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les deux intervalles <math>{(x_0-h, x_0)}</math>, <math>{(x_0, x_0+h)}</math>, il est clair que <math>\Psi(\mathrm{E})</math> est non bornée dans l’un des deux. Ceci étant, pour démontrer que ''toute fonction finie complètement additive est bornée'', il nous suffira donc de considérer le cas où l’extrémité <math>b</math> de l’intervalle considéré <math>{(a, b)}</math><ref>S’il s’agissait d’une fonction <math>\Psi(\mathrm{E})</math> définie seulement pour les ensembles mesurables formés des points d’un ensemble mesurable donné <math>\mathcal{E}</math>, on étendrait la définition de <math>\Psi(\mathrm{E})</math> à tous les ensembles mesurables formés de points d’un intervalle <math>{(a, b)}</math> contenant <math>\mathcal{E}</math> en convenant que, par définition, pour un tel ensemble <math>\mathrm{E}</math> dont la partie commune avec <math>\mathcal{E}</math> est <math>e</math>, on a <math>{\Psi(\mathrm{E}) = \Psi(e)}</math> ; et que, si <math>e</math> n’existe pas, <math>{\Psi(\mathrm{E}) = 0}</math>. On pourra donc toujours supposer qu’il s’agit d’une fonction définie pour tous les ensembles mesurables d’un intervalle <math>{(a, b)}</math>.</ref> est un point où une fonction <math>\Psi(\mathrm{E})</math> est non bornée et de montrer que <math>\Psi(\mathrm{E})</math> ne peut être à la fois finie et complètement additive. Soient <math>a</math>, <math>a_1</math>, <math>a_2</math>,&nbsp;… une suite de valeurs croissantes tendant vers <math>b</math>. Désignons par <math>\delta_1</math>, <math>\delta_2</math>, <math>\delta_3</math>,&nbsp;… les ensembles de points définis respectivement par

Soient <math>\mathrm{N}_1</math>, <math>\mathrm{N}_2</math>,&nbsp;… les bornes supérieures de <math>|\Psi(\mathrm{E})|</math> respectivement pour les ensembles formés de points de <math>\delta_1</math>, <math>\delta_2</math>,&nbsp;…