« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/131 » : différence entre les versions
_i (x2) |
Balise : Validée |
||
| État de la page (Qualité des pages) | État de la page (Qualité des pages) | ||
| - | + | Page validée | |
| En-tête (noinclude) : | En-tête (noinclude) : | ||
| Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
{{nr||{{t|L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.|65}}|115}} |
|||
| Contenu (par transclusion) : | Contenu (par transclusion) : | ||
| Ligne 14 : | Ligne 14 : | ||
{{c|<math>m(\mathrm{E_i}) \leqq m(\alpha'_i) \leqq m(\alpha_i) \leqq m(\mathrm{E_i}) + \varepsilon_i</math>,|m=1em}} |
{{c|<math>m(\mathrm{E_i}) \leqq m(\alpha'_i) \leqq m(\alpha_i) \leqq m(\mathrm{E_i}) + \varepsilon_i</math>,|m=1em}} |
||
{{SA|donc <math>s</math> est comprise entre <math>\textstyle\sum m(\mathrm{E}_i)</math> et <math>{\textstyle\sum m(\mathrm{E}_i) + \varepsilon}</math>. Cela donne}} |
{{SA|donc <math>s</math> est comprise entre <math>\textstyle\sum m(\mathrm{E}_i)</math> et <math>{\textstyle\sum m(\mathrm{E}_i) + \varepsilon}</math>. Cela donne}} |
||
{{c|<math>m_e(\mathrm{E}) \leqq \sum m(\mathrm{E}_i)</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>m_e(\mathrm{E}) \leqq {\textstyle\sum}\, m(\mathrm{E}_i)</math>.|m=1em}} |
||
Le complémentaire de <math>\mathrm{E}</math>, <math>\mathrm{C_{AB}(E)}</math>, peut être enfermé dans <math>\beta'_i</math> ; or <math>\beta'_i</math> a, en commun avec <math>{\alpha_1 + \alpha'_2 + \alpha'_3 + \ldots}</math>, les intervalles <math>{\alpha'_{i+1} + \alpha'_{i+2} + \ldots}</math>, plus une partie des intervalles communs, à <math>\alpha_1 |
Le complémentaire de <math>\mathrm{E}</math>, <math>\mathrm{C_{AB}(E)}</math>, peut être enfermé dans <math>\beta'_i</math> ; or <math>\beta'_i</math> a, en commun avec <math>{\alpha_1 + \alpha'_2 + \alpha'_3 + \ldots}</math>, les intervalles <math>{\alpha'_{i+1} + \alpha'_{i+2} + \ldots}</math>, plus une partie des intervalles communs, à <math>\alpha_1, \beta_1</math>, une partie de ceux communs à {{nobr|<math>\alpha_2, \beta_2</math>, …,}} une partie de ceux communs à {{corr|α_i ; β_i|<math>\alpha_i, \beta_i</math>}}{{corr|,| ;}} <math>\beta'_i</math> a donc une mesure au plus égale à |
||
{{c|<math> [m(\mathrm{AB}) - s] + \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_i + m(\alpha'_{i+1}) + m(\alpha'_{i+2}) + \ldots</math>,|m=1em}} |
{{c|<math> [m(\mathrm{AB}) - s] + \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_i + m(\alpha'_{i+1}) + m(\alpha'_{i+2}) + \ldots</math>,|m=1em}} |
||
{{SA|et, par suite,}} |
{{SA|et, par suite,}} |
||
{{c|<math>m_e[\mathrm{C_{AB}(E)}] \leqq m(\mathrm{AB}) - \sum m(\mathrm{E}_i)</math>,|m= |
{{c|<math>m_e[\mathrm{C_{AB}(E)}] \leqq m(\mathrm{AB}) - {\textstyle\sum}\, m(\mathrm{E}_i)</math>,|m=0em}} |
||
{{SA|c’est-à-dire}} |
{{SA|c’est-à-dire}} |
||
{{c|<math>m(\mathrm{AB}) - m_e[\mathrm{C_{AB}(E)}] \geqq \sum m(\mathrm{E}_i)</math>,|m= |
{{c|<math>m(\mathrm{AB}) - m_e[\mathrm{C_{AB}(E)}] \geqq {\textstyle\sum}\, m(\mathrm{E}_i)</math>,|m=0em}} |
||
{{SA|ou}} |
{{SA|ou}} |
||
{{c|<math>m_i(\mathrm{E}) \geqq \sum m(\mathrm{E}_i)</math>.| |
{{c|<math>m_i(\mathrm{E}) \geqq {\textstyle\sum}\, m(\mathrm{E}_i)</math>.|mt=0em|mb=1em}} |
||
Les limites inférieure et supérieure trouvées respectivement |
Les limites inférieure et supérieure trouvées respectivement |
||