y avoir de fonclions scmblables entre elles. Mr Cauchy. Groupes appartenant aux fonctions. Theoreme plus general, quand m > 4. Quelles sont les fonctions qui n'ont que m valeurs, ou qui ne contenant que des substitutions paires, n'ont que 2m valeurs. Theoreme. Si une fonction de m indeterminees est donnee par une equation de degre inferieur a in dont tous ]es coefficients soient des fonctions symmetriques permanenles ou alternees de ces indeterminees, cette fonction sera elle meme symmetrique, quand m > 4. Theoreme. Si une fonction de m indetermrinees est donnee par une equation de degre nm dont tous les coefficients, etc.; cette fonction sera symmetrique permanente ou alternee par ralpport a toutes les lettres ou du moins par rapport a m - i d'entre elles. Theoreme. Aucune equation algebrique de degre superieur a 4 ne saurait se resoudre ni s'abaisser. Du cas ou une fonction des racines de l'equation dont le groupe est G est connu [e]. TlIeoreme. Soit H le groupe d'une fonction c des racines, G est (') La premnire page linit ici; les six lignes qui suivent sont au verso. (2) Un peu plus bas, on lit: Discussion des groupes irr6ductibles; le texte de ]a page est couvert de calculs, ecrils en rcnversant la page de haut en has.
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- 41 -un diviseur de H, O ne dependra [plus que d'une] (') equation du nie.ne degre. On petLt ramener a ce cas celui ou on supposerait plusieurs fonclions connues. Premier cas. Quand le groupe appartenant i la fonction connue est reductible. Cas oui une seule permutation lui appartient. 2e cas. Quland le groupe appartenant a la fonction est irreductible non printitif. 3e cas. Quand le grotlpe appartenant a la fonction est primitif m etant premier (2). 4e cas. Quand le groupe appartenant a la fonction est primitif et que m-p. 5e cas. Quand le grotlpe est primitif m - i etant plremier ou le carre d'un nombre premier (3). Note sur les equations nume'iques. Ce q(u'on entend pat I'ensemble des permutations d'une equation. (') Les mots mis ici entre crochets sont barres; au reste tout ce passage, a partir de (( Du cas ou,) jusqu'a (( plusieurs fonctions connues ) est couvert de ratures et de surcharges; on lit, par exemple, sous une rature: ( Si D est le commun diviseur /a ce groupe et a celui de la fonction supposee ~; tout ce passage est un renvoi plac6 au bas de la page, de facon a etre sulbsitue a trois lignes qui sont barrles, et dont voici le texte: Du cas oh une fonction des racines est censee connue. Remarque. On peut r6duire a ce cas celui of on supposerait plusieurs connues. (2) Au-dessous en interligne: Jusqu'ici on avait cru (3) Les deux fragments qui suivent sont sur 'autre face de la feuille; ils sont separes par un blanc laiss6 au milieu de la page; au-dessus de I'avant-derniere ligne du premier passage et dans le blanc, on trouve les mots suivants dont le premier est couvert d'une rature et dont les autres sont batonnes; la lecture du not Presente est douteuse. M emoire sur la th6orie des fonctions et sur celle des equations littlrales. Pr6sent6 a l'Inslitut par E. Galois. Octobre 1829.
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-42 - Du cas ou cet ensemble constitue un groupe. Tl n'y a qu'ine circonstance ou notIs ayons reconnu que cela doit necessairement avoir lieu. C'est celui oi loutes les racines sont des fonctionis rationnelles d'une quelconque d'entre elles. Demonstration. C'est improprement, etc. Du reste, tout ce que nots avons dit est applicable a ce changement i)res. 1~. theoreme. Si une equation jotit de la prol)riete enoncee, toute fonction des racines invariable par les m - substitutions conjuguees sera conntie, et reciproq ement. 2~Theore'me decoulant de la reciproque precedente (1). Toute equiation dont les racines seront des fonctions rationnelles de la premiere; jouira de la meme propriete. 3~ Corollaire. Si a est tne ri;ciie imaginaire d'ine pareille equation et que f a en soit la conjugulee, fx sera en general la conjiiguee d'une racine quelconqiie imaginaire, x. On peut passer aisement de ce cas a celui oud une racine etant coinnie, quelques unes en del)endent par des fonctions rationnelles. Car soient x,?, 2 (X),.... Ces racines, si l'on prend, etc. Il est ais6' de voir (Ile la meme methode de decomposition s'applique au cas ola dans l'ensemble des permutatioins d'tne equa — tion, n memes lettres occupent toujours n memes places (abstraction faite de I'ordre) quand une seule de ces lettres occupe une de ces places, et il n'est pas necessaire pour cela que l'ensemble de ces permutations constitue un groupe. (1) Mols plac6s en interligne ct presquc illisibles; on pourrait aussi bien lire re/icta ue qe qu e ecipr'oque.
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-42 - Du cas ou cet ensemble constitue un groupe. Tl n'y a qu'ine circonstance ou notIs ayons reconnu que cela doit necessairement avoir lieu. C'est celui oi loutes les racines sont des fonctionis rationnelles d'une quelconque d'entre elles. Demonstration. C'est improprement, etc. Du reste, tout ce que nots avons dit est applicable a ce changement i)res. 1~. theoreme. Si une equation jotit de la prol)riete enoncee, toute fonction des racines invariable par les m - substitutions conjuguees sera conntie, et reciproq ement. 2~Theore'me decoulant de la reciproque precedente (1). Toute equiation dont les racines seront des fonctions rationnelles de la premiere; jouira de la meme propriete. 3~ Corollaire. Si a est tne ri;ciie imaginaire d'ine pareille equation et que f a en soit la conjugulee, fx sera en general la conjiiguee d'une racine quelconqiie imaginaire, x. On peut passer aisement de ce cas a celui oud une racine etant coinnie, quelques unes en del)endent par des fonctions rationnelles. Car soient x,?, 2 (X),.... Ces racines, si l'on prend, etc. Il est ais6' de voir (Ile la meme methode de decomposition s'applique au cas ola dans l'ensemble des permutatioins d'tne equa — tion, n memes lettres occupent toujours n memes places (abstraction faite de I'ordre) quand une seule de ces lettres occupe une de ces places, et il n'est pas necessaire pour cela que l'ensemble de ces permutations constitue un groupe. (1) Mols plac6s en interligne ct presquc illisibles; on pourrait aussi bien lire re/icta ue qe qu e ecipr'oque.
