« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/195 » : différence entre les versions

<nowiki/>

''Une fonction continue et à variation bornée a ses nombres dérivés finis'' {{sc|presque partout}}<ref>Nous conviendrons de dire qu’une propriété a lieu ''presque partout'' dans un intervalle <math>{(a, b)}</math>, ou sur un ensemble <math>\mathcal{E}</math>, si les points de <math>{(a, b)}</math> ou de en lesquels elle n’a pas lieu ou bien n’existent pas, ou bien forment un ensemble de mesure nulle.

<p style="margin:0;">Cette locution, introduite dans la première édition de ce Livre, a été généralement adoptée. Si l’on se rappelle que {{M.|Denjoy}} n’a pas trouvé suffisamment précise et qu’il a rejeté l’expression : ''le point <math>\mathrm{P}</math> est point de l’ensemble <math>\mathrm{E}</math>'', on ne s’étonnera pas qu’il ait jugé inadmissible la locution ''presque partout'' qui, à son avis, a deux sens : l’un qualitatif ou descriptif, l’autre quantitatif ou métrique. Je pense qu’il faut entendre par là qu’on aurait pu convenir de donner à ''presque partout'' la signification suivante : ''exception faite des points formant un ensemble partout non dense''. Certes ; mais {{M.|Denjoy}} dit qu’une propriété a lieu sur une ''épaisseur pleine'' quand je dis qu’elle a lieu ''presque partout''. ''Épaisseur pleine'' n’aurait-elle pas pu recevoir une autre signification que celle qu’il a plu à {{M.|Denjoy}} de lui donner ?</p>

{{c|<math>\mathrm{V} \geqq \int_a^b |\Lambda f|\,\mathrm{d}x</math>.|mb=1em}}

{{SA|''<math>\Lambda f</math> étant l’un quelconque des quatre nombres dérivés ; les points où <math>\Lambda f</math> est infini étant exclus des ensembles ou intervalles d’intégration.''}}

Supposons maintenant le nombre dérivé supérieur à droite <math>\Lambda f</math> sommable sur l’ensemble <math>{\mathrm{E}[0 < \Lambda f < +\infty]}</math> et supposons