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On aurait pu raisonner de même sur <math>{(a, x)}</math>, donc ''la fonction primitive, par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>, d’une fonction <math>f(x)</math> sommable, par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>, est la fonction d’une variable intégrale indéfinie de <math>f(x)</math> par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>''. |
On aurait pu raisonner de même sur <math>{(a, x)}</math>, donc ''la fonction primitive, par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>, d’une fonction <math>f(x)</math> sommable, par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>, est la fonction d’une variable intégrale indéfinie de <math>f(x)</math> par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>''. |
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Nous venons de reprendre les raisonnements du Chapitre{{lié}}{{rom-maj|IX|9}}, mais en nous plaçant dans des conditions particulièrement simples. Pour suivre plus exactement les raisonnements de ce Chapitre, il faudrait introduire la notion de nombres dérivés par rapport à une fonction <math>{\alpha(x)}</math>. Le lecteur verra facilement que tous les résultats du Chapitre{{lié}}{{rom-maj|IX|9}} s’étendraient alors à l’intégration et à la dérivation par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>, et très souvent littéralement. Bornons-nous à vérifier cet énoncé en relation avec celui qui précède : ''La fonction d’une variable intégrale indéfinie d’une fonction <math>f(x)</math>, par rapport à une fonction à variation bornée <math>{\alpha(x)}</math>, admet <math>f(x)</math> pour dérivée par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>, sauf tout au plus en un ensemble de points de mesure nulle, par rapport à <math>{\mathrm{V}(x)}</math>''. |
Nous venons de reprendre les raisonnements du [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX|Chapitre{{lié}}{{rom-maj|IX|9}}]], mais en nous plaçant dans des conditions particulièrement simples. Pour suivre plus exactement les raisonnements de ce Chapitre, il faudrait introduire la notion de nombres dérivés par rapport à une fonction <math>{\alpha(x)}</math>. Le lecteur verra facilement que tous les résultats du [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX|Chapitre{{lié}}{{rom-maj|IX|9}}]] s’étendraient alors à l’intégration et à la dérivation par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>, et très souvent littéralement. Bornons-nous à vérifier cet énoncé en relation avec celui qui précède : ''La fonction d’une variable intégrale indéfinie d’une fonction <math>f(x)</math>, par rapport à une fonction à variation bornée <math>{\alpha(x)}</math>, admet <math>f(x)</math> pour dérivée par rapport à <math>{\alpha(x)}</math>, sauf tout au plus en un ensemble de points de mesure nulle, par rapport à <math>{\mathrm{V}(x)}</math>''. |
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On a, par définition même, |
On a, par définition même, |
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