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{{SA|les <math>\varepsilon_k</math> étant des nombres tels que le produit <math>{\textstyle\prod (1-2\varepsilon_{k+1})}</math> soit convergent et de valeur <math>\frac{1}{2}</math>.}} |
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Il est clair que l’ensemble <math>\mathcal{E}</math> formé des points communs à la fois à tous ces <math>\mathrm{I}_k</math> est parfait et de mesure nulle, que l’accroissement de <math>{\mathrm{F}(x)}</math>, c’est-à-dire de <math>{\mathrm{G}(x)}</math>, sur <math>\mathcal{E}</math> est défini et que sa valeur est la limite de <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I}_k)}</math>. Or on a |
Il est clair que l’ensemble <math>\mathcal{E}</math> formé des points communs à la fois à tous ces <math>\mathrm{I}_k</math> est parfait et de mesure nulle, que l’accroissement de <math>{\mathrm{F}(x)}</math>, c’est-à-dire de <math>{\mathrm{G}(x)}</math>, sur <math>\mathcal{E}</math> est défini et que sa valeur est la limite de <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I}_k)}</math>. Or on a |
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&= \frac{\mathrm{P}_s(b)}{2} > 0\text{.} |
&= \frac{\mathrm{P}_s(b)}{2} > 0\text{.} |
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\end{align}</math>|m=1em}} |
\end{align}</math>|m=1em}} |
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Ainsi l’accroissement de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> sur <math>\mathcal{E}</math> n’est pas nul, et comme une conclusion analogue est exacte pour la partie de <math>\mathcal{E}</math> contenue dans un intervalle quelconque qui contient des points de <math>\mathcal{E}</math> à son intérieur, <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est non résoluble, le criterium de {{M.|Denjoy}} est entièrement légitimé. |
Ainsi l’accroissement de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> sur <math>\mathcal{E}</math> n’est pas nul, et comme une conclusion analogue est exacte pour la partie de <math>\mathcal{E}</math> contenue dans un intervalle quelconque qui contient des points de <math>\mathcal{E}</math> à son intérieur, <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est non résoluble, le criterium de {{M.|Denjoy}} est entièrement légitimé. |
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À l’occasion de notre premier criterium nous avons vu comment, une totale indéfinie <math>{\mathrm{F}(x)}</math> étant donnée, on pourrait déterminer une fonction <math>f(x)</math> dont <math>{\mathrm{F}(x)}</math> soit la totale indéfinie. Nous avons fait cela à l’aide de certains ensembles <math>\mathrm{H}_1</math>, <math>\mathrm{H}_2</math>, …, définis par la considération des points de non absolue continuité de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> et de certaines fonctions <math>{\mathrm{G}(x)}</math> ; montrons que ces ensembles <math>\mathrm{H}</math> se définissent tout aussi bien à partir de toute fonction <math>{\varphi(x)}</math> qui admet <math>{\mathrm{F}(x)}</math> pour totale indéfinie. |
À l’occasion de notre premier criterium nous avons vu comment, une totale indéfinie <math>{\mathrm{F}(x)}</math> étant donnée, on pourrait déterminer une fonction <math>f(x)</math> dont <math>{\mathrm{F}(x)}</math> soit la totale indéfinie. Nous avons fait cela à l’aide de certains ensembles <math>\mathrm{H}_1</math>, <math>\mathrm{H}_2</math>, …, définis par la considération des points de non absolue continuité de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> et de certaines fonctions <math>{\mathrm{G}(x)}</math> ; montrons que ces ensembles <math>\mathrm{H}</math> se définissent tout aussi bien à partir de toute fonction <math>{\varphi(x)}</math> qui admet <math>{\mathrm{F}(x)}</math> pour totale indéfinie. |
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En effet, la première opération de la totalisation de <math>{\varphi(x)}</math> fait apparaître l’ensemble exceptionnel <math>\mathrm{E}_1</math> formé des points en lesquels <math>{\varphi(x)}</math> n’est pas sommable. Je dis que <math>\mathrm{E}_1</math> est identique à <math>\mathrm{H}_1</math>. Tout d’abord la totale indéfinie de <math>{\varphi(x)}</math> étant absolument continue en tout point n’appartenant pas à <math>\mathrm{E}_1</math>, <math>\mathrm{H}_1</math> est contenu dans <math>\mathrm{E}_1</math> ; s’il ne lui était pas identique, il existerait un intervalle <math>{(\alpha, \beta)}</math> contigu à <math>\mathrm{H}_1</math> et contenant plusieurs points de <math>\mathrm{E}_1</math> donc aussi un intervalle <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math> contigu à <math>\mathrm{E}_1</math>. Dans tout intervalle ''entièrement intérieur'' à <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math>, <math>{\varphi(x)}</math> est sommable, par hypothèse, et l’on a presque partout |
En effet, la première opération de la totalisation de <math>{\varphi(x)}</math> fait apparaître l’ensemble exceptionnel <math>\mathrm{E}_1</math> formé des points en lesquels <math>{\varphi(x)}</math> n’est pas sommable. Je dis que <math>\mathrm{E}_1</math> est identique à <math>\mathrm{H}_1</math>. Tout d’abord la totale indéfinie de <math>{\varphi(x)}</math> étant absolument continue en tout point n’appartenant pas à <math>\mathrm{E}_1</math>, <math>\mathrm{H}_1</math> est contenu dans <math>\mathrm{E}_1</math> ; s’il ne lui était pas identique, il existerait un intervalle <math>{(\alpha, \beta)}</math> contigu à <math>\mathrm{H}_1</math> et contenant plusieurs points de <math>\mathrm{E}_1</math> donc aussi un intervalle <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math> contigu à <math>\mathrm{E}_1</math>. Dans tout intervalle ''entièrement intérieur'' à <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math>, <math>{\varphi(x)}</math> est sommable, par hypothèse, et l’on a presque partout |
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