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''Lorsque la fonction déterminante est continue, l’intégrale indéfinie est continue.'' En effet, dans ce cas, <math>{\mathrm{V}(l) - \mathrm{V}(m)}</math> tend vers zéro avec la longueur de <math>{(m, l)}</math> ; donc il en est de même de <math>{\mathrm{F}(l) - \mathrm{F}(m)}</math>. |
''Lorsque la fonction déterminante est continue, l’intégrale indéfinie est continue.'' En effet, dans ce cas, <math>{\mathrm{V}(l) - \mathrm{V}(m)}</math> tend vers zéro avec la longueur de <math>{(m, l)}</math> ; donc il en est de même de <math>{\mathrm{F}(l) - \mathrm{F}(m)}</math>. |
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D’une façon plus générale, l’intégrale indéfinie est continue en tout point de continuité de <math>{\alpha(x)}</math>. Mais ''elle est discontinue en <math>x_0</math> si <math>{f(x_0)}</math> est différent de zéro et si <math>{\alpha(x)}</math> admet <math>x_0</math> pour point de discontinuité. En effet, <math>x_0</math> étant supposé différent de <math>a</math>, soient <math>{\beta(x)}</math> et <math>{\gamma(x)}</math> deux fonctions définies comme il suit : |
D’une façon plus générale, l’intégrale indéfinie est continue en tout point de continuité de <math>{\alpha(x)}</math>. Mais ''elle est discontinue en <math>x_0</math> si <math>{f(x_0)}</math> est différent de zéro et si <math>{\alpha(x)}</math> admet <math>x_0</math> pour point de discontinuité''. En effet, <math>x_0</math> étant supposé différent de <math>a</math>, soient <math>{\beta(x)}</math> et <math>{\gamma(x)}</math> deux fonctions définies comme il suit : |
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{{SA|pour <math>{x < x_0}</math>,}} |
{{SA|pour <math>{x < x_0}</math>,}} |
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{{c|<math>\beta(x) = \alpha(x)</math>,{{iv}}<math>\gamma(x) = 0</math> ;|m= |
{{c|<math>\beta(x) = \alpha(x)</math>,{{iv}}<math>\gamma(x) = 0</math> ;|m=0em}} |
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{{c|<math>\beta(x_0) = \alpha(x_0 - 0)</math>,{{iv}}<math>\gamma(x_0) = \alpha(x_0) - \alpha(x_0 - 0)</math> ;|mt=0em|mb=1em}} |
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{{SA|pour <math>{x > x_0}</math>}} |
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{{c|<math>\beta(x) = \alpha(x) - \alpha(x_0 + 0) + \alpha(x_0 - 0)</math>, <math>\qquad\quad\;\gamma(x) = \alpha(x_0 + 0) - \alpha(x_0 - 0)</math>.|mt=0em|mb=1em}} |
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{{SA|<math>{\beta(x)}</math> et <math>{\gamma(x)}</math> sont deux fonctions à variations bornées dont la somme est <math>{\alpha(x)}</math>. L’intégrale indéfinie <math>{\mathrm{F}(x) = \mathrm{A}(x)}</math>, relative à <math>{\alpha(x)}</math>, est donc la somme de celles relatives à <math>{\beta(x)}</math> et <math>{\gamma(x)}</math> ; soient <math>{\mathrm{B}(x)}</math> et <math>{\mathrm{C}(x)}</math>. Or <math>{\mathrm{B}(x)}</math> est continue en <math>x_0</math>, car <math>{\beta(x)}</math> est continue en <math>x_0</math> et <math>{\mathrm{C}(x)}</math> est évidemment égale à}} |
{{SA|<math>{\beta(x)}</math> et <math>{\gamma(x)}</math> sont deux fonctions à variations bornées dont la somme est <math>{\alpha(x)}</math>. L’intégrale indéfinie <math>{\mathrm{F}(x) = \mathrm{A}(x)}</math>, relative à <math>{\alpha(x)}</math>, est donc la somme de celles relatives à <math>{\beta(x)}</math> et <math>{\gamma(x)}</math> ; soient <math>{\mathrm{B}(x)}</math> et <math>{\mathrm{C}(x)}</math>. Or <math>{\mathrm{B}(x)}</math> est continue en <math>x_0</math>, car <math>{\beta(x)}</math> est continue en <math>x_0</math> et <math>{\mathrm{C}(x)}</math> est évidemment égale à}} |
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