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{{tiret2|l’enve|loppe}} supérieure <math>\overline{u}</math> ; <math>v_i</math> est la fonction qui, pour chaque valeur de <math>x</math>, est égale à la plus grande des fonctions <math>u_1</math>, {{nobr|<math>u_2</math>, …,}} <math>u_i</math> ; <math>w_1</math> est la limite de la suite croissante <math>v_1</math>, <math>v_2</math>, {{nobr|<math>v_3</math>, …}} ; <math>w_i</math> se définit à partir de <math>u_i</math>, {{nobr|<math>u_{i+1}</math>, …,}} comme <math>w_1</math> à partir de <math>u_1</math>, {{nobr|<math>u_2</math>, …}} ; <math>\overline{u}</math> est la limite de la suite décroissante <math>w_1</math>, {{nobr|<math>w_2</math>, ….}} Si les <math>u_i</math> sont des fonctions continues, il en est de même des <math>v_i</math>, les <math>w_i</math> sont donc au plus de première classe et <math>\overline{u}</math> au plus de seconde classe. Un raisonnement analogue s’applique à <math>\underline{u}</math>. Si l’on suppose seulement que si les <math>u_i</math> sont mesurables, on voit que <math>\overline{u}</math> et <math>\underline{u}</math> le sont aussi et cela ne suppose pas que les {{corr|\overline{u_i}|<math>u_i</math>}}, que <math>\overline{u}</math> et <math>\underline{u}</math> soient partout finies. |
{{tiret2|l’enve|loppe}} supérieure <math>\overline{u}</math> ; <math>v_i</math> est la fonction qui, pour chaque valeur de <math>x</math>, est égale à la plus grande des fonctions <math>u_1</math>, {{nobr|<math>u_2</math>, …,}} <math>u_i</math> ; <math>w_1</math> est la limite de la suite croissante <math>v_1</math>, <math>v_2</math>, {{nobr|<math>v_3</math>, …}} ; <math>w_i</math> se définit à partir de {{nobr|<math>u_i</math>,}} {{nobr|<math>u_{i+1}</math>, …,}} comme <math>w_1</math> à partir de <math>u_1</math>, {{nobr|<math>u_2</math>, …}} ; <math>\overline{u}</math> est la limite de la suite décroissante <math>w_1</math>, {{nobr|<math>w_2</math>, ….}} Si les <math>u_i</math> sont des fonctions continues, il en est de même des <math>v_i</math>, les <math>w_i</math> sont donc au plus de première classe et <math>\overline{u}</math> au plus de seconde classe. Un raisonnement analogue s’applique à <math>\underline{u}</math>. Si l’on suppose seulement que si les <math>u_i</math> sont mesurables, on voit que <math>\overline{u}</math> et <math>\underline{u}</math> le sont aussi et cela ne suppose pas que les {{corr|\overline{u_i}|<math>u_i</math>}}, que <math>\overline{u}</math> et <math>\underline{u}</math> soient partout finies. |
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La définition des enveloppes d’indétermination aurait pu être donnée pour une fonction <math>{g(x, h)}</math>, où <math>h</math> est un paramètre remplaçant l’indice de la {{nobr|fonction <math>u_i</math>.}} L’un des nombres dérivés de <math>f(x)</math> est l’une des enveloppes d’indétermination de <math>{r[f(x), x, x+h]}</math>, quand on fait tendre <math>h</math> vers zéro, par valeurs de signe déterminé. Mais <math>{r[f(x), x, x+h]}</math> étant continue en <math>{(x, h)}</math> pour <math>{h \neq 0}</math>, on peut, comme nous allons le voir, remplacer, pour la recherche de ces enveloppes, l’infinité non dénombrable des valeurs de <math>h</math> par une suite de valeurs de <math>h</math> tendant vers zéro et convenablement choisies. {{refancre|accroissement-175}} Les nombres dérivés sont donc, lorsqu’ils sont finis, au plus de seconde classe et en tout cas {{lié|mesurables B}}<ref>Cette distinction est nécessaire car nous n’avons appliqué la classification de {{M.|Baire}} qu’aux fonctions partout finies. Mais on peut étendre cette classification à toutes les fonctions.</ref>. |
La définition des enveloppes d’indétermination aurait pu être donnée pour une fonction <math>{g(x, h)}</math>, où <math>h</math> est un paramètre remplaçant l’indice de la {{nobr|fonction <math>u_i</math>.}} L’un des nombres dérivés de <math>f(x)</math> est l’une des enveloppes d’indétermination de <math>{r[f(x), x, x+h]}</math>, quand on fait tendre <math>h</math> vers zéro, par valeurs de signe déterminé. Mais <math>{r[f(x), x, x+h]}</math> étant continue en <math>{(x, h)}</math> pour <math>{h \neq 0}</math>, on peut, comme nous allons le voir, remplacer, pour la recherche de ces enveloppes, l’infinité non dénombrable des valeurs de <math>h</math> par une suite de valeurs de <math>h</math> tendant vers zéro et convenablement choisies. {{refancre|accroissement-175}} Les nombres dérivés sont donc, lorsqu’ils sont finis, au plus de seconde classe et en tout cas {{lié|mesurables B}}<ref>Cette distinction est nécessaire car nous n’avons appliqué la classification de {{M.|Baire}} qu’aux fonctions partout finies. Mais on peut étendre cette classification à toutes les fonctions.</ref>. |
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