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DÉVELOPPEMENT

$\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}$ est commutative avec ${\frac {\mathrm {E} }{x}},{\frac {\Delta }{x}},\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{-1}$ et avec toute fonction qui ne renferme pas $y$ ; mais on ne saurait avoir, en général,

${\frac {\mathrm {E} }{y}}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}u=\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}u,\qquad {\frac {\mathrm {E} }{x}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{-1}u=\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{-1}{\frac {\mathrm {E} }{x}}u\,;$

car, supposons $u=1$, nous aurons $\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}1=y,$ et par conséquent ${\frac {\mathrm {E} }{y}}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}1=y+1\,;$ tandis que l’on a ${\frac {\mathrm {E} }{y}}1=1,$ et conséquemment $\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\mathrm {E} }{y}}1=y.$ Il en serait de même pour ${\frac {\mathrm {E} }{x}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{-1}.$

Enfin, nous trouverons que $\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{-1},\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}$ sont de nature distributive, tout aussi bien que ${\frac {\mathrm {E} }{x}},{\frac {\Delta }{x}},{\frac {\mathrm {E} }{y}},{\frac {\Delta }{y}}.$

Supposant maintenant que $u$ est une fonction $x+y,$ on aura

${\frac {\Delta }{y}}u={\frac {\Delta }{x}}u\,;$

d’où on conclura, en représentant par $u_{0}$ ce que devient $u$ lorsqu’on y fait $y=0,$

$u=u_{0}+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}u,$

et par suite, en observant la même marche qui nous a conduit à l’équation (3),