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DÉVELOPPEMENT

$p+q=\bigtriangledown u,$

d’où l’on tirera

$\bigtriangledown ^{-1}(p+q)=u+t=\bigtriangledown ^{-1}p+\bigtriangledown ^{-1}q+t\,;$

$t$ étant une fonction complémentaire qu’il faudra déterminer de manière que cette équation ait lieu. Au reste, quelque dérivée particulière que l’on veuille choisir pour $\bigtriangledown ^{-1}(p+q)$ et pour l’une des dérivées $\bigtriangledown ^{-1}p,\bigtriangledown ^{-1}q,$ il sera toujours possible de prendre celle de l’autre, de telle sorte qu’il faille poser $t=0,$ et que par conséquent on ait

$\bigtriangledown ^{-1}(p+q)=\bigtriangledown ^{-1}p+\bigtriangledown ^{-1}q\,;$

de sorte qu’au moyen de cette restriction on pourra regarder les caractéristiques $\bigtriangledown ^{-1},\bigtriangledown ^{-2},\ldots$ comme étant de nature distributive ; du moins si, comme nous le supposons ici, la caractéristique $\bigtriangledown$ l’est elle même ; ce qui résout la question que nous nous étions proposée.

Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons constamment que les fonctions complémentaires sont prises de manière que les caractéristiques de dérivation inverse soient distributives.

Nous remarquerons enfin sur ce sujet que si $\bigtriangledown ,\Gamma ,\Lambda ,\ldots$ sont des caractéristiques de nature distributive, on aura

$\bigtriangledown (t+u)=\bigtriangledown t+\bigtriangledown u,$

$\Gamma \bigtriangledown (t+u)=\Gamma (\bigtriangledown t+\bigtriangledown u)=\Gamma \bigtriangledown t+\Gamma \bigtriangledown u,$

$\Lambda \Gamma \bigtriangledown (t+u)=\Lambda (\Gamma \bigtriangledown t+\Gamma \bigtriangledown u)=\Lambda \Gamma \bigtriangledown t+\Lambda \Gamma \bigtriangledown u,$

et ainsi de suite, quels que soient d’ailleurs la nature des fonctions $t,u,$ et le nombre des caractéristiques $\bigtriangledown ,\Gamma ,\Lambda ,\ldots$