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{{nr||{{t|L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.|65}}|123}} |
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{{SA|on a}} |
{{SA|on a}} |
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{{c|<math>\begin{alignat}{3} |
{{c|<math>\begin{alignat}{3} |
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&\sigma(f) &{}={}& \sum_{i=0}^{i=n-1} l_i \, m(\mathrm{ |
&\sigma(f) &{}={}& \sum_{i=0}^{i=n-1} l_i \, m(\mathrm{F}_i) &{}={}& l_{n-1} \, m(\mathrm{F}_0 + \mathrm{F}_1 + \ldots + \mathrm{F}_{n-1}) \\ |
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&&&&&{}-{} \sum_{i=0}^{i=n-2} (l_{i+1} - l_i) \, m(\mathrm{F}_0 + \mathrm{F}_1 + \ldots + \mathrm{F}_{i})\text{,} \\ |
&&&&&{}-{} \sum_{i=0}^{i=n-2} (l_{i+1} - l_i) \, m(\mathrm{F}_0 + \mathrm{F}_1 + \ldots + \mathrm{F}_{i})\text{,} \\ |
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&\sigma(g) &{}={}& \sum_{i=0}^{i=n-1} l_i \, m(\mathrm{ |
&\sigma(g) &{}={}& \sum_{i=0}^{i=n-1} l_i \, m(\mathrm{G}_i) &{}={}& l_{n-1} \, m(\mathrm{G}_0 + \mathrm{G}_1 + \ldots + \mathrm{G}_{n-1}) \\ |
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&&&&&{}-{} \sum_{i=0}^{i=n-2} (l_{i+1} - l_i) \, m(\mathrm{G}_0 + \mathrm{G}_1 + \ldots + \mathrm{G}_{i})\text{.} \\ |
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\end{alignat}</math>|m=1em}} |
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{{c|<math>{\mathrm{G}_0 + \mathrm{G}_1 + \ldots + \mathrm{G}_{i}}</math>|m=1em}} |
{{c|<math>{\mathrm{G}_0 + \mathrm{G}_1 + \ldots + \mathrm{G}_{i}}</math>|m=1em}} |
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{{SA|et, pour <math>{i = n-1}</math>, ces deux ensembles sont identiques. Donc les premiers termes de <math>\sigma(f)</math> et <math>\sigma(g)</math> sont égaux et les autres termes sont plus petits, en valeur absolue, dans <math>\sigma(g)</math> que dans <math>\sigma(f)</math>, ce qui prouve la première inégalité}} |
{{SA|et, pour <math>{i = n-1}</math>, ces deux ensembles sont identiques. Donc les premiers termes de <math>\sigma(f)</math> et <math>\sigma(g)</math> sont égaux et les autres termes sont plus petits, en valeur absolue, dans <math>\sigma(g)</math> que dans <math>\sigma(f)</math>, ce qui prouve la première inégalité}} |
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{{c|<math>\int_a^b f\,\mathrm{d}x \leqq \int_a^b g\,\mathrm{d}x</math>.| |
{{c|<math>\int_a^b f\,\mathrm{d}x \leqq \int_a^b g\,\mathrm{d}x</math>.|mb=0em|mt=1em}} |
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Puisque l’on a |
Puisque l’on a |
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{{c|<math>g \leqq f + \eta</math>,|m= |
{{c|<math>g \leqq f + \eta</math>,|m=0em}} |
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{{SA|on a donc}} |
{{SA|on a donc}} |
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{{c|<math>\int_a^b g\,\mathrm{d}x \leqq \int_a^b (f+\eta)\,\mathrm{d}x</math> ;| |
{{c|<math>\int_a^b g\,\mathrm{d}x \leqq \int_a^b (f+\eta)\,\mathrm{d}x</math> ;|mt=0em|mb=1em}} |
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{{SA|pour calculer cette dernière intégrale de façon approchée servons-nous des nombres <math>{l + \eta}</math>, <math>{\mathrm{L} + \eta}</math>, <math>{l_i + \eta}</math> ; il est clair que l’on trouve}} |
{{SA|pour calculer cette dernière intégrale de façon approchée servons-nous des nombres <math>{l + \eta}</math>, <math>{\mathrm{L} + \eta}</math>, <math>{l_i + \eta}</math> ; il est clair que l’on trouve}} |
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{{c|<math>\begin{align} |
{{c|<math>\begin{align} |
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\sigma(f + \eta) &= \sum_{i=0}^{i=n-1} (l_i + \eta) \, m(\mathrm{F_i}) \\ |
\sigma(f + \eta) &= \sum_{i=0}^{i=n-1} (l_i + \eta) \, m(\mathrm{F_i}) \\ |
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&= \sum_{i=0}^{i=n-1} l_i \, m(\mathrm{F_i}) + \eta \sum_{i=0}^{i=n-1} m(\mathrm{F_i}) = \sigma(f) + (b-a) \eta \text{.} |
&= \sum_{i=0}^{i=n-1} l_i \, m(\mathrm{F_i}) + \eta \sum_{i=0}^{i=n-1} m(\mathrm{F_i}) = \sigma(f) + (b-a) \eta \text{.} |
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\end{align}</math>| |
\end{align}</math>|mb=0em|mt=1em}} |
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{{SA|d’où}} |
{{SA|d’où}} |
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{{c|<math>\int_a^b g\,\mathrm{d}x \leqq \int_a^b (f+\eta)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f\,\mathrm{d}x + \eta (b-a)</math>.| |
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On peut encore dire que si deux fonctions diffèrent de moins |
On peut encore dire que si deux fonctions diffèrent de moins |
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