« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/252 » : différence entre les versions

{{p début de page|100|mt=1.5em}}une infinité de termes positifs et de somme <math>+\infty</math>, ni toujours une infinité de termes négatifs et de somme <math>-\infty</math>, pour tout intervalle <math>{(l, m)}</math> contenant des points de <math>\mathrm{E}</math>, c’est qu’il existe un tel intervalle <math>{(l, m)}</math> pour lequel la série <math>{\sum_{(l,m)}^\mathrm{E} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> est convergente. Supprimons les points de <math>\mathrm{E}</math> en dehors de <math>{(l, m)}</math>, nous pouvons dire que <math>{\sum_{(a,b)}^\mathrm{E} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> est convergente.

Ceci étant, choisissons dans <math>{(a, b)}</math> une suite d’ensembles d’intervalles <math>\mathrm{I}_1</math>, <math>\mathrm{I}_2</math>,&nbsp;…, satisfaisant aux conditions suivantes : chacun d’eux contient les suivants, les mesures des <math>\mathrm{I}_p</math> tendent vers zéro, chaque origine d’un intervalle doit avoir à sa droite des points de <math>\mathrm{E}</math> aussi près que l’on veut, et chaque extrémité doit avoir à sa gauche des points de <math>\mathrm{E}</math> dont il est point limite, les origines et extrémités des intervalles de <math>\mathrm{I}_{k-1}</math> sont origines et extrémités d’intervalles de <math>\mathrm{I}_k</math> ; enfin, la partie <math>i_k</math> de <math>\mathrm{I}_k</math> contenue dans l’un quelconque des intervalles de <math>\mathrm{I}_{k-1}</math>, doit donner une valeur supérieure à <math>k</math> pour <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{F}(x)}(i_k)}</math>. Il est clair que le complémentaire <math>\mathrm{J}_k</math> de <math>\mathrm{I}_k</math> fournit un accroissement <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{F}(x)}(\mathrm{J}_k)}</math> qui tend vers <math>-\infty</math> puisque l’on a