 
43 - I (1) On appele grouipe in systlme de permutations tel que etc. Nous representerons cet ensemble par G. GS est le groupe engendre lorsqu'on opere slir tout le groupe G la suibstittition S. II sera dit sembllable; Un gronpe petit etre fort differelt d'tin autre et avoir les nmeines substitutions. Ce groupe en general ne sera pas GS. Groupe reduclible est tin group)e dans les permulations duquel n leltres ne sorlent pas de n places fixes. Tel est eI groipe abcde abdec abecd bacde badec baecd Un groupe irre'ductible, etc. Un groupe irriedluctible esl tel qt'uine lettre donnee occupe tine place donnee. Car, supposons qu'tine place ne puisse appartenir qti'a n lettres. Alors totile place occupee par l'une de ces leltres jouira de la me'me propritle. Done etc. Groupe irredtictible non-primitif est celui ou l'on a n places et n lettres telles que ine (les lettres ne puisse occuper une de ces places, sans que les n lettres n'occupent les n places. On voit que les letires se partageront en classes de n lettres telles que les n places en question ne puisseiit etre occupeees a la fois qtle pa l'une de ces places [classes] (2). (1) Une feuille du format 23 x 17, 6crite sur les deux faces. (2) En renversant la page, on trouve quelques lignes relatives a la decomposition d'un groupe, que l'absence de contexte rend inintelligibles, puis le commencement d'une question, qu'on retrouve en entier sur un petit fragment de papier, comme i suit: Etant donnee une substitution S et deux permutations A et A' on demande une substitution S' telle que la lettre situee au kA-"ie rang dans A prennant le ckeme rang (lans AS, la lettre situee au k.eme rang dans A' prenne le tpOieme dans A'S'. Supposons le probleme r6solu. Soit A'= AT, on aura evidemment A'S'= AST
 
- 44 -d'ou TS'=
- 44 -d'ou TS'= ST S' = T- ST Sur lautre face du m6me fragment, on lit: Si l'on represente les n letlres par n indices. 2.3.... f toute permutation pourra kire repr6sentee V I p 2 '3... V It y etant une fonction convenablerent choisie la substitution par laquelle on passe de la prermire perm. a I'autre sera (k, pk), k designant un indice quelconque. An lieu de representer les lettres par des nombres on pourrait repr6senter les places par des nombres.
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- 44 -d'ou TS'= ST S' = T- ST Sur lautre face du m6me fragment, on lit: Si l'on represente les n letlres par n indices. 2.3.... f toute permutation pourra kire repr6sentee V I p 2 '3... V It y etant une fonction convenablerent choisie la substitution par laquelle on passe de la prermire perm. a I'autre sera (k, pk), k designant un indice quelconque. An lieu de representer les lettres par des nombres on pourrait repr6senter les places par des nombres.
 
- 4 - J.................... I.......................... equations (').
- 4 - J.................... I.......................... equations ('). Nous nous conlenterons done d'avoir expose les definitions indispensables i)our l'intelligence de la suite et nous allons montrer la liaison qui existe entre les deux theories. ~ 2. Comment la theorie des Equations depend de celle des Perm tations. 6. Considerons une equation a coefficients quelconqutes et regardons comnie rationinelle toute quantite qui s'exprime rationnellement au tmoyen des coifficients de i'equation, el meme an moven d'un certain nombre d'autres quantites irrationnelles adjointes qie l'on peut supposer connues ai priori. Lorsqun'ne foiiction des racines ne change pas de valeur ntllmeriqcles par tine cerlaine substitltion operee entre les racines, elle est dite invariable par cette substilttioii. On voit qu'une fonction peut tres bien etre invarialle par telle ou telle substitulion elitre les racines, sans que sa forme I'indique. Ainsi, si F(x) = o est l'equation proposee, la lonction c[F(a), F(b), F(c),...], (cp etant une fonction quelconque, et a, b, c.. les racines) sera tne fonction de ces racines invariable par toute substitution entre les racines, sans (ie sa forme l'indique generalenment. Or c'est Lne Question dont ii ne paralt pas qu'on ait encore la solution, de savoir si, etant donne e une fonction de plusieurs (1) Ce fragment comporte trois feuilles du format 20 x i5, du m6me papier que le fragment M; la troisiemc fcuille, dont il est question dans une note ulterieure, cst intacte; les deux autres sont dechirdes, -a droite, de haut en bas; il manque quclques lettres et, parfois, des mots entiers; d'oi les crochets que l'on trouvera dans le texte imprime. La dechiriire a pu se faire en detachantles trois feuilles d'ln cahier pareil a celui qui porte le titre (( Notes de mathematiques, et dont j'ai partl plus haut. Cet essai est sans doute ant6rieur a la redaction du Memoire sur les conditions de resolubilite des dquations )ar radicaux, et de la feuille relative a la proposition I de ce Memoire, dont j'ai parle prdecdemment (p. i ); les deux r6dactions sont intorrompues; pour lune et l'autre, la fin de la page reste blanche; l'essai n'a pas etL acheve.
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- 4 - J.................... I.......................... equations ('). Nous nous conlenterons done d'avoir expose les definitions indispensables i)our l'intelligence de la suite et nous allons montrer la liaison qui existe entre les deux theories. ~ 2. Comment la theorie des Equations depend de celle des Perm tations. 6. Considerons une equation a coefficients quelconqutes et regardons comnie rationinelle toute quantite qui s'exprime rationnellement au tmoyen des coifficients de i'equation, el meme an moven d'un certain nombre d'autres quantites irrationnelles adjointes qie l'on peut supposer connues ai priori. Lorsqun'ne foiiction des racines ne change pas de valeur ntllmeriqcles par tine cerlaine substitltion operee entre les racines, elle est dite invariable par cette substilttioii. On voit qu'une fonction peut tres bien etre invarialle par telle ou telle substitulion elitre les racines, sans que sa forme I'indique. Ainsi, si F(x) = o est l'equation proposee, la lonction c[F(a), F(b), F(c),...], (cp etant une fonction quelconque, et a, b, c.. les racines) sera tne fonction de ces racines invariable par toute substitution entre les racines, sans (ie sa forme l'indique generalenment. Or c'est Lne Question dont ii ne paralt pas qu'on ait encore la solution, de savoir si, etant donne e une fonction de plusieurs (1) Ce fragment comporte trois feuilles du format 20 x i5, du m6me papier que le fragment M; la troisiemc fcuille, dont il est question dans une note ulterieure, cst intacte; les deux autres sont dechirdes, -a droite, de haut en bas; il manque quclques lettres et, parfois, des mots entiers; d'oi les crochets que l'on trouvera dans le texte imprime. La dechiriire a pu se faire en detachantles trois feuilles d'ln cahier pareil a celui qui porte le titre (( Notes de mathematiques, et dont j'ai partl plus haut. Cet essai est sans doute ant6rieur a la redaction du Memoire sur les conditions de resolubilite des dquations )ar radicaux, et de la feuille relative a la proposition I de ce Memoire, dont j'ai parle prdecdemment (p. i ); les deux r6dactions sont intorrompues; pour lune et l'autre, la fin de la page reste blanche; l'essai n'a pas etL acheve.
