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une infinité de termes positifs et de somme <math>+\infty</math>, ni toujours une infinité de termes négatifs et de somme <math>-\infty</math>, pour tout intervalle <math>{(l, m)}</math> contenant des points de <math>\mathrm{E}</math>, c’est qu’il existe un tel intervalle <math>{(l, m)}</math> pour lequel la série <math>{\sum_{(l,m)}^\mathrm{E} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> est convergente. Supprimons les points de <math>\mathrm{E}</math> en dehors de <math>{(l, m)}</math>, nous pouvons dire que <math>{\sum_{(a,b)}^\mathrm{E} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> est convergente. |
{{p début de page|100|mt=1.5em}}une infinité de termes positifs et de somme <math>+\infty</math>, ni toujours une infinité de termes négatifs et de somme <math>-\infty</math>, pour tout intervalle <math>{(l, m)}</math> contenant des points de <math>\mathrm{E}</math>, c’est qu’il existe un tel intervalle <math>{(l, m)}</math> pour lequel la série <math>{\sum_{(l,m)}^\mathrm{E} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> est convergente. Supprimons les points de <math>\mathrm{E}</math> en dehors de <math>{(l, m)}</math>, nous pouvons dire que <math>{\sum_{(a,b)}^\mathrm{E} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> est convergente. |
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Supposons que <math>{\mathrm{G}(x)}</math> ne soit à variation bornée dans aucun intervalle <math>{(l, m)}</math> contenant des points de <math>\mathrm{E}</math>. Alors, soit <math>{(l, m)}</math> un intervalle qui contient des points de <math>\mathrm{E}</math> à son intérieur. Dans <math>{(l, m)}</math>, <math>{\mathrm{G}(x)}</math> est à variation non bornée ; on peut donc trouver dans <math>{(l, m)}</math> des intervalles en nombre fini et dont l’ensemble <math>\mathrm{I}</math> fournit une valeur <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I})}</math> aussi grande que l’on veut. On peut d’ailleurs retrancher de <math>\mathrm{I}</math> un nombre quelconque d’intervalles ne contenant pas de points de <math>\mathrm{E}</math> à leur intérieur, car ceci ne modifie <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I})}</math> que de |
Supposons que <math>{\mathrm{G}(x)}</math> ne soit à variation bornée dans aucun intervalle <math>{(l, m)}</math> contenant des points de <math>\mathrm{E}</math>. Alors, soit <math>{(l, m)}</math> un intervalle qui contient des points de <math>\mathrm{E}</math> à son intérieur. Dans <math>{(l, m)}</math>, <math>{\mathrm{G}(x)}</math> est à variation non bornée ; on peut donc trouver dans <math>{(l, m)}</math> des intervalles en nombre fini et dont l’ensemble <math>\mathrm{I}</math> fournit une valeur <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I})}</math> aussi grande que l’on veut. On peut d’ailleurs retrancher de <math>\mathrm{I}</math> un nombre quelconque d’intervalles ne contenant pas de points de <math>\mathrm{E}</math> à leur intérieur, car ceci ne modifie <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I})}</math> que de |
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