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{{refancre|raisonnement-221}} Nous utiliserons aussi la propriété suivante<ref>Cette propriété remplacera ici le second théorème fondamental (métrique) relatif aux nombres dérivés, de {{M.|Denjoy}}.</ref> : |
{{refancre|raisonnement-221}} Nous utiliserons aussi la propriété suivante<ref>Cette propriété remplacera ici le second théorème fondamental (métrique) relatif aux nombres dérivés, de {{M.|Denjoy}}.</ref> : |
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''Si le rapport <math>{r[\mathrm{F}(x), x_0, x_0 + h]}</math> relatif à une fonction continue <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est borné supérieurement uniformément pour tous les points <math>x_0</math> appartenant à un ensemble fermé <math>\mathrm{E}</math>, <math>{h > 0}</math>,'' |
''Si le rapport <math>{r[\mathrm{F}(x), x_0, x_0 + h]}</math> relatif à une fonction continue <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est borné supérieurement uniformément pour tous les points <math>x_0</math> appartenant à un ensemble fermé <math>\mathrm{E}</math>, <math>{h > 0}</math>,'' |
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''le nombre dérivé supérieur à droite <math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x)}</math> n’est, sur <math>\mathrm{E}</math>, égal à <math>-\infty</math> qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle, <math>\mathrm{E}^{in}</math>.'' |
''le nombre dérivé supérieur à droite <math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x)}</math> n’est, sur <math>\mathrm{E}</math>, égal à <math>-\infty</math> qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle, <math>\mathrm{E}^{in}</math>.'' |
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<math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x)}</math> a, dans l’ensemble <math>{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}}</math>, une intégrale déterminée, finie, et l’on a'' |
''<math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x)}</math> a, dans l’ensemble <math>{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}}</math>, une intégrale déterminée, finie, et l’on a'' |
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{{c|<math>\mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a) \leqq \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}} \Lambda_d\mathrm{F}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a) \leqq \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}} \Lambda_d\mathrm{F}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math>.|m=1em}} |
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