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formule (13) exprime la probabilité, deviendront

${\frac {s+s'+s''+{\text{etc.}}}{\mu +\mu '+\mu ''+{\text{etc.}}}}\mp {\frac {ul_{1}}{\sqrt {\mu +\mu '+\mu ''+{\text{etc.}}}}}$ ;

ce qui coïncide avec le résultat du n^o 106, relatif à une seule série d’épreuves.

(109). La question indiquée à la fin du n^o 104 se résoudra par des considérations semblables à celles dont on vient de faire usage.

Soit $m$ le nombre de fois que l’événement E, de nature quelconque, arrivera dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves. La chance de E variant d’une épreuve à une autre, soit $p_{n}$ celle qui aura lieu à la $n$^ième épreuve. Faisons

${\frac {1}{\mu }}{\textstyle \sum p_{n}}=p$,${\frac {1}{\mu }}{\textstyle \sum p_{n}^{2}}=q$,

désignons par $v$ une quantité positive ou négative, mais très petite par rapport à ${\sqrt {\mu }}$ ; et représentons par $\mathrm {U}$ la probabilité de l’équation

${\frac {m}{\mu }}=p-{\frac {v}{\sqrt {\mu }}}{\sqrt {2p-2q}}$.

En négligeant, pour simplifier les calculs, le second terme de la formule (2) ; ayant égard à ce que représente la quantité $k$ qu’elle renferme ; et y mettant $v$ au lieu de $\theta$, on aura

$\mathrm {U} ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \mu \,(p-q)}}}e^{-v^{2}}$.

Comme dans le n^o 104, appelons C₁, C₂,… C_$\nu$, toutes les causes possibles de l’événement E, qui peuvent être en nombre fini ou infini ; $\gamma _{1},\,\gamma _{2},\ldots \gamma _{\nu }$, leurs probabilités respectives ; $c_{1},\,c_{2},\ldots c_{\nu }$, les chances qu’elles donnent à l’arrivée de E. En considérant $p_{n}$ comme une chose susceptible de ces $\nu$ valeurs $c_{1},\,c_{2},\ldots c_{\nu }$, dont $\gamma _{1},\,\gamma _{2},\ldots \gamma _{\nu }$, sont les probabilités ; faisant

${\begin{aligned}\gamma _{1}c_{1}+\gamma _{2}c_{2}+\ldots +\gamma _{\nu }c_{\nu }&=r,\\\gamma _{1}c_{1}^{2}+\gamma _{2}c_{2}^{2}+\ldots +\gamma _{\nu }c_{\nu }^{2}&=\rho \;;\\\end{aligned}}$