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-- 46 - (luanti('s numelriqucs, on pent trouver tn groupe qui contienne toulite s s substitutions par lesquelles cette fonclion est invariable, et qui n'en contienne pas d'autires. II est certain que cela a lieu pour des quanitites litterales, I)uisqur'ine fonclion d(e plusieurs lettres invariables par deux substitutions estl invariable par leulr produit. Mais rien n'annonce qtie la neme chose ait toujours lieu quand aux lettres on sulstilue des nombres. On ne peut done point traiter toutes les equations comme les equations litterales. II fatlt avoir recours t des considerations fondes sur les prolprietes particulieres de chaque equation numnerique. C'cst ce que je vais tacher de faire Des cas larticuliers des equations (1) 7 ernmarlquoins qlie loul ce qu'une equation nutmeriqle peut avoir de i)articulier, doit provenir de certai[nes] relations entre les raciiscs. (es relations seront ratio[nnelles] dans le sens que 1nous l'avons nenled u, c'est a dir[e] (lu'elles ne contiendront d'irrationnelles qiue les coiffici[ents] de l'equation et les qutantites adjointes. De plus [ces] relations ne devront pas etre invarialles par to[ute] substitltion operee sur les racines, sans quoi on [n'aurait] rien de plls q(ue dans les eiquations litterales. Cc (lu'il iinporte done de connaitre, c'est par quelles substitutions |)euvellt etre invari[ables] des relations entre les racines, ou ce qui revient a[u mIe nne,] des fonctions des racines dont la valeur n11mri [ qc e] est determinalle rationnellemennt. A cc sujet, nous allons demont rer un iheorrem de la derniire im)porlance dans cette matiere et dont l'enonce suit: (( Etant don/(ie tune equctttion, acec un certain nombre de quantites adjoin tes, il existe toutjoturs un certtailt grotlpe clepeerimuttitons d10ot les substittitons sont telles (2) que toute fonction des ra(1) Ccs mots sont mis en imnrge. (2) La page se termine a>u mot (( telles,, le reste se continue sur deux feuilles cdistilctles l'une de ces deux feuilles est ecrite sur le recto et le verso, c'est celle d.lot le tLxte est imprirme ci-dessus; I'autre feuille n'est ecrite que sur le recto, usqu'au mIeilieu de la page: le verso contient quelques calculs relatifs ' la resoIutiton Ial-c(brique dcl I'quation du troisiemne degre. Les deux feuilles contiennent le Iemine texte jusqu'a la l in dc I'alinea ((... sont seules connues ). A partir de ces mots, on lit. dans la seconde feuille: Mais, avant de developper la demonstration complete de cette proposition,
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47 -cin/es invariable par ces substitutions est rationnlelleneent conflue, et telle re'ciproquement qu'une fonction ne peult Ctre rationnellement determi/ able, a moins d''tre invarictble pal ces substitutions que nous nommerons substitutiolns de I'equation. ) (I)ans le cas des equations litterales, cc groupe ii'est antre chose que l'ensemble de loules Jes permutations des racines, i)uisqc e les fonctions syinm etriques sont setles connues). Pour plus de simplicite, nous supposerons dans la demonstralion de notre theoreme, qu'il ait ete reconnu pour Loutes les e quations de degres inlferietirs; ce qu'on peut toujours admettre puisqu'il est evident pour les dquations du second degre. Admettons donc la chose p)our tLos les degres inferieurs a m; pour la demontrer dans le n'micle", nous distinguerons quatre cas i'e Cas. L'equlation se dlcomlposant en deux ou en ln plus grand nomnbre de facteurs. Soit U = o I'eqation, U = VT, V et T etant (les fonctions dont les coefficients se delerminment rationnellement au moyen des coefficients de la proposee et des qiantiteLs adjointes. Je vais (aire voir que, dans I'hylpothese, on )pourra trolver un groupel qi satisfasse a la condition enoncee. Renmarquons ici que dans ces sortes de questions, conime il ne s'agit quie des sllbsitlLtions par les quelles des fonctions sont invariables, si uin groupe satisfait i la condition, touLt roIupe qui aurait les memes subsltiutions y satisfera aussi. I1 convient done de partir toltjours d'une permutaLion arbitraire, mais fixe, afin de determiner les groupes que l'on aura a considdrer. De celie maniere, on evitera Loute ambiguit. Cel] I)ose, dans le cas actuel, il est clair que si l'on adjoignait a I'equation U = o, toues les racines de l'Nquation V = o, l'eqnalion U = o se decomposerait en facteurs dont l'nn serait T=-o, et les autres seraient les facteurs simples de V. Soit H le gro(l)e que l'on obtient en operant [sur] tne permtilnous ferons voir qu'il suffit de la donner dans le cas oi l'cquation proposce ne se decompose pas cn facteurs dont les coefficients se deduisent rattonncllement de ses coiefficients et d s quanitites [l i lui sont adjointes, plus lri6vcimnet, dans le cas oiu 1'equation,1'; pas dc diviseurs rationnels. Admettons en effet que la close ait ete demontiec clans cc cas, ct supposons qu'une equation se decompose en deux facteurs qui n'aient cux-memes aucun diviseur rationncl.
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47 -cin/es invariable par ces substitutions est rationnlelleneent conflue, et telle re'ciproquement qu'une fonction ne peult Ctre rationnellement determi/ able, a moins d''tre invarictble pal ces substitutions que nous nommerons substitutiolns de I'equation. ) (I)ans le cas des equations litterales, cc groupe ii'est antre chose que l'ensemble de loules Jes permutations des racines, i)uisqc e les fonctions syinm etriques sont setles connues). Pour plus de simplicite, nous supposerons dans la demonstralion de notre theoreme, qu'il ait ete reconnu pour Loutes les e quations de degres inlferietirs; ce qu'on peut toujours admettre puisqu'il est evident pour les dquations du second degre. Admettons donc la chose p)our tLos les degres inferieurs a m; pour la demontrer dans le n'micle", nous distinguerons quatre cas i'e Cas. L'equlation se dlcomlposant en deux ou en ln plus grand nomnbre de facteurs. Soit U = o I'eqation, U = VT, V et T etant (les fonctions dont les coefficients se delerminment rationnellement au moyen des coefficients de la proposee et des qiantiteLs adjointes. Je vais (aire voir que, dans I'hylpothese, on )pourra trolver un groupel qi satisfasse a la condition enoncee. Renmarquons ici que dans ces sortes de questions, conime il ne s'agit quie des sllbsitlLtions par les quelles des fonctions sont invariables, si uin groupe satisfait i la condition, touLt roIupe qui aurait les memes subsltiutions y satisfera aussi. I1 convient done de partir toltjours d'une permutaLion arbitraire, mais fixe, afin de determiner les groupes que l'on aura a considdrer. De celie maniere, on evitera Loute ambiguit. Cel] I)ose, dans le cas actuel, il est clair que si l'on adjoignait a I'equation U = o, toues les racines de l'Nquation V = o, l'eqnalion U = o se decomposerait en facteurs dont l'nn serait T=-o, et les autres seraient les facteurs simples de V. Soit H le gro(l)e que l'on obtient en operant [sur] tne permtilnous ferons voir qu'il suffit de la donner dans le cas oi l'cquation proposce ne se decompose pas cn facteurs dont les coefficients se deduisent rattonncllement de ses coiefficients et d s quanitites [l i lui sont adjointes, plus lri6vcimnet, dans le cas oiu 1'equation,1'; pas dc diviseurs rationnels. Admettons en effet que la close ait ete demontiec clans cc cas, ct supposons qu'une equation se decompose en deux facteurs qui n'aient cux-memes aucun diviseur rationncl.
