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{{nr||{{t|L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.|75}}|155}} |
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{{SA/f|points de discontinuité ; inversement, si <math>\mathrm{F(X)}</math> répond à la question, toute fonction à variation bornée, égale à <math>\mathrm{F(X)}</math> en tous les points où elles sont toutes deux continues à la fois, y répond aussi. ''Nous retrouverons souvent cette indétermination de <math>\mathrm{F(X)}</math> à laquelle il faut tout de suite penser dès qu’on arrive à des conclusions qui semblent contradictoires.''}} |
{{SA/f|points de discontinuité ; inversement, si <math>\mathrm{F(X)}</math> répond à la question, toute fonction à variation bornée, égale à <math>\mathrm{F(X)}</math> en tous les points où elles sont toutes deux continues à la fois, y répond aussi. ''Nous retrouverons souvent cette indétermination de <math>\mathrm{F(X)}</math> à laquelle il faut tout de suite penser dès qu’on arrive à des conclusions qui semblent contradictoires.''}} |
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{{Interligne}} |
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Examinons le passage inverse d’une fonction à variation bornée <math>\mathrm{F(X)}</math> à une fonction d’intervalles définie par les formules |
Examinons le passage inverse d’une fonction à variation bornée <math>\mathrm{F(X)}</math> à une fonction d’intervalles définie par les formules |
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{{c|<math>\Phi[\mathrm{X}_0 \leqq \mathrm{Y}_0] = \mathrm{F(Y_0 + 0) - F(X_0 - 0)}</math>,|mt=1em}} |
{{c|<math>\Phi\left[\mathrm{X}_0 \leqq x \leqq \mathrm{Y}_0\right] = \mathrm{F(Y_0 + 0) - F(X_0 - 0)}</math>,|mt=1em}} |
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{{c|<math>\Phi[\mathrm{X}_0] = \mathrm{F(X_0 + 0) - F(X_0 - 0)}</math>,|mb=1em}} |
{{c|<math>\Phi\left[\mathrm{X}_0\right] = \mathrm{F(X_0 + 0) - F(X_0 - 0)}</math>,|mb=1em}} |
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{{SA|et celles qui en résultent pour les ensembles ouverts ou à demi ouverts quand on veut que <math>\Phi</math> soit additive. Nous voulons prouver que la fonction <math>\Phi</math> ainsi obtenue est complètement additive.}} |
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Considérons un intervalle <math>{\Delta = (l \leqq x \leqq m)}</math> et divisons-le par un ensemble réductible de points en la famille des intervalles ouverts |
Considérons un intervalle <math>{\Delta = (l \leqq x \leqq m)}</math> et divisons-le par un ensemble réductible de points en la famille des intervalles ouverts |
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{{c|<math>\delta_i = (l_i < x < m_i)</math>|m=1em}} |
{{c|<math>\delta_i = (l_i < x < m_i)</math>|m=1em}} |
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{{SA|contigus à <math>\mathrm{E}</math> et les points de <math>\mathrm{E}</math>, parmi lesquelles se trouvent <math>l</math> et <math>m</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, |
{{SA|contigus à <math>\mathrm{E}</math> et les points de <math>\mathrm{E}</math>, parmi lesquelles se trouvent <math>l</math> et <math>m</math>, <math>x_1</math>, {{nobr|<math>x_2</math>, ….}} On aura ainsi la division la plus générale d’un intervalle en parties sans points communs, à ceci près qu’on pourrait réunir <math>\delta_i</math> et une ou deux de ses extrémités pour constituer un intervalle demi-fermé ou fermé. La formule à démontrer est donc}} |
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{{c|<math>\Phi(\Delta) = \textstyle\sum \Phi(\delta_i) + \sum \Phi(x_i)</math>,|m=1em}} |
{{c|<math>\Phi(\Delta) = \textstyle\sum \Phi(\delta_i) + \sum \Phi(x_i)</math>,|m=1em}} |
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{{SA|c’est-à-dire}} |
{{SA|c’est-à-dire}} |
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| Ligne 23 : | Ligne 23 : | ||
{{SA|donnera une valeur aussi approchée que l’on veut de la variation totale de <math>\Phi</math> dans <math>\Delta</math>. Or cette somme s’écrit}} |
{{SA|donnera une valeur aussi approchée que l’on veut de la variation totale de <math>\Phi</math> dans <math>\Delta</math>. Or cette somme s’écrit}} |
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{{c|<math>\textstyle \sum |\mathrm{F}(m_i - 0) - \mathrm{F}(l_i + 0)| + \sum |\mathrm{F}(x_i + 0) - \mathrm{F}(x_i - 0)|</math>,|m=1em}} |
{{c|<math>\textstyle \sum |\mathrm{F}(m_i - 0) - \mathrm{F}(l_i + 0)| + \sum |\mathrm{F}(x_i + 0) - \mathrm{F}(x_i - 0)|</math>,|m=1em}} |
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{{SA/ |
{{SA/o|quantité qui s’approche autant qu’on le veut de la variation totale}} |
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