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{{c|<math>\begin{alignat}{2} |
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\sigma &{}={}& \sum_{i=0}^{i=n-1} &l_i \left(m \lbrace \mathrm{E}[f(x)=l_i] \rbrace + m \lbrace \mathrm{E}[l_i < f(x) < l_{i+1}] \rbrace \right)\text{,} \\ |
\sigma &{}={}& \sum_{i=0}^{i=n-1} &l_i \left(m \lbrace \mathrm{E}[f(x)=l_i] \rbrace + m \lbrace \mathrm{E}[l_i < f(x) < l_{i+1}] \rbrace \right)\text{,} \\ |
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\Sigma &{}={}& \sum_{i=1}^{i=n}\; &l_i \left( |
\Sigma &{}={}& \sum_{i=1}^{i=n}\; &l_i \left(m \lbrace \mathrm{E}[l_{i-1} < f(x) < l_i] \rbrace + m \lbrace \mathrm{E}[f(x)=l_i] \rbrace \right)\text{.} |
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\end{alignat}</math>|m=1em}} |
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Nous savons déjà que ces deux nombres diffèrent de moins de <math>{\varepsilon (b-a)}</math> parce que <math>{\Phi - \varphi}</math> est inférieure à <math>\varepsilon</math>. Si nous faisons tendre <math>\varepsilon</math> vers zéro, en intercalant entre les <math>l_i</math> de nouveaux nombres, alors <math>\sigma</math> croît, <math>\Sigma</math> décroît, <math>{\Sigma - \sigma}</math> tend vers zéro ; donc <math>\sigma</math> et <math>\Sigma</math> ont une même limite. |
Nous savons déjà que ces deux nombres diffèrent de moins de <math>{\varepsilon (b-a)}</math> parce que <math>{\Phi - \varphi}</math> est inférieure à <math>\varepsilon</math>. Si nous faisons tendre <math>\varepsilon</math> vers zéro, en intercalant entre les <math>l_i</math> de nouveaux nombres, alors <math>\sigma</math> croît, <math>\Sigma</math> décroît, <math>{\Sigma - \sigma}</math> tend vers zéro ; donc <math>\sigma</math> et <math>\Sigma</math> ont une même limite. |
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Soient <math>\sigma_1</math>, <math>\Sigma_1</math> ; <math>\sigma_2</math>, <math>\Sigma_2</math> ; … les sommes obtenues par ce procédé ; soient <math>\sigma'_1</math>, <math>\Sigma'_1</math> ; <math>\sigma'_2</math>, <math>\Sigma'_2</math> ; … les sommes obtenues en faisant tendre <math>\varepsilon</math> vers zéro d’une autre manière<ref>Les <math>l_i</math> qui donnent <math>\sigma'_p</math> et <math>\Sigma'_p</math> ne contiennent pas nécessairement ceux qui ont donné <math>\sigma'_{p-1}</math> et <math>\Sigma'_{p-1}</math>, tandis que les <math>l_i</math> donnant <math>\sigma_p</math> et <math>\Sigma_p</math> contiennent les <math>l_i</math> relatifs <math>\sigma_{p-1}</math> et <math>\Sigma_{p-1}</math>.</ref> ; soient <math>\sigma''_1</math>, <math>\Sigma''_1</math> les sommes obtenues en réunissant les nombres <math>l_i</math> donnant <math>\sigma_1</math>, <math>\Sigma_1</math> et <math>\sigma'_1</math>, <math>\Sigma'_1</math> ; soient <math>\sigma''_2</math>, <math>\Sigma''_2</math> celles obtenues en réunissant les <math>l_i</math> donnant <math>\sigma_2</math>, <math>\Sigma_2</math> ; <math>\sigma'_1</math>, <math>\Sigma'_1</math> ; <math>\sigma'_2</math>, <math>\Sigma'_2</math> ; et ainsi de suite. On a évidemment |
Soient <math>\sigma_1</math>, <math>\Sigma_1</math> ; <math>\sigma_2</math>, <math>\Sigma_2</math> ; … les sommes obtenues par ce procédé ; soient <math>\sigma'_1</math>, <math>\Sigma'_1</math> ; <math>\sigma'_2</math>, <math>\Sigma'_2</math> ; … les sommes obtenues en faisant tendre <math>\varepsilon</math> vers zéro d’une autre manière<ref>Les <math>l_i</math> qui donnent <math>\sigma'_p</math> et <math>\Sigma'_p</math> ne contiennent pas nécessairement ceux qui ont donné <math>\sigma'_{p-1}</math> et <math>\Sigma'_{p-1}</math>, tandis que les <math>l_i</math> donnant <math>\sigma_p</math> et <math>\Sigma_p</math> contiennent les <math>l_i</math> relatifs à <math>\sigma_{p-1}</math> et <math>\Sigma_{p-1}</math>.</ref> ; soient <math>\sigma''_1</math>, <math>\Sigma''_1</math> les sommes obtenues en réunissant les nombres <math>l_i</math> donnant <math>\sigma_1</math>, <math>\Sigma_1</math> et <math>\sigma'_1</math>, <math>\Sigma'_1</math> ; soient <math>\sigma''_2</math>, <math>\Sigma''_2</math> celles obtenues en réunissant les <math>l_i</math> donnant <math>\sigma_2</math>, <math>\Sigma_2</math> ; <math>\sigma'_1</math>, <math>\Sigma'_1</math> ; <math>\sigma'_2</math>, <math>\Sigma'_2</math> ; et ainsi de suite. On a évidemment |
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{{c|<math>\begin{alignat}{2} |
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&\sigma_i &{}\leqq \sigma''_i \leqq \Sigma''_i \leqq{}& \Sigma_i \text{,} \\ |
&\sigma_i &{}\leqq \sigma''_i \leqq \Sigma''_i \leqq{}& \Sigma_i \text{,} \\ |
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