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{{SA/f|tend vers <math>{\mathrm{P}(\mathrm{E}^{ip})}</math>, on a}} |
{{SA/f|tend vers <math>{\mathrm{P}(\mathrm{E}^{ip})}</math>, on a}} |
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{{c|<math>\mathrm{P} \geqq \int_a^b \frac{1}{2} [\Lambda f + |\Lambda f|]\,\mathrm{d}x + \mathrm{P}(\mathrm{E}^{ip})</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\mathrm{P} \geqq \int_a^b \frac{1}{2} \left[\Lambda f + |\Lambda f|\right]\,\mathrm{d}x + \mathrm{P}(\mathrm{E}^{ip})</math>.|m=1em}} |
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{{SA|En rapprochant les deux inégalités de sens inverses obtenues, on conclut finalement}} |
{{SA|En rapprochant les deux inégalités de sens inverses obtenues, on conclut finalement}} |
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{{c|<math>\mathrm{P} = \int_a^b \frac{1}{2} [\Lambda f + |\Lambda f|]\,\mathrm{d}x + \mathrm{P}(\mathrm{E}^{ip})</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\mathrm{P} = \int_a^b \frac{1}{2} \left[\Lambda f + |\Lambda f|\right]\,\mathrm{d}x + \mathrm{P}(\mathrm{E}^{ip})</math>.|m=1em}} |
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Donc {{refancre|PN-181}} <math>{\mathrm{P}(\mathrm{E}^{ip})}</math>, qui désigne l’une ''quelconque'' des limites de <math>\mathrm{P(I)}</math>, a une valeur déterminée ; nous pouvons énoncer ce résultat comme il suit : |
Donc {{refancre|PN-181}} <math>{\mathrm{P}(\mathrm{E}^{ip})}</math>, qui désigne l’une ''quelconque'' des limites de <math>\mathrm{P(I)}</math>, a une valeur déterminée ; nous pouvons énoncer ce résultat comme il suit : |
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{{p début|100|m= |
{{p début|100|m=1em}} |
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''Si <math>{\Lambda f}</math> est l’un des nombres dérivés d’une fonction continue <math>f(x)</math>, pour que <math>f(x)</math> soit à variation bornée il faut et il suffit que <math>{\Lambda f}</math> soit sommable dans l’ensemble des points où il est fini et positif, que l’ensemble <math>\mathrm{E}^{ip}</math> des points ou <math>{\Lambda f}</math> est infini positif soit de mesure nulle et qu’il puisse être enfermé dans des intervalles <math>\mathrm{I}</math> fournissant une somme de variations totales positives <math>\mathrm{P(I)}</math> qui soit bornée.'' |
''Si <math>{\Lambda f}</math> est l’un des nombres dérivés d’une fonction continue <math>f(x)</math>, pour que <math>f(x)</math> soit à variation bornée il faut et il suffit que <math>{\Lambda f}</math> soit sommable dans l’ensemble des points où il est fini et positif, que l’ensemble <math>\mathrm{E}^{ip}</math> des points ou <math>{\Lambda f}</math> est infini positif soit de mesure nulle et qu’il puisse être enfermé dans des intervalles <math>\mathrm{I}</math> fournissant une somme de variations totales positives <math>\mathrm{P(I)}</math> qui soit bornée.'' |
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On a, bien entendu, un énoncé analogue en changeant positif en négatif, <math>\mathrm{E}^{ip}</math> en <math>\mathrm{E}^{in}</math>, <math>\mathrm{P}</math> en <math>\mathrm{N}</math>, qu’exprime l’égalité |
On a, bien entendu, un énoncé analogue en changeant positif en négatif, <math>\mathrm{E}^{ip}</math> en <math>\mathrm{E}^{in}</math>, <math>\mathrm{P}</math> en <math>\mathrm{N}</math>, qu’exprime l’égalité |
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{{c|<math>\mathrm{N} = \int_a^b \frac{1}{2} [|\Lambda f| - \Lambda f|]\,\mathrm{d}x + \mathrm{N}(\mathrm{E}^{in})</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\mathrm{N} = \int_a^b \frac{1}{2} \left[|\Lambda f| - \Lambda f|\right]\,\mathrm{d}x + \mathrm{N}(\mathrm{E}^{in})</math>.|m=1em}} |
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De <math>\mathrm{P}</math> et <math>\mathrm{N}</math>, par addition et soustraction, nous déduisons la variation totale <math>\mathrm{ |
De <math>\mathrm{P}</math> et <math>\mathrm{N}</math>, par addition et soustraction, nous déduisons la variation totale <math>\mathrm{V}</math> et l’accroissement <math>{f(b) - f(a)}</math> de <math>f(x)</math> dans <math>{(a, b)}</math>. L’ensemble <math>{\mathrm{E}^{i} = \mathrm{E}^{ip} + \mathrm{E}^{in}}</math> des points où <math>{\Lambda f}</math> est infini, est de mesure nulle. Tout ensemble <math>\mathrm{I}</math> d’intervalles non empiétants enfermant <math>\mathrm{E}^i</math>, et dont la mesure tend vers zéro, peut donc servir simultanément au calcul de <math>{\mathrm{P}(\mathrm{E}^{ip})}</math>, de <math>{\mathrm{N}(\mathrm{E}^{in})}</math> que l’on peut noter en conséquence <math>{\mathrm{P}(\mathrm{E}^i)}</math>, <math>{\mathrm{N}(\mathrm{E}^i)}</math> ; la limite de la somme <math>\mathrm{V(I)}</math> des variations totales dans les intervalles de <math>\mathrm{I}</math> sera <math>{\mathrm{P}(\mathrm{E}^i) + \mathrm{N}(\mathrm{E}^i) = \mathrm{V}(\mathrm{E}^i)}</math> ; parce que, dans un intervalle <math>\delta</math>, <math>{\mathrm{P}(\delta) + \mathrm{N}(\delta) = \mathrm{V}(\delta)}</math>. Mais, |
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