« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/253 » : différence entre les versions
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et comme il en est de même si l’on envisage seulement la partie de <math>\mathrm{J}_k</math> située dans un intervalle <math>{(l, m)}</math> contenant des points de <math>\mathrm{E}</math>, la fonction <math>{\mathrm{F}(x)}</math> n’est pas résoluble ; car l’accroissement de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> n’est, en effet, défini sur aucune partie de l’ensemble <math>\mathcal{E}</math>, parfait et de mesure nulle, formé des points communs à la fois à tous les <math>\mathrm{I}_k</math>. |
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{{p début|100|mt=1.5em}} |
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''c.''{{lié}}Lorsqu’on n’est dans aucun des cas précédemment examinés, c’est qu’il existe un intervalle contenant des points de <math>\mathrm{E}</math> et dans lequel <math>{\mathrm{G}(x)}</math> est à variation bornée. En supprimant les points de <math>\mathrm{E}</math> extérieurs à cet intervalle, nous pouvons supposer que <math>{\mathrm{G}(x)}</math> est à variation bornée dans <math>{(a, b)}</math> et y admet <math>\mathrm{E}</math> pour ensemble de points de non absolue continuité. Nous savons que, si l’on décompose <math>{\mathrm{G}(x)}</math> en son noyau absolument continu et les variations positive et négative de sa fonction des singularités d’après la formule |
''c.''{{lié}}Lorsqu’on n’est dans aucun des cas précédemment examinés, c’est qu’il existe un intervalle contenant des points de <math>\mathrm{E}</math> et dans lequel <math>{\mathrm{G}(x)}</math> est à variation bornée. En supprimant les points de <math>\mathrm{E}</math> extérieurs à cet intervalle, nous pouvons supposer que <math>{\mathrm{G}(x)}</math> est à variation bornée dans <math>{(a, b)}</math> et y admet <math>\mathrm{E}</math> pour ensemble de points de non absolue continuité. Nous savons que, si l’on décompose <math>{\mathrm{G}(x)}</math> en son noyau absolument continu et les variations positive et négative de sa fonction des singularités d’après la formule |
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{{c|<math>\mathrm{G}(x) = \mathrm{AC}(x) + \mathrm{P}_s(x) - \mathrm{N}_s(x)</math>,|m=1em}} |
{{c|<math>\mathrm{G}(x) = \mathrm{AC}(x) + \mathrm{P}_s(x) - \mathrm{N}_s(x)</math>,|m=1em}} |
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{{SA|l’un au moins des deux nombres <math>{\mathrm{P}_s(b)}</math>, <math>{\mathrm{N}_s(b)}</math> est différent de zéro ; admettons que <math>{\mathrm{P_s}(b)}</math> soit positif.}} |
{{SA|l’un au moins des deux nombres <math>{\mathrm{P}_s(b)}</math>, <math>{\mathrm{N}_s(b)}</math> est différent de zéro ; admettons que <math>{\mathrm{P_s}(b)}</math> soit positif.}} |
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On peut trouver un ensemble <math>\mathrm{I}_1</math>, formé d’un nombre fini d’intervalles, dont les points origines et extrémités sont des points en lesquels <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math> est croissante respectivement à droite et à gauche, et par suite sont des points de <math>\mathrm{E}</math>. On peut supposer de plus que la mesure de <math>\mathrm{I}_1</math> est inférieure à <math>\varepsilon_1</math> et qu’on a les deux inégalités |
On peut trouver un ensemble <math>\mathrm{I}_1</math>, formé d’un nombre fini d’intervalles, dont les points origines et extrémités sont des points en lesquels <math>{\mathrm{P}_s(x)}</math> est croissante respectivement à droite et à gauche, et par suite sont des points de <math>\mathrm{E}</math>. On peut supposer de plus que la mesure de <math>\mathrm{I}_1</math> est inférieure à <math>\varepsilon_1</math> et qu’on a les deux inégalités |
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\mathcal{A}_{\mathrm{N}_s(x)}(i_{k+1}) &< [\mathrm{P}_s(\mu) - \mathrm{P}_s(\lambda)]\,\varepsilon_{k+1}\text{ ;} |
\mathcal{A}_{\mathrm{N}_s(x)}(i_{k+1}) &< [\mathrm{P}_s(\mu) - \mathrm{P}_s(\lambda)]\,\varepsilon_{k+1}\text{ ;} |
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\end{align}</math>|m=1em}} |
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