 
48 tation arbitraire A des racines de l'equati[on] U =o, toutes les substitutions qui sont relatives a l'equation T = o quand on [lui] adjoint les racines de V = o. Soit K le groupe que I'obtient en operant sur [toutes] les substitutions qui sont relatives a V= o q[uand on] ne lui adjoint que les quantites [adjoin]tes primitivement a la proposee. Combinez en tons sens toutes les substitutions du groupe H avec [celles] du groupe K. Vous obtiendrez un groupe reductible [que] je dis jouir de la condition exigee relativement [a la] question proposee. En effet toute fonction invariable par les subsLi[tutions] du groupe (') (') Un fragment qui senllie un morceau d6chire (hauteur, 9~) d'une feuille de papier du meine format contient le texte suivant, d'un c6t: Soit G un groupe correspondant B l'equation =-o et A, B, C.... les permutations du groupe G. Pour obtenir un pareil groupe, il faut operer sur une permutation A toutes les substitutions de l'equation q. Nous supposons que la permutation A contienne toutes [les] racines de F(x) = o. Prennons une fonctioii,(AX) invariable pat les substitutions v relatives aux racines de P, et de l'autre ctL: qui correspondent aux substitutions indiquees quand aux racines de l'Iquation c on substitue leurs expressions en fonction de celles dc q. Je dis qu'il viendra un groupe de Permutations qui relativemnent a la propos6e F() = o satisfera a la condition exig6e. En effet, toute fonction des racines invariable par les substitutions de ce groupe pourra d'abord s'expriiler en fonction des seules racines de 1'equation.J. De plus, comme cette fonction transfornmee sera encore invariable par les substitutions de I'equation 4 on voit que sa valeur num6rique
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-49 -K (1) Soil donc?(H) une certaiie fonction invariable par les substitutions du groupe H et non par celles du groupe G. On aura done?(H) =f(r) ]a fonction f ne contenant dans son expression que les quanrites anterieuremen t conn es. Eliminons algebriquerment r entre les equations 'P= A f(r) =z On aura une equation irreductible du piellle degre en z. (Si non z serait lonction de rP: ce qui est contre I'hypoLhese). Maintenant soit S iiie des substitutions du groupe G qui ne lui soient pas communes a H. On voit que?(HS) sera encore racine de l'equation ci-dessus en z, puisque les coefficients de cette equation sont invariables par la substitution S. On aura done o( IS) =f(a') a tant uine des racines de l'unite. Ces deux equations?(H) =f(7') p(HS)= /(ar) Donneront par l'eliimination de r' une relation entre cp(H) (IIS) et x independante de r, et la Ineme relation aura par consequent lieu entre c(H) et p(HS2) Done: comme (HIS) =f(a -) on en deduit D( tS2) =f(21r) (') Feuille ddchirle (18 x I-), ecrile sur les deux faces. T. 4
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- 0o et ainsi de suite, jusqu'a p(HS,) =f(,) = c(H) Ainsi la connaissance de la seule quantite r, (donne a la fois toutes les fonctions correspondanles aux groupes H, HS, HS2,.... la somine de ces gronpes est evidemnment G, puisque toute
 
L Etant donnee (') tine equation
L Etant donnee (') tine equation avec tant de quantites adjointes que l'on voudra, on peut loujours trouver quelque fonction des racines qui soit numeriquement invariable par toutes les substitutions d'un groupe donne et ne le soit pas par d'autrcs substilutions. Si le groupe d'une equation se decompose en n groupes semblables H, HS, HS (2), et quL'une fonction?(H) soit invariable par toutes les substitutions du groupe H par aucune autre substitution du groupe G, cette fonction est racine d'une equation irreductible dt nieme degre dont les autres racines sont?(HS),.... (') Cet enonc6 est ecrit sur un morceau de papier (to x i8); I'ecriture, parfois malaisee a dechiffrer en raison des ratures ct des surcharges, trahit une certaine nervosite; au-dessous, Galois a mis son nom, ecrit a main posee, avcc une certaine complaisance. (2) Il n'est guere utile de dire qu'il faut lire HS2; ce passage est a demi efface.
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L Etant donnee (') tine equation avec tant de quantites adjointes que l'on voudra, on peut loujours trouver quelque fonction des racines qui soit numeriquement invariable par toutes les substitutions d'un groupe donne et ne le soit pas par d'autrcs substilutions. Si le groupe d'une equation se decompose en n groupes semblables H, HS, HS (2), et quL'une fonction?(H) soit invariable par toutes les substitutions du groupe H par aucune autre substitution du groupe G, cette fonction est racine d'une equation irreductible dt nieme degre dont les autres racines sont?(HS),.... (') Cet enonc6 est ecrit sur un morceau de papier (to x i8); I'ecriture, parfois malaisee a dechiffrer en raison des ratures ct des surcharges, trahit une certaine nervosite; au-dessous, Galois a mis son nom, ecrit a main posee, avcc une certaine complaisance. (2) Il n'est guere utile de dire qu'il faut lire HS2; ce passage est a demi efface.
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- 52 - M Note (1). On appele equations non-primitives les equations qui, etant, par exemple du degre mn se decomposent en in facteurs du degre n at moyen d'une seule equation du degre m. Ce sont les Equalions de Mr Gauss. Les equations primitives sont celles qui ne jouissenl pas d'une pareille simplification. Je suis, a I'gard des Equations primitives, parvenu aux resultats suivants: ~1 Pour qu'ine equation primitive de degre m soit resoluble par radicaux, il faut que n =p'", p etant un nonmbre premier 20 Si l'on excepte le cas de n = 9 et m =pP, I'eequation devra etre telle cue deux quelcon(lues (le ses racines etant connues, les autres s'en deduisent rationnellement. 3~ Dans le cas de in -pP, (deux des racines etant connues, les autres doivent s'en deduire di mooins par un seul radical du deglre p. 4~ Enfin dans le cas de mn= 9, l'equation doit eire du genre de celles qui determinent la trisection des fonctions Elliptiques. La demonstration de ces propositions est fondee sur la theorie des permutations. (') Une seule page de format 20 x I5. Ce fragment et le suivant doivent etre rapproches de I'Analyse d'un lMemoire sur la rdsolution algebrique des equations, qui a ete publi6e dans le Bulletin de Ferussac (OEuvres, p. ii), et dont les premi6ees lignes sont identiques a celles du fragment M.
