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Il serait facile de démontrer directement, par des raisonnements entièrement analogues à ceux du Chapitre{{lié}}{{rom-maj|VII|7}}, que cette définition fournit un nombre déterminé, que ce nombre vérifie bien les conditions de notre problème et d’en trouver les principales propriétés. Mais nous allons faire tout cela d’un seul coup en prouvant quel <math>{\mathrm{I}(f)}</math> est identique à l’intégrale de <math>{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}[\alpha(x)]}</math> définie [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre XI#Stieltjès-Lebesgue-261|{{lié|page 261}}]]. Nous utiliserons les fonctions <math>x(v)</math> et <math>{\mathrm{A}(v)}</math> qui nous ont alors servi. |
Il serait facile de démontrer directement, par des raisonnements entièrement analogues à ceux du Chapitre{{lié}}{{rom-maj|VII|7}}, que cette définition fournit un nombre déterminé, que ce nombre vérifie bien les conditions de notre problème et d’en trouver les principales propriétés. Mais nous allons faire tout cela d’un seul coup en prouvant quel <math>{\mathrm{I}(f)}</math> est identique à l’intégrale de <math>{\textstyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}[\alpha(x)]}</math> définie [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre XI#Stieltjès-Lebesgue-261|{{lié|page 261}}]]. Nous utiliserons les fonctions <math>x(v)</math> et <math>{\mathrm{A}(v)}</math> qui nous ont alors servi. |
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L’expression précédemment obtenue de la mesure d’un ensemble, par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>, nous donne |
L’expression précédemment obtenue de la mesure d’un ensemble, par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>, nous donne |
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= \int_0^\mathrm{V} f(x,v).{'\!\mathrm{A}(v)}\,\mathrm{d}v \\ |
= \int_0^\mathrm{V} f(x,v).{'\!\mathrm{A}(v)}\,\mathrm{d}v \\ |
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&= \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}[\alpha(x)]\text{.} |
&= \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}[\alpha(x)]\text{.} |
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\end{align}</math>|m=1em}} |
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La définition que nous venons de donner, et qui est due à {{M.|Radon}}, est donc équivalente à celle de la [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre XI#Stieltjès-Lebesgue-261|{{lié|page 261}}]] et celle-ci nous dispense de toute étude directe des propriétés de l’intégrale de Stieltjès. Nous allons pourtant montrer, à titre d’exemple, comment se présente la généralisation de la notion de fonction absolument continue<ref name=p284>Parmi les questions que pourra traiter le lecteur à titre d’exercice je signale les suivantes. Appliquer les méthodes de Jordan au problème de la mesure relative à <math>{\alpha(x)}</math> ; définir l’étendue par rapport à <math>{\alpha(x)}</math> ; montrer que les fonctions {{lié|mesurables J}} par rapport à <math>{\alpha(x)}</math> sont les fonctions intégrables, au sens de Stieltjès-Riemann, par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>. Comparer le champ d’extension de la définition de Radon à celui des diverses définitions données dans le paragraphe{{lié}}{{rom-maj|I|1}} de ce Chapitre ; et en particulier montrer que, de même que l’extension de la notion de mesure obtenue ([[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre XI#mesure-Stieltjès-277|{{pg|277}}]]) à l’aide d’un changement de variable de la forme <math>{t = x + v(x)}</math>, ne s’appliquait qu’aux ensembles qui sont mesurables</ref> ; mais, auparavant, examinons comment il |
La définition que nous venons de donner, et qui est due à {{M.|Radon}}, est donc équivalente à celle de la [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre XI#Stieltjès-Lebesgue-261|{{lié|page 261}}]] et celle-ci nous dispense de toute étude directe des propriétés de l’intégrale de Stieltjès. Nous allons pourtant montrer, à titre d’exemple, comment se présente la généralisation de la notion de fonction absolument continue<ref name=p284>Parmi les questions que pourra traiter le lecteur à titre d’exercice je signale les suivantes. Appliquer les méthodes de Jordan au problème de la mesure relative à <math>{\alpha(x)}</math> ; définir l’étendue par rapport à <math>{\alpha(x)}</math> ; montrer que les fonctions {{lié|mesurables J}} par rapport à <math>{\alpha(x)}</math> sont les fonctions intégrables, au sens de Stieltjès-Riemann, par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>. Comparer le champ d’extension de la définition de Radon à celui des diverses définitions données dans le paragraphe{{lié}}{{rom-maj|I|1}} de ce Chapitre ; et en particulier montrer que, de même que l’extension de la notion de mesure obtenue ([[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre XI#mesure-Stieltjès-277|{{pg|277}}]]) à l’aide d’un changement de variable de la forme <math>{t = x + v(x)}</math>, ne s’appliquait qu’aux ensembles qui sont mesurables</ref> ; mais, auparavant, examinons comment il |
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