« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/148 » : différence entre les versions

Remarquons que, dans l’énoncé de ce théorème, nous n’avons pas eu à supposer que la limite <math>f(x)</math> était sommable alors que nous avions eu à formuler cette hypothèse dans l’énoncé de la [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VII#convergence-monotone-128|{{lié|page 128}}]]. On peut, avec {{M.|{{abréviation|{{lié|B. Levi}}|Beppo Levi}}}}<ref>''{{lang|it|Reale {{abréviation|Ist.|Istituto}} Lombardo ; Rendiconti}}'', {{t.|39}}, 1906.</ref>, transformer ce dernier énoncé de façon à n’avoir plus rien à supposer sur la limite <math>f(x)</math>. Pour donner à la proposition toute sa portée, définissons ce qu’on entend par une fonction mesurable non toujours finie. C’est une fonction qui prend, en tout point de l’intervalle ou de l’ensemble <math>\mathrm{E}</math> considéré, une valeur déterminée en grandeur et ''en signe'', mais non toujours finie. Pour une telle fonction <math>f</math>, il y a donc en général un ensemble <math>{\mathrm{E}(f = +\infty)}</math> et un ensemble <math>{\mathrm{E}(f = -\infty)}</math>. En disant que <math>f</math> est mesurable on exprime que ces deux ensembles sont mesurables et que <math>f</math> est mesurable dans l’ensemble des points où elle est finie. On peut encore dire si l’on veut que l’ensemble <math>{\mathrm{E}[\alpha \leqq f(x) < \beta]}</math>, ou l’ensemble <math>{\mathrm{E}[\alpha < f(x)]}</math>, ou l’ensemble <math>{\mathrm{E}[f(x) \leqq \beta]}</math>, est mesurable quels que soient les nombre finis ou infinis <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>.