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-53 - N (1) ADDITION AU MIMOIRE suR LA RESOLUTION DES EQUATIONS. Lemme 1. Soit un groupe G de nzt.n permutations, (lqui se decompose en n groupes seinblables a H. Supposons que le groupe H se decompose en t groupes de m permutations, et semblables a K. Si, parmi toutes les substitutions du groupe G, celles du groupe H sont les seules qui puissent transformer I'tne dans l'autre quelqlues substitutions du groupe K, on aura n - I (mod. m) ou tn -t (mod. m). Lemme 1I. Si F est un nombre premier, et p un entier quelconque on aura (x — p)( p^(-P X-p').)..(Xp —P3)) '(X — x — (mod -. x - i \ I mod. Ces deux lemmes permettent de voir dans quel cas un gronpe primitif de degre pV (ou p est premier) peut appartenir a une equation resoluble par radicaux. En effet, appelons G un groupe qui contient toutes les substitutions lineaires possibles par les P - lettres. (Voyez le meomoire cite.) Soit, s'il est possible, L unt groupe qui divise G et qui se partage lui-meme enp groupes semblables a K, K ne comprennant pas deux permutations ou une lettre occulpe la meme place. On pent prouver i~ que s'il y a dans le groupe G et lors du groupe L, quelque substitution S qui transforine l'une dans l'autre quelques substitutions du groupe K, cette substitution sera de r termes, r etant un diviseur de p - I. D'apres cela, comme le nombre de permutations du groupe G est pV. (pV pV-l) (pV pV-2)....(pV p.2) (pV p) d'apres le lemme I, on devra avoir (2) (pV p-) (pV - p-2).)...(pV- p2) (pv- p)pkr (mod. p-) (') Une feuille (i8 x i3), ecrite des deux cotes. (2) lBelativemeint au premier mrembre de la congruence qui suit, je dois signaler
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- 54 -D'ou L'on voit qne v doit etre un nombre premier (). (Lcmme I1) pmod — I On en deduit quland v > 2 p-/ =, savoirp = v, puisque p et i. son premiers. Ainsi, le theor6ere que j'avais enonce dans mon Iemmoire sera vrai dans tout autre cas que dans celui ou p serait eleve a la puissance p. Toujours devra-t-on avoir r = i, et L - H. Ainsi meme dans le ppmo degre le groupe de l'equation reduile du degre P --- devra etre de PP —p permutations. I.a regle est donc encore fort simple danis ce cas. il faut comme on voit i~ que v= i; 20 que le groupe de la reduite soit de P p permutations I'Nnonce que voici, ecrit sur la premiere page d'une feuille double (22 x 18): Le produit ( p _ p ) (p' -- p2) (/p _ p3). ( p- _ p-l) n'admet point de facteur premier > — p _, d etant le plus grand commun diviseur entre v etp - i, a moins que v = 2. Cet enonce est place au milieu de calculs dont quelques-uns concernent la transformation des fonctions elliptiques. Sur les autres pages, d'autres formules se du d u rapportent a 1'equation d- d -,-7 aux fonctions trigonometriques, ai la resolutipn des equations binome.i, a la decorposition des fonctions trigonom6triques en produits ou en fractions simples, etc. (1) Dans la ligne qui suit et, un peu plus loin, dans l'egalit6 p = v, la lettre v a ete mise en surcharge sur la lettre.; ensuite, la correction n'a pas 6et faite. Au reste, la lecture de ce fragment est, pat endroits, assez ldifficile.
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0 (1) Dans un memoire sur la théorie des Equations, j'ai fait voir comment on peut resoudre une equation algebrique de degré premier m, dont les racines sont x0, x1, x2,....,, xm,- quand on suppose connue la valeur d'une fonction des racines qui ne demeure invariable que par les substitutions de la forme (xk, Xak+b). Or il arrive, par un hasard que nous n'avions pas prevu, que la Methode proposée dans ce memoire s'applique avec succes a la division d'une fonction elliptique de premiere classe en un nombre premier de parties egales. Nous pourrions, a la rigueur, notus contenter de donner cette division, et le probleme de la section des fonctions de premiere classe pourrait etre considere comme resolu. Mais, afin de rendre cette solution plus generale, nous nous proposerons de diviser une fonction elliptique de premiere classe en m parties egales, m etant = pn et p premier. Pourt cela nous etendons d'abord la methode exposee dans le memoire cite, au cas où le degre de l'equation serait une puissance de nombre premier. Nous supposerons toujours que les racines soient x0, x1, x2,.... Xm_-, et que l'on connaisse la valeur d'une fonction de ces racines qui ne demeure invariable que pour des substitutions de la forme (k, ak + b). Dans cette expression, k et ak + b signifieront les restes minima de ces quantites par rapport a m. Parmi les substitutions de cette forme, que, pour abreger, nous appelerons substitutions lineaires, il est clair que l'on ne peut admnettre que celles ou a est premier avec ni, sans quoi une meme ak -- b remplacerait a la fois plusieurs k. Cela pose, passons a la resolution de la classe d'equations indiquee. ~ 1. Resolution de l'equation algebrique de degré pn en y supposant connue la valeur d'une fonction qui n'est invariable que par des substitutions lineaires. La congruence k = ak -- b n'etant pas soluble pour plus d'une seule
