« Règles pour la direction de l’esprit » : différence entre les versions
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''Pour cela il n’est besoin que de quatre opérations, l’addition, la soustraction, la multiplication et la division ; même les deux dernières n’ont souvent pas besoin d’être faites, tant pour ne rien embrasser inutilement, que parcequ’elles peuvent par la suite être plus facilement exécutées.''
La multiplicité des règles vient souvent de l'ignorance des maîtres, et ce qui pourroit se réduire à un principe général unique est moins clair lorsqu'on le divise en plusieurs règles particulières. Aussi réduisons-nous sous quatre chefs seulement toutes les opérations dont nous avons besoin pour parcourir les questions, c'est-à-dire pour déduire les grandeurs les unes des autres. Comment ce nombre est-il suffisant ? c'est ce que l'explication de cette règle démontrera.
En effet, si nous parvenons à la connoissance d'une grandeur parceque nous avons les parties dont elle se compose, cela a lieu par l'addition ; si nous connoissons une partie parceque nous avons le tout et l'excédant du tout sur la partie, cela se fait par soustraction. Il n'y a pas d'autre moyen pour déduire une grandeur quelconque d'autres grandeurs prises absolument, et dans lesquelles elle est contenue de quelque manière que ce soit. Si au contraire une grandeur est intermédiaire entre d'autres, dont elle est entièrement distincte et qui ne la contiennent nullement, il faut l'y rapporter par quelque point ; et ce rapport, si c'est directement qu'on le cherche, on le trouvera par la multiplication ; si c'est indirectement, par la division.
Pour éclaircir ces deux choses, il faut savoir que l'unité, dont nous avons déjà parlé, est ici la base et le fondement de tous les rapports, et que dans une série de grandeurs en proportion continue elle occupe le premier degré ; que les grandeurs données sont au second degré ; que dans le troisième, le quatrième et les autres sont les grandeurs cherchées si la proportion est directe ; si au contraire elle est indirecte, l'inconnu est dans le second degré et dans les degrés intermédiaires, et le connu dans le dernier. Car si l'on dit, comme l'unité est à ''a'' ou à 5, nombre donné, ainsi ''b'' ou 7, nombre donné, est à l'inconnu, lequel est ''ab'' ou 35, alors ''a'' et ''b'' sont au second degré, et ''ab'' qui en est le produit est au troisième ; si l'on ajoute, comme l'unité est à ''c'' ou 9, ainsi ''ab'' ou 35 est à l'inconnu ''abc'' ou 315, alors ''abc'' est au quatrième degré, et le produit de deux multiplications d'''ab'' et de ''c'' qui sont au second degré, et ainsi du reste. De même, comme l'unité est à ''a'' = 5, ainsi ''a'' = 5 est à a<sup>2</sup> ou 25 ; et d'autre part, comme l'unité est à ''a'' = 5, ainsi ''a''<sup>2</sup> ou 25 est à ''a''<sup>3</sup> ou 125 ; et enfin, comme l'unité est à ''a'' = 5, ainsi ''a''<sup>3</sup> = 125 est ''a''<sup>4</sup> qui égale 625, etc. En effet, la multiplication ne se fait pas autrement, qu'on multiplie une même grandeur par elle-même, ou qu'on la multiplie par une autre qui en diffère entièrement.
Maintenant si l'on dit : comme l'unité est ''a'' = 5, diviseur donné, ainsi B ou ''7'' inconnu est à ''ab'' ou
35, dividende donné, l'ordre est renversé. Aussi B inconnu ne peut se trouver qu'en divisant ''ab'' par ''a'' donné aussi ; de même si l'on dit, comme l'unité est à ''a'' ou 5 inconnu, ainsi ''a'' ou 5 inconnu est à A<sup>2</sup> ou 25 donné, ou encore comme l'unité est à A = 5 inconnu, ainsi A<sup>2</sup> ou 25 cherché, est à A<sup>3</sup> ou 125 donné, et ainsi de suite. Nous embrassons toutes ces opérations sous le titre de division, quoiqu'il faille noter que ces dernières espèces renferment plus de difficultés que les premières, parceque souvent la grandeur cherchée y est contenue, laquelle par conséquent renferme plus de rapports. Car ces exemples reviennent à dire, qu'il faut extraire la racine carrée de ''a''<sup>2</sup> ou 25, ou le cube de ''a''<sup>3</sup> ou 125, et ainsi de suite. Cette manière de s'exprimer, usitée parmi les calculateurs, équivaut, pour nous servir des expressions des géomètres, à cette forme, qu'il faut chercher la moyenne proportionnelle, entre cette grandeur de laquelle on part, et que nous nommons unité, et celle que nous désignons par ''a''<sup>2</sup>, ou les deux moyennes proportionnelles entre l'unité et ''a''<sup>3</sup>, et ainsi des autres.
