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Mais si <math>{\alpha(x)}</math> est seulement à variation bornée, la condition{{lié}}{{1o}} ne peut être conservée puisqu’elle n’est même plus vérifiée pour tous les intervalles. Nous la remplacerons par la suivante : |
Mais si <math>{\alpha(x)}</math> est seulement à variation bornée, la condition{{lié}}{{1o}} ne peut être conservée puisqu’elle n’est même plus vérifiée pour tous les intervalles. Nous la remplacerons par la suivante : |
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{{p début|100|m= |
{{p début|100|m=1em}} |
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1′ ''La mesure d’un ensemble par rapport à une fonction non décroissante est positive ou nulle.'' |
1′ ''La mesure d’un ensemble par rapport à une fonction non décroissante est positive ou nulle.'' |
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{{p fin}} |
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Si <math>\mathrm{E}_x</math> est un ensemble, enfermons-le dans des suites <math>\mathcal{E}_x^1</math>, <math>\mathcal{E}_x^2</math>, |
Si <math>\mathrm{E}_x</math> est un ensemble, enfermons-le dans des suites <math>\mathcal{E}_x^1</math>, {{nobr|<math>\mathcal{E}_x^2</math>, …}} d’ensembles d’intervalles ouverts tels que les sommes <math>{{\textstyle\sum}^1 \delta v}</math>, {{nobr|<math>{{\textstyle\sum}^2 \delta v}</math>, …}} correspondantes tendent vers la plus petite valeur possible. Soit <math>\mathcal{E}_x^{ij}</math> l’ensemble commun à <math>\mathcal{E}_x^i</math> et <math>\mathcal{E}_x^j</math> ; comme <math>\mathcal{E}_x^{ij}</math> enferme <math>\mathrm{E}_x</math> il fournit une somme <math>{{\textstyle\sum}^{ij} \delta v}</math> telle que <math>{{\textstyle\sum}^i \delta v - {\textstyle\sum}^{ij} \delta v}</math>, <math>{{\textstyle\sum}^j \delta v - {\textstyle\sum}^{ij} \delta v}</math> tendent vers zéro quand <math>i</math> et <math>j</math> augmentent indéfiniment tous deux. Or les trois ensembles <math>\mathcal{E}_x^i</math>, <math>\mathcal{E}_x^j</math>, <math>\mathcal{E}_x^{ij}</math> fournissent des sommes d’accroissements de <math>{\alpha(x)}</math> telles que l’on ait |
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{{c|<math>\begin{align} |
{{c|<math>\begin{align} |
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\textstyle \left\vert {\sum}^i \delta\alpha - {\sum}^{ij} \delta\alpha \right\vert |
\textstyle \left\vert {\sum}^i \delta\alpha - {\sum}^{ij} \delta\alpha \right\vert |
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