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valeur, on voit clairement que la fonction qu'on suppose connue n'est invariable par aucune substitution dans laquelle deux lettres garderaient un meme rang. Si donc, mtutatis mutandis, on applique a ce cas les raisonnements employes dans le memoire cite, on verifiera 1'enonce' de la proposition qui suit: « Etant supposee connue la valeur de la fonction en question, une racine s'exprimera toujours au moyen de deux autres, et l'egalite qu'on obtiendra ainsi sera invariable par les substitutions telles que (k, ak - b ). » Soit donc x =f(x,, x0), on en deduira en, général, X2a+b =f (Xa+b, Xb), equation qui, appliquee de toutes manieres, donnera l'expression d'une quelconque des racines de deux autres quelconques, si i'on a soin d'y substituer successivement les expressions des racines qui entrent dans cette equation. Cela pose, prenons une fonction symetrique des racines Xo0 Xp, X2p. X3p...., X(p'-,_tp; il vient,(.(Xo, Xp, x,....) = 4Io p(xl, Xp+1, ZX2Pt,+l...) = 41 4'(x2, xp2_, x2p1+2,.) = 42 '4 (xp-, X2) —.....) = (P_et supposons qu'en general kl,+p —=,. Toute fonction des quantites (), qui sera invariable par les substitutions lineaires de ces quantites, sera evidemment une fonction invariable par les substitutions lineaires de x0, XI, X2,, Xm-. Ainsi l'on connaitra a priori toute fonction des quantites, 4>,, *,..., p —, invariable par les substitutions lineaires de ces quantites. On pourra donc former l'equation dont ces quantites sont racines (puisque toute fonction symmetrique est a plus forte raison invariable par les substitutions); 2" resoudre cette equation. Il suit de la, qu'on pourra toujours, au moyen d'une equation de degre v, algebriquement soluble, diviser l'equation proposee en
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facteurs dont les racines seront respectivement XO X/) X2p X3p Xl.Xp+l X2pt4-1i X3p+1i (]om ile dans chaque facteur on aura l'expression d'une racine au moyen de deux auitrcs, )par xecinple, clans le premier, f(X,, xo) = X2p el (qle cctle expression sera invariable par toule substitution lineaire, on voit que chaque facteur pourra se traiter comme l'equation donnee, et que le probleme, s'abaissant successivement, sera en fil( rdesolu. On peut en consequence regarder comme solubles les equations dans lesquelles on connaitrait, la valeiur d'une fonction des racines qui ne serait invariable que par des substitutions lineaires, quand le degré de l'equation est une puissance de nombre premier. Nous pouvons donc passer a la solution du probleme general de la section des transcendantes de premiere classe, puisque, toute fraction etant la somme de fractions dont les denominateurs sont des puissances de nomnbres premiers, il suffit d'apprendre a diviser ces transcendantes en p'1 parlties egales. ~ 2. Division des transcendantes de premiere espece en mn = p ar prlies egales. Nous deternmiiierons chaque trasscendante par le sinus de son amplitude. On pourrait de la meme maniere prendre le cosinus ou la tangente, et il n'y aurait rien à changer a ce que nous allons dire. Nous designerons par (x, y) le sinus de la transcendante soinime (les transcendantes dont les sinus sont x et y. Si x est le sinus d'une transcendante, (x)k designera celui d'une transcendante k fois plus grande. Il est clair que (x, -y) sera le sinus de la difference des transcendantes qui ont pour sinus, d'apres la notation indiquee pour les solnmms. T. 4.
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-58 - Celai pose, nous commencerons par une remarque sur la nature des quantites qui satistont a l'equation (X)m- o. Si l'on designe par p l'une de ses racines, il est clair qcule (p)k en sera uine autre. L'on aura done une suite de racines exprimlee par p, (p)2-, (p)3,...., (p)"-'. Le nombre des racines etant > nz, soit q tine des racilles lqui ne sont pas comprises dans cette suite, (q)l sera une autre racine différente de q et des premieres. Car, si f'on avait (p) =-(q)C on en deduirait q = (/),g detant un noinbre entier. Prelnnant done les deux suites p, (p)2,... ct q, (q)2,... on trouvera pourla formu le grndral des racines de l'equation (x)/"} o, cette expression ( (P)I, (q)') Cela pose, stupposons que l'on donne a resotdre l'equation (x)"7 = sin A, nm ctanl impair et toujouirs de la folme p'". Si x est une des racines, il est clair que toutes les autres seronl (x, (p)k, (q)1) Posons done en general ( x, ( q)/), ( q ) = x/,:.t en faisant x x= o, notus en deduirons gdeneraleient (X2a+!.2Lc+(1 - Xa+-b.c+d) = (Xa-+.c-+lI, - Xb.d) d'ou (X2a'+b.2c-dl) = (('a+,b.crl))2, - b.(l) Or il est aise de lirer de cette dgalite utne exlression rationnelle de X-(,,+b.sc+(, en fonction de Xl,+ab.c. ce de xb.d. Car si Q est!'arc correspondant 'a I'un quelconqule des siius qui satisfontl a I'equation ().r/)1 sin A poutr avoir cosp en fonction de sin, il suffit de cherclier le plus grand commun diviseur entre les (equations X+ -' —"= et f(? )= cosA, f(y) etant le cosinus de la transcendallle mi fois plus grande que celle dont le cosinus est y. On troluvcrait de nmmee A? en fonction rationnelle de sinT. On )ouirra donc, par les formules connues, exprimer iX2a+b.2c+ld =.f (xa+b.c+d, Xb.d) en fonction rationnelle de Xa+b.c+t( el de Xb.a.
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Ce principe piose, dernontronis la prolosition suivante: (( Toite folncioll rationnelle de x0.o x,.o x0.i... invariable par les substitltiions de la forme (Xk.l, Xak+b.cl+d) est immnediatemen t conn e. )) En efiet, on ponirra d'abord rendre cette fonction fonction de xo.o, xo., x.o selils, par I'elimination des aitres racines. Cette fonction ne changerait pas de valelnr si a la place de xo.o,,o.,, xl.0 on mettait xo.o),,.;c., /k n'etant pas nul. Or, comme toute racine de la forme x0o. s'exprime en fonction rationnelle de xo.o el x(c.,, ii s'ensuiit qne toute fonction symmetrique des racines dans les qtaelles le premier indice n'est pas nul sera connue en fonclion rationnelle et entiere de.0.0 et de xo.\. Done ia fonction cqie nous considerions tout a l'heure ne variant pas quand on net ponr x,.0 l'une quelconque des racines dont le premier indice n'est pas nul, cette fonction sera tine fonction de x0o. et de x,0. seuls. On eliinnera encore x0., de cette fonction qui deviendra fonction de x0.0 e et fin tine quantite connue. Le principe est done demontre. Cela pose soit F tine fonction symmintrique de certaines racines de l'dquation proposee. Posons F (rX0.0, X0.1, 'O.2,... ) =Yo F (ix.o0, i, X1.21, * ) = Y1 F (x2.0, X2.1, '2.*2, *. ) = Prennons une fonction deyo y, y2.. iivarial)le par les substitutions lin6aires de ces quanLtites. II est clair qute cette fonction sera ine fonction des racines x invariable par Loutie stibstittiton telle que (') (xk.i,ak+b.ck^+,). Cette fonction sera done connie. On potrra donc, par la methode qle j'ai indiquee, trouver les valetrs de ' yo Y,... et par consequent decomposer l'quation proposee en facteurs dont I'Ln ait pour racines xo.o x0o..20._,.. On trouverait (le meme un facteur de la nmem e equation dont les racines seraient xo0.o x.0 x,,.o.... On potirra done en cherchant le plus grand commun diviseur de ces deux factetirs avoir xo.o q i est I'une des solutions clierch6es. II en serait de nemem des alitres racines. (') II faut lire sans doute (X kA-.,,,+t. 1,,-,+,I- )*
