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<math>{(\beta_1, b_1)}</math>, …, <math>{(a_i, \alpha_i)}</math>, <math>{(\beta_i, b_i)}</math>, non compris dans les intervalles <math>{(\alpha, \beta)}</math> choisis, ayant pour origine et extrémités des points de <math>\mathrm{E}</math> et formant un ensemble <math>\mathrm{I}_1</math>, de mesure <math>\varepsilon</math> au plus. Ceci est possible car <math>\mathrm{E}</math> est parfait puisque, dans un intervalle ne contenant qu’un point isolé de <math>\mathrm{E}</math>, la fonction <math>\mathrm{G}</math> serait, nécessairement absolument continue ; de sorte que <math>\alpha_1</math>, par exemple, qui est point de <math>\mathrm{E}</math> et qui est origine de l’intervalle <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math> contigu à <math>\mathrm{E}</math>, a nécessairement à sa gauche des points de <math>\mathrm{E}</math> dans un voisinage aussi petit qu’on veut. On peut faire évidemment en sorte que les points de <math>\mathrm{E}</math> de plus petite abscisse et de plus grande abscisse soient des points origine et extrémité d’intervalles de <math>\mathrm{I}_1</math>. |
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Choisissons de même un ensemble <math>\mathrm{I}_2</math> formé d’un nombre fini d’intervalles, contenus dans les <math>\mathrm{I}_1</math>, limités par des points de <math>\mathrm{E}</math> parmi lesquels se trouvent toutes les origines et extrémités des <math>\mathrm{I}_1</math>, et tels que, parmi les intervalles constituant le complémentaire de <math>\mathrm{I}_2</math> se trouvent des intervalles <math>{(\alpha, \beta)}</math> tels que l’on ait les inégalités |
Choisissons de même un ensemble <math>\mathrm{I}_2</math> formé d’un nombre fini d’intervalles, contenus dans les <math>\mathrm{I}_1</math>, limités par des points de <math>\mathrm{E}</math> parmi lesquels se trouvent toutes les origines et extrémités des <math>\mathrm{I}_1</math>, et tels que, parmi les intervalles constituant le complémentaire de <math>\mathrm{I}_2</math> se trouvent des intervalles <math>{(\alpha, \beta)}</math> tels que l’on ait les inégalités |
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Il est clair qu’en continuant ainsi, on construira des ensembles <math>\mathrm{I}_1</math>, <math>\mathrm{I}_2</math>, …, de mesures tendant vers zéro, dont chacun contient les suivants et tels par suite que les points communs à la fois à tous ces ensembles soient un ensemble de mesure nulle <math>\mathcal{E}</math>, fermé et même parfait. Parmi les intervalles contigus à <math>\mathcal{E}</math> se trouvent en particulier tous les intervalles <math>{(\alpha_p, \beta_p)}</math> qui ont servi à construire <math>\mathrm{I}_1</math>, tous ceux qui ont servi à construire <math>\mathrm{I}_2</math>, …. Donc la série <math>{\sum_{(\lambda,\mu)}^\mathrm{E} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> étendue aux intervalles contigus à <math>\mathcal{E}</math> et situés dans un intervalle <math>{(\lambda, \mu)}</math> contenant à son intérieur des points de <math>\mathcal{E}</math>, est divergente. L’accroissement de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> sur la partie de <math>\mathcal{E}</math> située dans <math>{(\lambda, \mu)}</math> est non {{corr|définie|défini}} ; <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est non résoluble. |
Il est clair qu’en continuant ainsi, on construira des ensembles <math>\mathrm{I}_1</math>, <math>\mathrm{I}_2</math>, …, de mesures tendant vers zéro, dont chacun contient les suivants et tels par suite que les points communs à la fois à tous ces ensembles soient un ensemble de mesure nulle <math>\mathcal{E}</math>, fermé et même parfait. Parmi les intervalles contigus à <math>\mathcal{E}</math> se trouvent en particulier tous les intervalles <math>{(\alpha_p, \beta_p)}</math> qui ont servi à construire <math>\mathrm{I}_1</math>, tous ceux qui ont servi à construire <math>\mathrm{I}_2</math>, …. Donc la série <math>{\sum_{(\lambda,\mu)}^\mathrm{E} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> étendue aux intervalles contigus à <math>\mathcal{E}</math> et situés dans un intervalle <math>{(\lambda, \mu)}</math> contenant à son intérieur des points de <math>\mathcal{E}</math>, est divergente. L’accroissement de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> sur la partie de <math>\mathcal{E}</math> située dans <math>{(\lambda, \mu)}</math> est non {{corr|définie|défini}} ; <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est non résoluble. |
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''b.''{{lié}}Lorsque la série <math>{\sum_{(l,m)}^\mathrm{E} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> ne contient pas toujours |
''b.''{{lié}}Lorsque la série <math>{\sum_{(l,m)}^\mathrm{E} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> ne contient pas toujours |
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