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La définition des enveloppes d’indétermination aurait pu être donnée pour une fonction <math>{g(x, h)}</math>, où <math>h</math> est un paramètre remplaçant l’indice de la fonction <math>u_i</math>. L’un des nombres dérivés de <math>f(x)</math> est l’une des enveloppes d’indétermination de <math>{r[f(x), x, x+h]}</math>, quand on fait tendre <math>h</math> vers zéro, par valeurs de signe déterminé. Mais <math>{r[f(x), x, x+h]}</math> étant continue en <math>{(x, h)}</math> pour <math>{h \neq 0}</math>, on peut, comme nous allons le voir, remplacer, pour la recherche de ces enveloppes, l’infinité non dénombrable des valeurs de <math>h</math> par une suite de valeurs de <math>h</math> tendant vers zéro et convenablement choisies. Les nombres dérivés sont donc, lorsqu’ils sont finis, au plus de seconde classe et en tout cas {{lié|mesurables B}}<ref>Cette distinction est nécessaire car nous n’avons appliqué la classification de {{M.|Baire}} qu’aux fonctions partout finies. Mais on peut étendre cette classification à toutes les fonctions.</ref>. |
La définition des enveloppes d’indétermination aurait pu être donnée pour une fonction <math>{g(x, h)}</math>, où <math>h</math> est un paramètre remplaçant l’indice de la fonction <math>u_i</math>. L’un des nombres dérivés de <math>f(x)</math> est l’une des enveloppes d’indétermination de <math>{r[f(x), x, x+h]}</math>, quand on fait tendre <math>h</math> vers zéro, par valeurs de signe déterminé. Mais <math>{r[f(x), x, x+h]}</math> étant continue en <math>{(x, h)}</math> pour <math>{h \neq 0}</math>, on peut, comme nous allons le voir, remplacer, pour la recherche de ces enveloppes, l’infinité non dénombrable des valeurs de <math>h</math> par une suite de valeurs de <math>h</math> tendant vers zéro et convenablement choisies. Les nombres dérivés sont donc, lorsqu’ils sont finis, au plus de seconde classe et en tout cas {{lié|mesurables B}}<ref>Cette distinction est nécessaire car nous n’avons appliqué la classification de {{M.|Baire}} qu’aux fonctions partout finies. Mais on peut étendre cette classification à toutes les fonctions.</ref>. |
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Mais il faut prouver que l’on peut, comme il a été annoncé, remplacer la considération de la valeur continue <math>h</math> par celle d’une suite de valeurs de <math>h</math>. S’il s’agit des nombres dérivés à droite, c’est-à-dire des valeurs positives de <math>h</math>, nous prendrons une suite contenant les nombres <math>1</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>\frac{1}{4}</math>, <math>\frac{1}{8}</math>, … et, de plus, contenant entre <math>\frac{1}{2^i}</math> et <math>\frac{1}{2^{i+1}}</math> des nombres divisant cet intervalle en assez de parties égales pour que, lorsque <math>h</math> varie dans une de ces parties, l’oscillation de <math>{r[f(x), x, x+h]}</math> reste inférieure à <math>\frac{1}{i}</math>, <math>x</math> restant constant et ayant n’importe quelle valeur. Il est bien clair que cette suite donne, pour plus grande et plus petite limite de <math>r</math>, les deux nombres dérivés à droite de <math>f(x)</math>. ''Les nombres dérivés sont donc mesurables'' et l’on peut espérer que, dans des cas étendus, |
Mais il faut prouver que {{refancre|accroissement-175}} l’on peut, comme il a été annoncé, remplacer la considération de la valeur continue <math>h</math> par celle d’une suite de valeurs de <math>h</math>. S’il s’agit des nombres dérivés à droite, c’est-à-dire des valeurs positives de <math>h</math>, nous prendrons une suite contenant les nombres <math>1</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>\frac{1}{4}</math>, <math>\frac{1}{8}</math>, … et, de plus, contenant entre <math>\frac{1}{2^i}</math> et <math>\frac{1}{2^{i+1}}</math> des nombres divisant cet intervalle en assez de parties égales pour que, lorsque <math>h</math> varie dans une de ces parties, l’oscillation de <math>{r[f(x), x, x+h]}</math> reste inférieure à <math>\frac{1}{i}</math>, <math>x</math> restant constant et ayant n’importe quelle valeur. Il est bien clair que cette suite donne, pour plus grande et plus petite limite de <math>r</math>, les deux nombres dérivés à droite de <math>f(x)</math>. ''Les nombres dérivés sont donc mesurables'' et l’on peut espérer que, dans des cas étendus, |
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