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FONCTIONS.

Ces notions préliminaires ainsi posées, soient, $\bigtriangledown ,\bigtriangledown _{1},\bigtriangledown _{2},\ldots$$\Gamma ,\Gamma _{1},$$\Gamma _{2},\ldots$ des caractéristiques quelconques de nature diatributive, et $u,u_{1},u_{2},\ldots$$p,p_{1},p_{2},\ldots$ des fonctions d’une ou de plusieurs variables indépendantes, liées entre elles par les équations

${\begin{aligned}&\bigtriangledown \ \ u\ \ =p\ \ +\Gamma u_{1},\\&\bigtriangledown _{1}u_{1}=p_{1}+\Gamma _{1}u_{2},\\&\bigtriangledown _{2}u_{2}=p_{2}+\Gamma _{2}u_{3},\\\end{aligned}}$

et, en général,

$\bigtriangledown _{i}u_{i}=p_{i}+\Gamma _{i}u_{i+1}\,;$

on en conclura

$\left.{\begin{aligned}&u\ \ =\bigtriangledown ^{-1}p\ \ +\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \ u_{1},\\&u_{1}=\bigtriangledown _{1}^{-1}p_{1}+\bigtriangledown _{1}^{-1}\Gamma _{1}u_{2},\\&u_{2}=\bigtriangledown _{2}^{-1}p_{2}+\bigtriangledown _{2}^{-1}\Gamma _{2}u_{3},\\\mathrm {et,\ en\ g{\acute {e}}n{\acute {e}}ral,} \qquad \qquad &\\&u_{i}=\bigtriangledown _{i}^{-1}p_{i}+\bigtriangledown _{i}^{-1}\Gamma _{i}u_{i+1}.\\\end{aligned}}\right\}\quad$(1)

pourvu que l’on prenne d’une manière convenable les dérivées négatives de leurs seconds membres.

Si l’on substitue dans la première de ces équations pour $u,$ sa valeur donnée par la seconde, on aura

$u=\bigtriangledown ^{-1}p+\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}p_{1}+\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}\Gamma _{1}u_{2}.$

Mettant de même dans celle-ci pour $u_{2}$ sa valeur donnée par la troisième ; il viendra

$u=\bigtriangledown ^{-1}p+\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}p_{1}+\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}\Gamma _{1}\bigtriangledown _{2}^{-1}\Gamma _{2}p_{2}$

$+\bigtriangledown ^{-1}\Gamma \bigtriangledown _{1}^{-1}\Gamma _{1}\bigtriangledown _{2}^{-1}\Gamma _{2}u_{3}.$