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{{c|<math>\begin{align} |
{{c|<math>\begin{align} |
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&\mathrm{F}(x_{i+i}-0) - \mathrm{F}(x_i-0) \\ |
&\mathrm{F}(x_{i+i}-0) - \mathrm{F}(x_i-0) \\ |
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&\quad = f(x_i)[\alpha(x_{i+1}-0) - \alpha(x_i-0)] + \theta_i\varepsilon[\alpha(x_{i+1}-0) - \alpha(x_i-0)]\text{,} |
&\quad = f(x_i)\left[\alpha(x_{i+1}-0) - \alpha(x_i-0)\right] + \theta_i\varepsilon\left[\alpha(x_{i+1}-0) - \alpha(x_i-0)\right]\text{,} |
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\end{align}</math>|m=1em}} |
\end{align}</math>|m=1em}} |
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{{SA|<math>\theta_i</math> étant compris entre −1 {{lié|et +1}} ; ceci s’écrit encore}} |
{{SA|<math>\theta_i</math> étant compris entre −1 {{lié|et +1}} ; ceci s’écrit encore}} |
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{{c|<math>\begin{align} |
{{c|<math>\begin{align} |
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&\mathrm{F}(x_{i+i}-0) - \mathrm{F}(x_i-0) \\ |
&\mathrm{F}(x_{i+i}-0) - \mathrm{F}(x_i-0) \\ |
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&\quad = f(x_i) \, m_{\alpha(x)}\![x_i \leqq x < x_{i+1}] + \theta_i\varepsilon[\mathrm{V}(x_{i+1}-0) - \mathrm{V}(x_i-0)]\text{,} |
&\quad = f(x_i) \, m_{\alpha(x)}\![x_i \leqq x < x_{i+1}] + \theta_i\varepsilon\left[\mathrm{V}(x_{i+1}-0) - \mathrm{V}(x_i-0)\right]\text{,} |
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\end{align}</math>|m=1em}} |
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{{SA|<math>{\mathrm{V}(x)}</math> désignant comme toujours la variation totale de <math>{\alpha(x)}</math> de <math>a</math> à <math>x</math>. D’où}} |
{{SA|<math>{\mathrm{V}(x)}</math> désignant comme toujours la variation totale de <math>{\alpha(x)}</math> de <math>a</math> à <math>x</math>. D’où}} |
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{{c|<math>\begin{align} |
{{c|<math>\begin{align} |
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f(b-0) - f(a) &= f(a) [\alpha(x_1-0) - \alpha(a)] \\ |
f(b-0) - f(a) &= f(a) \left[\alpha(x_1-0) - \alpha(a)\right] \\ |
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&\quad + \textstyle\sum f(x_i)[\alpha(x_{i+1}-0) - \alpha(x_i-0)] + \theta\varepsilon\mathrm{V}\text{.} |
&\quad + \textstyle\sum f(x_i)\left[\alpha(x_{i+1}-0) - \alpha(x_i-0)\right] + \theta\varepsilon\mathrm{V}\text{.} |
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\end{align}</math>|m=1em}} |
\end{align}</math>|m=1em}} |
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| Ligne 19 : | Ligne 19 : | ||
Reprenons la formule que nous venons de trouver |
Reprenons la formule que nous venons de trouver |
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{{c|<math>\mathrm{F}(b-0) - \mathrm{F}(a) = \lim_{\varepsilon \to 0}{\sum_{i=0} f(x_i) \, m_{\alpha(x)}\![x_i \leqq x < x_{i+1}]}</math>,|m=1em}} |
{{c|<math>\mathrm{F}(b-0) - \mathrm{F}(a) = \lim_{\varepsilon \to 0}{\sum_{i=0} f(x_i) \, m_{\alpha(x)}\![x_i \leqq x < x_{i+1}]}</math>,|m=1em}} |
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{{SA|formule dans laquelle, pour simplifier, nous avons fait rentrer sous le signe <math>\textstyle\sum</math> la contribution de <math>{(a, x)}</math> malgré sa forme spéciale. Et précisons, comme [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX#chaine-176|{{lié|pages 176}} et suivantes]], le choix des intervalles de la chaîne. Supposons pour cela <math>f(x)</math> sommable par rapport à <math>{\alpha(x)}</math> et soit <math>\mathrm{E}_l</math> l’ensemble <math>{\mathrm{E}[l\varepsilon \leqq f(x) (l+1)\varepsilon]}</math> ; enfermons <math>\mathrm{E}_l</math> dans un ensemble <math>\mathrm{A}_l</math> d’intervalles non empiétants dont la mesure, par rapport à <math>{\mathrm{V}(x)}</math>, ne surpasse celle de <math>\mathrm{E}_l</math> que de <math>\varepsilon_l</math> au plus ; les nombres <math>\varepsilon_l</math> étant choisis tels que les séries <math>{\textstyle\sum \varepsilon_l}</math> et <math>{\textstyle\sum |l|\varepsilon_l}</math> soient convergentes et de sommes <math>\eta</math> et <math>\zeta</math> très petites.}} |
{{SA|formule dans laquelle, pour simplifier, nous avons fait rentrer sous le signe <math>\textstyle\sum</math> la contribution de <math>{(a, x)}</math> malgré sa forme spéciale. Et précisons, comme [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX#chaine-176|{{lié|pages 176}} et suivantes]], le choix des intervalles de la chaîne. Supposons pour cela <math>f(x)</math> sommable par rapport à <math>{\alpha(x)}</math> et soit <math>\mathrm{E}_l</math> l’ensemble <math>{\mathrm{E}\left[l\varepsilon \leqq f(x) (l+1)\varepsilon\right]}</math> ; enfermons <math>\mathrm{E}_l</math> dans un ensemble <math>\mathrm{A}_l</math> d’intervalles non empiétants dont la mesure, par rapport à <math>{\mathrm{V}(x)}</math>, ne surpasse celle de <math>\mathrm{E}_l</math> que de <math>\varepsilon_l</math> au plus ; les nombres <math>\varepsilon_l</math> étant choisis tels que les séries <math>{\textstyle\sum \varepsilon_l}</math> et <math>{\textstyle\sum |l|\varepsilon_l}</math> soient convergentes et de sommes <math>\eta</math> et <math>\zeta</math> très petites.}} |
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Assujettissons l’intervalle <math>{(x_i, x_{i+1})}</math> dont l’origine <math>x_i</math> appartient |
Assujettissons l’intervalle <math>{(x_i, x_{i+1})}</math> dont l’origine <math>x_i</math> appartient |
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