« Théorème de Wantzel » : différence entre les versions
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Multiplions l'une par l'autre les deux valeurs que prend le premier membre de la dernière des équations (A) lorsqu'on met successivement à la place de <math>x_{n-1}</math> dans <math>A_{n-1}</math> et <math>B_{n-1}</math> les deux racines de l'équation précédente : nous aurons un polynôme du quatrième degré en <math>x_{n}</math> dont les coefficients s'exprimeront en fonction rationnelle de <math>x_{n-2}</math> , ..., <math>x_1</math> , ''p , q , '' ... remplaçons de même successivement dans ce polynôme <math>x_{n-2}</math> par les deux racines de l'équation correspondante, nous obtiendrons deux résultats dont le produit sera un polynôme en <math>x_{n}</math> de degré <math>2^3</math>, à coefficient rationnel par rapport à <math>x_{n-3}</math> , ..., <math>x_1</math> , ''p , q , '' ... et, en continuant de la même manière, nous arriverons à un polynôme en <math>x_{
supposer qu'avant de faire le calcul on a réduit les équations ''(A)'' au plus petit nombre possible. Alors une quelconque d'entre elles <math>x_{m+1}^2 + A_mx_{m+1} + B_m = 0</math>, ne peut pas être satisfaite par une fonction rationnelle des quantités données et des racines des équations précédentes. Car, s'il en était ainsi, le résultat de la substitution serait une fonction rationnelle de <math>x_{m}</math> , ..., <math>x_1</math> , ''p , q , '' ... qu'on peut mettre sous la forme <math>A'_{m-1}x_m + B'_{m-1}\,</math> et l'on aurait <math>A'_{m-1}x_m + B'_{m-1} = 0\,</math>; on tirerait de cette relation une valeur rationnelle de <math>x_{m}</math> qui substituée dans l'équation du second degré en <math>x_{m}</math> conduirait à un résultat de la forme <math>A'_{m-2}x_m + B'_{m-2} = 0\,</math>. En continuant ainsi, on arriverait à <math>A'x_1 + B' = 0\,</math>; c'est-à-dire que l'équation <math> x_1^2 + Ax_1 + B = 0</math> aurait pour racines des fonctions rationnelles de ''p, q, ''...; le système des équations ''(A)'' pourrait donc être remplacé par deux systèmes de ''n - 1'' équations de second degré, indépendants l'un de l'autre, ce qui est contre la supposition. Si l'une des relations intermédiaires <math>A'_{m-2}x_{m - 1} + B'_{m-2} = 0\,</math>, par exemple, était satisfaite identiquement, les deux racines de l'équation <math>x_m^2 + A_{m-1}x_m + B_{m-1} = 0\,</math> seraient des fonctions rationnelles de <math>x_{m-1}</math> , ..., <math>x_1</math> , pour toutes les valeurs que peuvent prendre ces quantités, en sorte qu'on pourrait supprimer l'équation
en <math>x_m</math> et remplacer la racine successivement par ses deux valeurs dans les équations suivantes, ce qui ramènerait encore le système des équations ''(A)'' à deux systèmes de ''n - 1'' équations.
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