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DÉVELOPPEMENT

${\begin{aligned}&-ax^{4}-bx^{3}-cx^{2}-dx=e+{\frac {f}{x}}=E,\\&-ax^{3}-bx^{2}-cx=d+{\frac {E}{x}}=D,\\&-ax^{2}-bx=c+{\frac {D}{x}}=C,\\&-ax=b+{\frac {C}{x}}=B,\\&\qquad 0=a+{\frac {B}{x}}\,;\end{aligned}}$

de sorte qu’au lieu de la proposée, on aura cette suite d’équations

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {f}{x}}+e=E,\\\\&{\frac {E}{x}}+d=D,\\\\&{\frac {D}{x}}+c=C,\\\\&{\frac {C}{x}}+b=B,\\\\&{\frac {B}{x}}+a=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(2)

et la proposée pourra être considérée comme résultant de l’élimination de $B,C,D,E$ entre elles. Si, en effet, on prend la somme des produits respectifs des équations (2) par $x,x^{2},x^{3},x^{4},$ on retombera, toutes réductions faites, sur l’équation (1).

Il suit de là que toutes les valeurs et les seules valeurs de $x$ qui vérifieront les équations (2) vérifieront aussi l’équation (1), et