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DÉVELOPPEMENT

Lorsque la caractéristique de dérivation $\bigtriangledown$ sera de telle nature qu’on aura identiquement

$\bigtriangledown (t+u)=\bigtriangledown t+\bigtriangledown u,$

nous dirons que cette caractéristique est de nature distrilutive. C’est, par exemple, ce qui arrivera si le mode de dérivation, désigné par $\bigtriangledown$ consistait à multiplier la fonction par un multiplicateur constant, puisqu’on a $a(t+u)=at+au.$ Mais il n’en serait plus de même si ce mode de dérivation consistait à élever la fonction à une puissance, puisque $(t+x)^{m}$ n’est pas la même chose que $t^{m}+u^{m}$. Nous ne considérerons désormais que des fonctions de nature distributive.

D’après, cette définition, on aura

$\bigtriangledown (p+q+r)=\bigtriangledown (p+q)+\bigtriangledown r=\bigtriangledown p+\bigtriangledown q+\bigtriangledown r,$

et, en général,

$\bigtriangledown (p+q+r+s+\ldots )=\bigtriangledown p+\bigtriangledown q+\bigtriangledown r+\bigtriangledown s+\ldots$

quels que soient le nombre et les signes des fonctions $p,q,r,s\ldots$

Nous disons, quels que soient les signes de ces fonctions ; car, soit $\bigtriangledown (p-q),$ en posant $p-q=t\,;$ d’où $\bigtriangledown (p-q)=\bigtriangledown t,$ nous aurons $p=q+t$ ; d’où $\bigtriangledown p=\bigtriangledown (q+t)=\bigtriangledown q+\bigtriangledown t\,;$ ce qui donne $\bigtriangledown t=\bigtriangledown p-\bigtriangledown q,$ et par conséquent $\bigtriangledown (p-q)=\bigtriangledown p-\bigtriangledown q.$

Si, dans cette équation, on suppose $p=0,$ il viendra $\bigtriangledown (-q)=-\bigtriangledown q\,;$ d’où l’on voit que le coefficient $-1$ est commutatif avec toute caractéristique de nature distributive.

Dans la même hypothèse, on aura

${\begin{aligned}&\bigtriangledown ^{2}(t+u)=\bigtriangledown (\bigtriangledown t\ \,+\bigtriangledown u\,\ )=\bigtriangledown ^{2}t+\bigtriangledown ^{2}u,\\&\bigtriangledown ^{3}(t+u)=\bigtriangledown (\bigtriangledown ^{2}t+\bigtriangledown ^{2}u)=\bigtriangledown ^{3}t+\bigtriangledown ^{3}u,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$