« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/197 » : différence entre les versions

Donc <math>{\mathrm{P}(\mathrm{E}^{ip})}</math>, qui désigne l’une ''quelconque'' des limites de <math>\mathrm{P(I)}</math>, a une valeur déterminée ; nous pouvons énoncer ce résultat comme il suit :

''Si <math>{\Lambda f}</math> est l’un des nombres dérivés d’une fonction continue <math>f(x)</math>, pour que <math>f(x)</math> soit à variation bornée il faut et il suffit que <math>{\Lambda f}</math> soit sommable dans l’ensemble des points où il est fini et positif, que l’ensemble <math>\mathrm{E}^{ip}</math> des points ou <math>{\Lambda f}</math> est infini positif soit de mesure nulle et qu’il puisse être enfermé dans des intervalles <math>\mathrm{I}</math> fournissant une somme de variations totales positives <math>\mathrm{P(I)}</math> qui soit bornée.''

''<math>\mathrm{P(I)}</math> tend alors vers une limite finie et déterminée, quand on fait varier <math>\mathrm{I}</math> de façon que sa mesure tende vers zéro ; cette limite est la différence entre la variation totale positive de <math>f(x)</math> dans l’intervalle considéré et l’intégrale de <math>{\Lambda f}</math> dans l’ensemble des points où il est positif.''

On a, bien entendu, un énoncé analogue en changeant positif en négatif, <math>\mathrm{E}^{ip}</math> en <math>\mathrm{E}^{in}</math>, <math>\mathrm{P}</math> en <math>\mathrm{N}</math>, qu’exprime l’égalité