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- 60 - (' (') NOTE i. SUR L INTEGRATION DES EQUATIONS LIN1AUlEES. Soit I'eqrlation Iineaire a coefficients variables dy y da-l y dn-yy -dy Ldx' dxtl+ dx-2 + T = V Potlr I'integrer supposons que nous connaissions ii solutions y = U1, -U2, = U3, *..., = UU 3 de cette dquation privee de second membre. La solution complete y = al I -t- + U 2 t9 --- +3 U3 --....-1- all Un qui convient a I'eqration privee de second memb)re, satistera encore quand on supposera ce second membre, si atl licu de regarder a, aa a3.... a cornime constantes, on les considere dcl1 dy a day comme (letermines I)ar les equations suivantes en d -.. d-. dxl d2 ddx dx dx dN i2 d~ 3r d3 d+O u1 l ud 4 - 4- + — 3 +'... u,- = o dtuc dc 1 du9, d9 ducl dE3 du,L dill, d x dx dd dx x d xx dx (I) da2 ul dti d2 2ui d2u d' 3 d, d,, dx,, dx' dx dx ~ dx' ~dx dx da d"I-1 dl d-ul da 2 d ll - ud d"-i u,, d- u, dxttl~ dx i- d -.' dx"' -V \ dxx- d dx - dx d d xdx-t d - dx x II importe d'abord de reconnaitre si le dnlominaleur commun aux valeurs tirees de ces equations peut ou non etre nul. Pour cela j'observe que ce denominateur est le meme que celui
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des n equations suivantes resolues par rapporl ai P Q.... S T dn it, +1) d1I-I it,, + Q d/1 —2 It, +..+S du, +Tit,o dx" dt x d'- X -2 d x — dx td., p d"-1 I t2 d/1-2 a2 dt2T 4- -.-+ Q..... S + T = O dx" dx'1 dxII-2 dx ( ) d" 1u3 dn-1 1t3 d1"-2 U3 du.s " P dx- Q t -+.... -+ S t- T u3 o d" t, dlX1-l U dn -2,, dxn -_ --- - - Q d x d - ----—...... — S -- tun = o dx"1 dx"I t + dx 1- * dx Or ces equations doivent etre parfaitement determinees, puisqne la forme d'lime eqiation differentielle depend uniquement de celle de l'equation in egrale. Done le denominateur en question n'est jamais nul. Mais on peut de plus le calculer d'avarce. Soit D le denominaleur. II est aise de voir que I'on autra dD = D,, — D,,_-1- Dn-,2 — Dn —+-...- DI dx 1)4 etant ce que devient D quand on y substitue partolt d, a la dfl- 1 u place de dx,- ' nd - u i Ti dU - 2 t' D),_ ce que devienl D quand on y Inet d -, ati lieu de dx-1. et ainsi de suite du enfin DI ce que devient D par la substitution de d- a la place de u Et coinme toutes les parties sont nulles excepte D,,, il reste dD dx MIais on a d'ailleurs D, Puisque -D,, esile numerateur de I'expression de P tiree de (2). Don D e -D- e l valeur cherchee du delnominaleur. On potirrait dle cette derniere formule deduire celle que nous avons trouvee plus haut, en considerant une equation lineaire de
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-62 I'ordre n, comnme remplacant n equations simultanees seulement du premier ordre. Quant a la determinaton des numerateurs des quantils inconnues, et a l'examen du cas ou l'on n'aurait q'une partie des solutions de la question, nous n'entrerons pas dans ces details aux quels le lecteur supplera au moyen des principes emis plus haut.
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- 63 Q RECHERCHE SUR LES SURFACES DU 2d DEGRE ( ). Probleme (2). Etant donnees dans un parallelepipede les trois aretes 2, 11', mI" ec les aigles q,, ", que font entre elles respectivemlent nm' et mn", i el m", m et n', trouver l'expression des angles de la diagonale avec les aretes. Soit im Om 1, n'- OM', mn"= OM". Si l'on cherche l'anglePOM que la liagonale OP forme avec OM, on aura dans le triangle OPM. -2 cosPOM 7= 2 —+ op2 -- IM 2 m.. OP Mais on a par la geometrie OP =- 72 ~- 1 '2 - mt'"2 - 2 t' /"v cos 0 +- 2 itmm" cos 0' A-+ 2 /imn' cos 0"!' M =, m'2- / /Lt2 4-' /i' m" COS 0 d'ot I'on tire a2 -- OP - PM 2= 2 /? (m1 + /n/" cos 0' (- i'cos 0") (1) Malgr6 son caractere 6lernentairc, j'ai crtu devoir publier ccite note, qui n'cst pas sans intdirt pour l'histoire (ld la Geometrie analytique et de la theorie des invariants. En raison de son conlenu, on pett supposer qu'elle remonte au temps oh Galois etait eleve de M. Richard, clans la classe de Mathematiques speciales, ou au moment ou il sortait de cette classe pour entrer a l'Ecole Normale. Toutefois, la premiere supposition senmble devoir etre ecarte: s'il en avait eu connaissance, M. Richard aurait sans doute fait ptentrer dans son enseignement les idees de son eleve, qui se seraient diffusecs immediatement. Quoi qu'il en soil, cette note a, cormcle Ic morccau precedent, I'aspect d'une copie d'ecolier, avec la signature en haut et a gauche; elle ressemble tout a fait a quelques-unes des copies de Galois, que AM. Richard avait conservdes et donnees a Helrmitc. M. Emile Picard a retrouve ces copies de Galois dans les papiers d'Hermite; il a bien voulu me les remettre pour qu'elles soient jointes au precieux tresor que lM"l.' de Blignieres donne a l'Academie des Sciences. L'une de ces copies contient un petit travail, que Galois a sans doute fait librement et remis a son maitre, et oh son esprit philosophique se mnanifeste deja; j'en extrais cette curieuse reflexion: Un auteur me dit:(( l'aritlhmetique est la base de toutes les parties des Mathematiques, puisque c'est toujours aux nombres qu'il faut ramener les resultats des calculs. ) D'apres la derniere phrase de l'auteur, il serait plus naturel de croire que l'arithmetique est le termne et le complement de l'Analyse; et c'est cc qui a lieu. Toutes ces copies, comme la presente note, sont sur du papier de format 23 X 18. (2) II y a une figure en marge, dans le texte de Galois.