De là, on comprend facilement comment ces deux opérations suffisent pour faire trouver toutes les grandeurs, qui par un rapport quelconque doivent se déduire de certaines autres. Cela bien entendu, il nous reste à exposer comment ces opérations doivent être ramenées à l'examen de l'imagination, et comment il faut les figurer aux yeux, pour ensuite en expliquer l'usage et la pratique.
S'il s'agit de faire une division, ou une soustraction, nous concevons le sujet sous la forme d'une ligne ou d'une grandeur étendue dans laquelle il ne faut considérer que la longueur. Car s'il faut ajouter la ligne [[Image:DescartesRègle18, a.JPG]] ''a'' à la ligne [[Image:DescartesRègle18, b.JPG]] ''b'', nous joindrons l'une à l'autre de cette manière [[Image:DescartesRègle18, c.JPG]], et nous aurons [[Image:DescartesRègle18, d.JPG]]. Si au contraire il faut extraire la plus petite de la plus grande, par exemple b de a, nous les appliquons l'une sur l'autre ainsi, [[Image:DescartesRègle18, e.JPG]], et nous avons la partie de la plus grande que la plus petite ne peut couvrir, à savoir [[Image:DescartesRègle18, b.JPG]]. Dans la multiplication nous aurons aussi ces grandes données sous la forme de lignes ; mais nous imaginons qu'elles forment un rectangle, car si nous multiplions ''a'' par ''b'', nous adoptons nos deux lignes à angle droit ''ab'' de cette manière [[Image:DescartesRègle18, f.JPG]], et nous avons le rectangle
[[Image:DescartesRègle18, g.JPG|center]]
<!--De plus, si nous voulons multiplier ab
par e , il faut concevoir au comme
une ligne, savoir ab , pour avoir
ab~~
c pour abc.
Enfin dans la division où le diviseur est donné, nous imaginons que la grandeur à diviser est un rectangle, dont un des côtés est diviseur et l'autre
quotient. Ainsi soit le rectangle al ~________( à
I--------------
diviser par a , on ôte la largeur a et
on a b pour quotient, ou au contraire
si on divise par b on ùtera la largeur
b et le quotient sera a
Mais dans les divisions où le diviseur n'est pas donné, mais seulement indiqué par un rapport quelconque, comme quand on dit qu'il faut extraire la racine carrée ou cubique, etc., il faut alors concevoir le dividende et tous les autres termes, comme des lignes existant dans une série de proportions continues, dont la première est l'unité, el la dernière la grandeur à diviser; au reste, com-nient il faudra trouver entre cette dernière et l'unité toutes les moyennes proportionnelles, c'est ce qui sera dit en son lieu. Il suffit d'avertir que nous supposons de telles opérations non encore achevées ici, puisqu'elles ne peuvent avoir lieu que par une direction inverse et réfléchie de l'imagination, et que nous ne traitons ici que des opérations qui se font directement.
Quant aux autres opérai ions, elles sont très faciles à faire, de la manière dont nous avons dit qu'il faut les concevoir. Il reste cependant à exposer comment les termes en doivent être préparés; car, encore bien qu'à la première apparition d'une difficulté nous soyons libres d'en concevoir les termes, comme des lignes ou des rectangles, sans jamais leur attribuer d'autres figures, ainsi qu'il a été dit règle xiV, souvent cependant, dans le cours de l'opération, le rectangle une fois produit par la multiplication de deux lignes doit être bientôt conçu comme une ligne pour l'usage d'une autre opération, ou bien le même rectangle, on la ligne produite par une addition ou une soustraction, doit être conçu comme un autre rectangle indiqué au dessus de la ligne par laquelle il doit être divisé.
Il est donc nécessaire d'exposer ici comment tout rectangle peut se transformer en une ligne, et, d'autre part, la ligne ou même le rectangle euun autre rectaugle, dont le cùté soit désigné; cela est très aisé pour les géomètres pour peu qu'ils remaïquent que par lignes, toutes les fois que nous les comparons, comme ici, avec un rectangle, nous concevons toujours des rectangles dont un côté est la longueur que nous avons prise pour unité. Ainsi tout se réduit à cette proposition-ci : Étant donné un rectangle, en construire un autre égal sur un côté donné.
Quoique cette opération soit familière aux moins avancés en géométrie, je l'exposerai cependant pour ne pas paroître avoir rien oublié.-->
== Règle dix-neuvième. ==
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