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DÉVELOPPEMENT

En poursuivant de la même manière ; on arrivera finalement à l’équation

$\left.{\begin{aligned}u&=\bigtriangledown ^{-1}p\\&+\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}p_{1}\\&+\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}\Gamma _{1}\bigtriangledown _{2}^{-1}p_{2}\\&+\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}\Gamma _{1}\bigtriangledown _{2}^{-1}\Gamma _{2}\bigtriangledown _{3}^{-1}p_{3}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}\Gamma _{1}\bigtriangledown _{2}^{-1}\Gamma _{2}\ldots \Gamma _{i-1}\bigtriangledown _{i}^{-1}p_{1}\\&+\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}\Gamma _{1}\bigtriangledown _{2}^{-1}\Gamma _{2}\ldots \Gamma _{i-1}\bigtriangledown _{i}^{-1}\Gamma _{i}u_{i+1}\end{aligned}}\right\}\quad$(2)

laquelle aura lieu quel que soit le nombre entier $i$. Telle est notre formule fondamentale qui, comme on le voit, est de la plus grande généralité.

Si on la suppose prolongée à l’infini, elle donnera $u$ par une série qui ne dépendra plus que des fonctions $p,p_{1},p_{2},\ldots$ Il est de plus évident qu’en choisissant ces fonctions, ainsi que les caractéristiques $\bigtriangledown ,\bigtriangledown _{1},\bigtriangledown _{2},\ldots$$\Gamma ,\Gamma _{1},\Gamma _{2},\ldots$ d’une manière convenable, cette série pourra toujours être rendue aussi convergente qu’on voudra. On voit enfin que cette série peut être arrêtée à volonté ; ce qui serait d’un avantage inappréciable si, dans tous les cas, il était possible d’assigner des limites aussi rapprochées qu’on le désirerait, entre lesquelles tombât la valeur de

$\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}\Gamma _{1}\ldots \bigtriangledown _{i}^{-1}\Gamma _{i}u_{i+1}.$

Malheureusement la détermination de ces limites paraît offrir d’assez grandes difficultés, et ne se montre d’un abord facile que dans un nombre de cas très-limités, parmi lesquels on doit comprendre celui de la série de Taylor. Mais comme la solution du