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- 64 - et enfin in +P- /" cos 0-+- m+ cos 0"' cosPOM = OP On trouvera de nemen pour les cosinus des angles M' OP et M"OP /in-' " COS -4- in cos 0" int" - m2' cos 0 -t- MI cos O' OP et OP Le probl('me est docn resolu. Prolbleme. Trouiver pour des axes quelconques la condition de perpendiclilarile d'n ne droite et d'nln!)lan. Irennons ai parlir de l'origiie et suivant certaine direction OPl=. Appelons m, in', ni" les coordonnees du point P. Les equations de toute droite parallele a OP, seront de la fornme x - a - b z - c Ls qani es pr a L-s (liantites /nZ m', /z" C lant liees par ia relation i1 _ -- n'2- tit -n- '2 + 2 m /n cos 0 - 2 'mm" cos' 0 -- 2 2 mm' cos 0" Cherchlons de memne l'eqllation (I'ln plan perlpendilcilaire ai OP. II est evident que si on appele x, y, z les coordonnees de ce plan, et qlue I'on i)rojette orthogonaleinent sir OP ces coordonne es la sommne des projections devra etre constanie. Or on connait, I)ar le problerme i)relcedent, les cosinus des angles de la droite OP avec les axes. IL'eq!uation du plain sera donc. ( m + m' cos 0 -- m"Wcos0')x + ( i' 4- m cos 0'-4- m" cos 0)y. 4- ( m" +- m cos 0' -+- m' cos 0) z -- p = o Et il est remar(ltiable qtle le premier mnembre de cette equatior exprime aussi la distance a ce planl d'tnr point quelconque dont les coordonnees sont x,y, z. Ce (lui est evident puisque ce premier membre n'est aitLre chose (lie la somme des projections des coordonnees d'un poinlt surla droite OP, augmentee de la distance du plan a l'origine. Cela pose, soil l'e(dlation d'une surface du second degrle rapportte a des axes obliques A x2 + A'y2 --- A'z2 -- 2 B yz -- 2 B'xz -+ B" xy -- 2zCx -+ 2C'y + C-+- D = p(r,y,y) ==o
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- 65 - Lorsqu'on cherche l'equation du plan qui divise egalement toutes les cordes piaralleles a une droite donnee, on substitue I'equation T (, y, z) -o, a la place de x, y, z, x 4- pm y -- pm' z - pm" et les racines de l'equation en p qu'on obtient ainsi, expriment les distances du point (x, y, z) aux deux points ou une corde parallele a la droite -_ =. - menee par le point (x, y, z) coupe la surm m mff face du second degre. Ces deux distances devant etre 6gales et de signe contraire, il suffira de faire dans I'equation en p le second terme nutl pour avoir l'equation du plan diametral. Or l'equation en p est en faisant M = Cp (m, m', m") MP = (Am -+ B"m'-+- B'm")x -+ (A'm'-+- B"m -+- Bm")y + (A"m'-+- B'm + Bm')z + C m -- C'm' — C"m" de la forme p2- 2Pp -- Q = o Si I'on cherche l'equation d'un plani principal, il faudra de plus que le plan represente par P=o soit perpendiculaire a la droite- =, - et par consequent que son equation soil de la forme (m +- m' c" mcos" cos') x -+ ( m'-+ m cos0"-+ mr"cos O)y - (m" +- m cos O' +4 m"cos 0) z — p = S = o II faudra donc que les coefficients de MP et ceux de S soient proportionnels et que l'on ait MP = const = s La quantite etant telle que l'on ait (A - s) m (B"- s cosO") m'+ (B'- s cos 0') m" = o (A'- s) m' -- (B"- s cos 0") m - (B - s cos 0) m" = o (A" - s) m" + (B'- s cos 0') mi - (B - s cos0) m' = o
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-66 -On en deduit l'equation en s, o = (A - s) (B- s cos 0)2- + (A'- s) (B'-s cos 0')2 (A"'- s)( " - S cos 60)2 - (A - s) (A'- s) (A"- s) - 2 (B - s cos)) (B'- s cos0') ( B"- s cos") qui est du troisieme degre parce qu'en effet il existe trois plans pnrncipaux. Mais la qiiantite s et I'equation qui la determine jouissent d'une propriete fort remarqluable que personne jusqu'ici ne parait avoir observee. Supposons que I'on tratisforme les coordonnees en exprimant les anciennes coordonnenes d'un point en fonction des notivelles. Si on subsuitee les valeurs de x,y, z en x', y', z' dans la fonction? (x, y, z) on obtient une fonction ' (x', y', z') d'une autre forme, et qui est telle que dans la fonction?( on substitJe les anciennes coordonnees d'un point (determine, et dans la fonction D' les nouvelles, les deux resultats ainsi obtenus sont egaux. MP Cela pose reprennons l'expression de s, s = -—, la quantite M etant le resultat de la substitution des coordonnees dii point pris sutr une droite fixe a une distance = i de l'origine c'est a dire d'un point fixe, dans l'equation de la surface, ne variera quand on translbrinera les coordonnees. La lquantite P exprimant la demi-somme des distances d'lin point (x, y, z) a la surface distances comptees suivant lune droite fixe, est aussi invariable par la transformation des coordonnees. Enfin la quantite S exprimant la distance d'ui point d un plan determine, ne saurait non plus varier. La qtiantite s est donc elle meme invariable plour un melne plan principal, et l'equation qui donne ses trois valeurs aura des coifficients invariables. Or en la developpant, on a ( - cos2 0- cos2 0' -COS2 "- -- 2 COS 0 COS O'COS 0) s3 - s2[Asin2 0- A'sin2 ' -- A"sin20"+- 2 B (cos 0'cos 0"-cos ) + -' B'(cos cos"'- cos0') -+ a B"(cos0 cos0'- cos 0")] - s (A'A"-i- AA"-t A'- 2 A.B cosO -a A'B'cosO'-a A" B"cos0"- B2 - B'2 - B"2 -+- 2 B' B"cos 0 - 2 BB"cos 0' — 2 BB'cos0" ) - AB2 -- A' B'2 + A" B"2- AA'A" 2 BB' B" = o Divisant tons les coefficients par le premier ou par le dernier on
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- 67 - aura trois fonctions des constantes qui entrent dans I'tquation de la surface, invariables par la transformation des coordonnees. Si l'on suppose cosO, cos' et cosO" nuls on aura pour tols les systenes d'axes oi cela peut etre c'est a dire d'axes rectangulaires, les equations A -+- A'-+- A" = const B2 - B'2 -+ B"2-A' A"- AA"AA'= const A B2 -- A' B2 -- A" B"2 AA' A"-2 BB' B" = const tLgalement si l'on suppose encore dans l'equation en s, B, B', B nuls, c'est a dire qu'o3l suppose la surface ral)lort'ee a des diametres conjuguts, en divisant toute l'equation par le dernier terne, on trouvera pour tous les systemes semnblables I- cos2 0- cos2 0'- cos2 0- 2 COS 0 cos ' cos 6" -- AA'A" --- —- const A A'A" sin2 0 sin2 0' sin2 0 A'A" + -AA + AA = const I I 1 "r 4- -, -4- -r- = Const A ' A" onst I I 1 Et comme,,'; Ar expriment dans ce cas les quarres des diametres, on retrouve ici les theoremes connus.
=== no match ===
 
 
FIN.