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<noinclude> |
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{{c|<math> |
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\left\{ |
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\begin{array}{lll} |
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&+\phi a.\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\psi b.4b_1^3b_2&+\phi a.\tfrac{1}{120}\operatorname{D}^5\psi b.b^5\\ |
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&+\operatorname{D}\phi a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^4\psi b\left(3a_1b_1^2b_2+a_2b_1^3\right)&+\operatorname{D}\phi a.\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\psi b.a_1b_1^4\\ |
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&+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\psi b\left(2a_1^2b_1b_2+2a_1a_2b_1^2\right)&+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\psi b.a_1^2b_1^3\\ |
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&+\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\operatorname{D}\psi b\left(a_1^3b_2+3a_1^2a_2b_1\right)&+\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^2\psi b.a_1^3b_1^2\\ |
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&+\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\phi a.\psi b.4a_1^3a_2&+\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\phi a.\operatorname{D}\psi b.a_1^4b_1\\ |
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&&+\tfrac{1}{120}\operatorname{D}^5\phi a.\psi b.a_1^5\\ |
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\end{array} |
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\right. |
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</math>}}</noinclude> |
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{{SA|et ainsi de suite.}} |
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{{c|<math>4\left(\tfrac{1}{2}b_0+b_4+b_8+\tfrac{1}{2}b_{12}\right)=b'_4,</math>}} |
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En examinant la composition successive de ces coefficiens, on en conclut la règle pratique suivante, pour déduire immédiatement un coefficient quelconque de celui qui le précède. |
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{{SA|nous aurons}} |
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{{c|{{Taille|{{sc|Règle}}|110}}.|m=1em}} |
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{{c|<math>S_4=\tfrac{1}{12}cb'_4.</math>}} |
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15. ''Pour déduire le développement de <math>A_{n+1}</math> de celui de <math>A_n</math> ; les dérivées des fonctions étant disposées en colonnes, d’après les dimensions de leurs exposens, et les lettres d’après leur ordre de succession ;'' |
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6. Soient joints consécutivement les ''cinq'' points <math>\left(a_0,b_0\right),\left(a_3,b_3\right),</math><math>\left(a_6,b_6\right),\left(a_9,b_9\right),\left(a_{12},b_{12}\right)</math> |
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{{po|1}}''On ne fera varier, dans chaque terme de chaque colonne, que les coefficiens composés des quantités polynômiales <math>a_1,a_2,a_3,\ldots,</math> <math>b_1,b_2,b_3,\ldots,</math> d’après la règle du {{po|n}}8 ; en observant, pour ceux qui contiennent à la fois des <math>a</math> et des <math>b,</math> de ne faire varier d’abord que les <math>b,</math> et ensuite les <math>a,</math> mais dans le dernier terme seulement de chaque coefficient.'' |
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par ''quatre'' cordes ; ces cordes formeront, avec <math>c</math> et les ''cinq'' ordonnées <math>b_0,b_3,b_6,b_9,b_{12},</math> |
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''quatre'' trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par <math>S_3,</math> et posant |
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{{c|<math>3\left(\tfrac{1}{2}b_0+b_3+b_6+b_9+\tfrac{1}{2}b_{12}\right)=b'_3,</math>}} |
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{{SA|nous aurons}} |
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{{c|<math>S_3=\tfrac{1}{12}cb'_3.</math>}} |
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7. Soient joints consécutivement les sept points <math>\left(a_0,b_0\right),\left(a_2,b_2\right),</math><math>\left(a_4,b_4\right),</math><math>\left(a_6,b_6\right),\left(a_8,b_8\right),\left(a_{10},b_{10}\right)\left(a_{12},b_{12}\right)</math> |
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{{po|2}}''On fera varier de plus, mais dans la dernière colonne seulement, la fonction <math>\psi b,</math> dans tous les termes, et, comme la puissance de <math>b_1</math> augmente alors d’une unité, on divisera par son exposant ainsi augmenté ;'' |
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par ''six'' cordes ; ces cordes formeront, avec <math>c</math> et les ''sept'' ordonnées <math>b_0,b_2,b_4,b_6,b_8,b_{10},b_{12},</math> |
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''six'' trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par <math>S_2,</math> et posant |
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{{c|<math>2\left(\tfrac{1}{2}b_0+b_2+b_4+b_6+b_8+b_{10}+\tfrac{1}{2}b_{12}\right)=b'_2,</math>}} |
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{{SA|nous aurons}} |
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{{c|<math>S_2=\tfrac{1}{12}cb'_2.</math>}} |
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8. Enfin, soient joints consécutivement tous les ''treize'' points de la courbe par ''douze'' cordes ; ces cordes formeront, avec <math>c</math> et les |
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{{po|3}}''Enfin, on fera encore varier, mais dans le dernier terme de la dernière colonne seulement, la fonction <math>\phi a</math> ; et, comme la puissance de <math>a_1</math> augmente alors d’une unité, on divisera par son exposant ainsi augmenté.'' |
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''treize'' ordonnées, ''douze'' trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par <math>S_1</math>, et posant |
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{{c|<math>\tfrac{1}{2}b_0+b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+b_7+b_8+b_9+b_{10}+b_{11}+\tfrac{1}{2}b_{12}=b'_1,</math>}} |
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{{SA|nous aurons}} |
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{{c|<math>S_1=\tfrac{1}{12}cb'_1.</math>}} |
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9. Aucune des aires <math>S_{12},S_6,S_4,S_3,S_2,S_1,</math> |
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Donnons des exemples de chacune des trois parties de cette règles. |
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n’est l’aire demandée mais il résulte évidemment de notre procédé que ces aires convergent de plus en plus vers celle-là. Donc aussi la ligne par |
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{{po|1}}Le coefficient de <math>\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\operatorname{D}\psi b,</math> dans <math>A_4</math> est <math>a_1^2b_2+2a_1a_2b_1.</math> |
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