« Théorème de Wantzel » : différence entre les versions
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→V : paragraphe 5 et fin |
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Ainsi, par un calcul plus ou moins long, on pourra toujours s'assurer si un problème donné est susceptible d'être résolu au moyen d'une série d'équations du second degré, pouvu qu'on sache reconnaître si une équation peut être satisfaite par une fonction rationnelle des données, et si elle est irréductible. Une équation de degré ''n'' sera irréductible lorsqu'en cherchant les diviseurs de son premier membre de degrés1, 2, ..., n/2 , on n'en trouve aucun dont les coefficients soient fonctions rationnelles des quantités données.
La question peut donc toujours être ramenée à rechercher si une équation algébrique ''F(x) = 0'' à une seule inconnue peut avoir pour racine une fonction de ce genre. Pour cela, il y a
plusieurs cas à considérer. 1°) Si les coefficients ne dépendent que de nombres donnés entiers ou fractionnaires, il suffira d'appliquer la méthode des racines commensurables. 2°) Il peut arriver que les données représentées par les lettres ''p, q, r'' soient susceptibles
de prendre une infinité de valeurs, et que la condition cesse d'ëtre remplie, comme quand elles désignent plusieurs lignes prises arbitrairement : alors, après avoir ramené l'équation ''F(x) = 0'' à une forme telle que ses coefficients soient des fractions entières de ''p, q, r'',... et que celui du premier terme soit l'unité, on remplacera <math>x\,</math> par <math>a_mp^m + a_{m-1}p^{m-1} + ... + a_0\,</math>, et l'on égalera à 0 les coefficients des différentes puissances dans le résultat; les équations obtenues en <math>a_m</math>, <math>a_{m-1}</math>... seront traitées comme l'équation entière, c'est-à-dire qu'on y remplacera ces quantités par des fonctions entières de ''q'', et ainsi de suite jusqu'à ce qu'ayant épuisé toutes les lettres on soit arrivé à des équations numériques qui rentreront dans le premier cas. 3°) Lorsque les données sont des nombres irrationnels, ils doivent être racines d'équations algébriques qu'on peut supposer irréductibles; dans ce cas, si l'on remplace <math>x\,</math> par <math>a_mp^m + a_{m-1}p^{m-1} + ... + a_0\,</math>, dans ''F(x) = 0'', le premier membre de l'équation en ''p'', ainsi obtenue, devra être divisible par celui de l'équation irréductible dont le nombre ''p'' est racine ; en exprimant que cette division se fait exactement, on aboutit à des équations en <math>a_m</math>, <math>a_{m-1}</math>,..., que l'on traitera comme l'équation ''F(x) = 0'', jusqu'à ce que l'on parvienne à des équations numériques. On doit remarquer que ''m'' peut toujours être pris inférieur au degré de l'équation qui donne ''p''.
Ces procédés sont d'une application pénible en général, mais on peut les simplifier et obtenir des résultats plus précis dans certains cas très étendus, que nous étudierons spécialement.
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