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Le changement de variable ([[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VIII#changement-de-variables-167|{{pg|167}}]]) |
Le changement de variable ([[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VIII#changement-de-variables-167|{{pg|167}}]]) |
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{{c|<math>t = x + \mathrm{P}_s(x)</math>,|m=1em}} |
{{c|<math>t = x + \mathrm{P}_s(x)</math>,|m=1em}} |
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{{SA|transforme <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math>, <math>{\mathrm{AC}(x)}</math>, <math>{\mathrm{G}(x)}</math> en des fonctions absolument continues <math>{p_s(t)}</math>, <math>{ac(t)}</math>, <math>g(t)</math> et <math>\mathrm{ |
{{SA|transforme <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math>, <math>{\mathrm{AC}(x)}</math>, <math>{\mathrm{G}(x)}</math> en des fonctions absolument continues <math>{p_s(t)}</math>, <math>{ac(t)}</math>, <math>g(t)</math> et <math>\mathrm{E}^{ip}</math> en <math>e^{ip}</math>, un ensemble <math>\mathrm{I}</math> d’intervalles enfermant <math>\mathrm{E}^{ip}</math> en un ensemble <math>i</math> d’intervalles enfermant <math>e^{ip}</math>, les variations totales de <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math> et de <math>{\mathrm{AC}(x)}</math>, dans <math>\mathrm{I}</math>, en les variations totales de <math>{p_s(t)}</math> et de <math>{ac(t)}</math>, {{nobr|dans <math>i</math>.}}}} |
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Or, pour <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math>, la variation totale dans <math>\mathrm{I}</math> est égale à <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math>, c’est-à-dire à la variation totale dans tout <math>{(a, b)}</math>, parce que <math>\mathrm{E}^{ip}</math> est l’ensemble des singularités de <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math>. Donc la variation totale de <math>{p_s(t)}</math> dans <math>e^{ip}</math> est égale à sa variation totale dans <math>{(a, b)}</math> et par suite est différente de zéro. Ceci montre que <math>e^{ip}</math> est de mesure non nulle. |
Or, pour <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math>, la variation totale dans <math>\mathrm{I}</math> est égale à <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math>, c’est-à-dire à la variation totale dans tout <math>{(a, b)}</math>, parce que <math>\mathrm{E}^{ip}</math> est l’ensemble des singularités de <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math>. Donc la variation totale de <math>{p_s(t)}</math> dans <math>e^{ip}</math> est égale à sa variation totale dans <math>{(a, b)}</math> et par suite est différente de zéro. Ceci montre que <math>e^{ip}</math> est de mesure non nulle. |
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Or, en tout point de <math>\mathrm{E}^{ip}</math>, donc de <math>e^{ip}</math>, on a |
Or, en tout point de <math>\mathrm{E}^{ip}</math>, donc de <math>e^{ip}</math>, on a |
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{{c|<math>\mathrm{P}_s'(x) = +\infty</math> ;|mb=0em|mt=1em}} |
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{{SA|d’où}} |
{{SA|d’où}} |
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{{c|<math>t'(x) = 1 + \mathrm{P}_s'(x) = +\infty</math>,{{em|2}}<math>x'(t) = 0</math> ;|m=0em}} |
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{{SA|puis}} |
{{SA|puis}} |
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{{c|<math>1 = x'(t) + p_s'(t)</math>,{{em|2}}<math>p_s'(t) = 1</math>.|mt=0em|mb=1em}} |
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Donc la dérivée de <math>{g(t) = ac(t) + p_s(t)}</math> existe et est égale {{lié|à 1}} en tous les points d’un ensemble <math>e_0</math> contenu dans <math>e^{ip}</math> et de même mesure que lui. |
Donc la dérivée de <math>{g(t) = ac(t) + p_s(t)}</math> existe et est égale {{lié|à 1}} en tous les points d’un ensemble <math>e_0</math> contenu dans <math>e^{ip}</math> et de même mesure que lui. |
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