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{{SA/f|égaux à ceux de <math>{\Psi(x)}</math>, donc presque partout dans <math>\mathrm{E}</math> la variation totale <math>\mathrm{VS}</math>, et ''a fortiori'' <math>\mathrm{S}</math>, a une dérivée à droite et qui est égale à zéro. Mais la mesure de <math>\mathrm{CE}</math> est au plus la somme <math>{\textstyle\sum h}</math> que nous pouvons rendre arbitrairement petite. Donc <math>{\mathrm{S}(x)}</math> admet presque partout zéro comme dérivée à droite. Une conclusion analogue s’applique évidemment aux dérivées à gauche ; le théorème est démontré.}} |
{{SA/f|égaux à ceux de <math>{\Psi(x)}</math>, donc presque partout dans <math>\mathrm{E}</math> la variation totale <math>\mathrm{VS}</math>, et ''a fortiori'' <math>\mathrm{S}</math>, a une dérivée à droite et qui est égale à zéro. Mais la mesure de <math>\mathrm{CE}</math> est au plus la somme <math>{\textstyle\sum h}</math> que nous pouvons rendre arbitrairement petite. Donc <math>{\mathrm{S}(x)}</math> admet presque partout zéro comme dérivée à droite. Une conclusion analogue s’applique évidemment aux dérivées à gauche ; le théorème est démontré.}} |
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Nous sommes maintenant en mesure de répondre à des questions antérieurement posées et de justifier certaines affirmations. Nous avons déjà, [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VIII#caractérisation-143|{{lié|page 143}}]], fait allusion à la propriété suivante : ''pour qu’une fonction d’une variable <math>{\mathrm{F}(x)}</math> soit l’intégrale indéfinie d’une fonction inconnue <math>{f(x)}</math>, il faut et il suffit que <math>{\mathrm{F}(x)}</math> soit absolument continue''<ref>Dans la première édition de ce livre, j’avais signalé cet énoncé, en note de la {{lié|page 128}}, de façon tout à fait incidente et sans démonstration. {{M.|Vitali}} a retrouvé ce théorème et en a publié la première démonstration (''{{lang|it|{{abr|Acc. Reale delle Sc. di Torino|Accademia Reale delle Scienze di Torino}}}}'', {{nobr|1904-1905}}). C’est à l’occasion de ce théorème que {{M.|Vitali}} a introduit, pour les fonctions d’une variable, la dénomination de fonction absolument continue et qu’il a montré la simplicité et la clarté que prend toute la théorie quand on met cette notion à sa base.</ref>. La légitimation de cet énoncé est maintenant immédiate ; nous avons vu, en effet, que toute intégrale indéfinie est absolument continue, [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VIII#absolue-continuité-158|{{lié|page 158}}]], puis, [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre |
Nous sommes maintenant en mesure de répondre à des questions antérieurement posées et de justifier certaines affirmations. Nous avons déjà, [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VIII#caractérisation-143|{{lié|page 143}}]], fait allusion à la propriété suivante : ''pour qu’une fonction d’une variable <math>{\mathrm{F}(x)}</math> soit l’intégrale indéfinie d’une fonction inconnue <math>{f(x)}</math>, il faut et il suffit que <math>{\mathrm{F}(x)}</math> soit absolument continue''<ref>Dans la première édition de ce livre, j’avais signalé cet énoncé, en note de la {{lié|page 128}}, de façon tout à fait incidente et sans démonstration. {{M.|Vitali}} a retrouvé ce théorème et en a publié la première démonstration (''{{lang|it|{{abr|Acc. Reale delle Sc. di Torino|Accademia Reale delle Scienze di Torino}}}}'', {{nobr|1904-1905}}). C’est à l’occasion de ce théorème que {{M.|Vitali}} a introduit, pour les fonctions d’une variable, la dénomination de fonction absolument continue et qu’il a montré la simplicité et la clarté que prend toute la théorie quand on met cette notion à sa base.</ref>. La légitimation de cet énoncé est maintenant immédiate ; nous avons vu, en effet, que toute intégrale indéfinie est absolument continue, [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VIII#absolue-continuité-158|{{lié|page 158}}]], puis, [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX#absolue-continuité-183|{{lié|page 183}}]], que toute fonction absolument continue est une intégrale indéfinie. |
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De là résulte de suite que : ''pour qu’une fonction d’ensemble ou d’intervalle soit l’intégrale indéfinie d’une fonction inconnue <math>{f(x)}</math>, il faut et il suffit qu’elle soit complètement additive et absolument continue'' ; d’après ce que nous savons sur le passage d’une telle fonction à une fonction absolument continue d’une variable et sur le passage inverse. |
De là résulte de suite que : ''pour qu’une fonction d’ensemble ou d’intervalle soit l’intégrale indéfinie d’une fonction inconnue <math>{f(x)}</math>, il faut et il suffit qu’elle soit complètement additive et absolument continue'' ; d’après ce que nous savons sur le passage d’une telle fonction à une fonction absolument continue d’une variable et sur le passage inverse. |
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