« Les Loix du mouvement et du repos déduites d’un principe metaphysique » : différence entre les versions
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===Probleme II. Trouver les Loix du Mouvement des Corps Elastiques?===
Soient deux Corps Elastiques, dont les Masses sont ''A'' & ''B'', qui se meuvent vers le même côté, avec les vîtesses ''a'' & ''b'': mais ''A'' plus vîte que ''B'', ensorte qu'il l'atteigne & le choque: & soient α & β les vîtesses des deux corps après le choc: la somme ou la différence de ces vîtesses après le choc, est la même qu'elle etoit auparavant.
Le changeent arrivé dans l'Univers, consiste en ce que le corps ''A'', qui se mouvoit avec la vîtesse ''a'', & qui dans un certain tems parcouroit un espace = ''a'', ne se meut plus qu'avec la vîtesse α, & ne parcourt qu'un espace = α: le corps ''B'', qui ne se mouvoit qu'avec la vîtesse ''b'', & ne parcouroit qu'un espace = ''b'', se meut plus avec la vîtesse β, & parcourt un espace = β.
Ce changement est donc le même qui seroit arrivé, si pendant que le corps ''A'' se mouvoit avec la vîtesse ''a'', & parcouroit l'espace = ''a'', il eût été emporté en arrière sur un plan immatériel, qui se fût mû avec une vîtesse ''a-α'', par un espace = ''a-α'': & que le corps ''B'' se mouvoit avec la vîtesse ''b'', & parcouroit l'espace = ''b'', il eût été emporté en avant sur un plan immatériel, qui se fût mû avec une vîtesse ''β-b'', par un espace = ''β-b''.
Or, que les corps ''A'' & ''B'' se meuvent avec des vîtesses propres sur les plans mobiles, ou qu'ils y soient en repos, le mouvement des ces plans chargés des corps, étant le même: les Quantités d'Action, produites dans la Nature, seront ''A (a - α)<sup>2</sup>'', & ''B (β - b)<sup>2</sup>''; dont la somme doit être la plus petite qu'il soit possible. On a donc
:<math>
A a a - 2 A a \alpha + A \alpha \alpha +
B \beta \beta - 2 B b \beta + B b b = Minimum
</math>
Ou
:<math>
-2 A a d\alpha + 2 A \alpha d\alpha + 2 B \beta d\beta - 2 B b d\beta = 0
</math>
Or, pour les Corps Elastiques, la vîtesse respective étant, après le choc, la même qu'elle étoit auparavant; on a β - α = ''a - b'', ou ''β = α + a - b'', & dβ = dα: qui étant substitués dans l'Equation precédente, donnent pour les vîtesses
:<math>
\alpha = \frac{A a - B a + 2 B b}{A + B}
</math>
&
:<math>
\beta = \frac{2 A a - A b + B b}{A + B}
</math>
Si les corps se meuvent l'un vers l'autre, il est facile d'appliquer le même raisonnement: ou bien il suffit de considérer ''b'' comme négatif par rapport à ''a'', & les vîtesses seront
:<math>
\alpha = \frac{A a - B a - 2 B b}{A + B}
</math>
&
:<math>
\beta = \frac{2 A a + A b - B b}{A + B}
</math>
Si l'un des corps étoit en repos avant le choc, ''b=0''; & les vîtesses sont
:<math>
\alpha = \frac{A a - B a}{A + B}
</math>
&
:<math>
\beta = \frac{2 A a}{A + B}
</math>
Si l'un des corps est un obstacle inébranlable, considérant cet obstacle comme un corps ''B'' d'une Masse infinie en repos; on aura la vîtesse α = ''-a'': c'est à dire, que le corps ''A'' rejaillira avec la même vîtesse qu'il avoit en frappant l'obstacle.
Si l'on prend la somme des Forces vives, on verra qu'après le choc elle est la même qu'elle étoit auparavant: c'est à dire, que
:<math>
A \alpha \alpha + B \beta \beta = A a a + B b b.
</math>
Ici la somme des Forces vives se conserve après le choc; mais cette conservation n'a lieu que pour les Corps Elastiques, & non pour les Corps Durs. Le Principe genéral, qui s'étend aux uns & aux autres, est que ''la Quantité d'Action, nécessaire pour causer quelque changement dans la Nature, est la plus petite qu'il est possible.''
Ce Principe est si universel & si fécond, qu'on en tire la Loi du Repos, ou de l'Equilibre. Il est évident qu'il n'y a plus ici de différence entre les Corps Durs & les Corps Elastiques.
===Probleme III. Trouver la Loi du Repos des Corps?===
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