« Théorème de Wantzel » : différence entre les versions

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et ainsi de suite. Les derniers termes des séries <math>a_{n-1}</math>, <math>a'_{n-1}</math>, <math>a''_{n-1}</math>,..., <math>b_{n-1}</math> , <math>b'_{n-1}</math> ,..., etc, doivent être des fonctions rationnelles des coefficients de F(x) = 0 ; si l'on peut leur assigner des valeurs rationnelles qui satisfassent aux équations de condition obtenues
en identifiant, on reproduira les équations ''(A)'' dont le système équivaut à l'équation ''F(x) = 0'' ; si les conditions ne peuvent être vérifiées en donnant des valeurs rationnelles aux indéterminées introduites, le problème ne peut être ramené au second degré.
 
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On peut simplifier ce procédé, en supposant que les racines de chacune des équations ''(A)'' donnent le dernier terme de la suivante ; ainsi, l'on peut prendre <math>B_{n-1}</math> pour l'inconnue de l'avant-dernière équation, puisque <math>B_{n-1} = b_{n-1}x_{n-1} + b'_{n-1}</math> d'où <math> x_{n-1} = \frac{B_{n-1}-b'_{n-1}}{b_{n-1}}</math> ; de cette manière les éliminations se font plus rapidement et l'on introduit quatre quantités indéterminées dans l'équation du quatrième degré qui résulte de la première élimination, huit dans l'équation du huitième degré, etc., en sorte que les conditions obtenues en identifiant, sont en même nombre que les quantités à déterminer. Mais on écarte aussi à l'avance le cas où l'une
des quantités telle que <math>b_{n-1}</math> serait nulle, et il faut étudier ce cas séparément.
 
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