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DÉVELOPPEMENT

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

De même si, $a$ étant un facteur constant, on avait

$\bigtriangledown au=a\bigtriangledown u,$

nous dirions que la caractéristique $\bigtriangledown$ est commutative avec ce facteur. C’est, par exemple, ce qui arrivera, si le mode de dérivation désigné par $\bigtriangledown$ consiste à substituer pour $x$ dans $u$ une fonction quelconque de $x$.

Mais si, au contraire, le mode de dérivation consistait, par exemple, à prendre le logarithme, le facteur et la caractéristique cesseraient dès-lors d’être commutatifs entre eux, puisque $a\operatorname {Log} .au$ et $\operatorname {Log} .au$ ne sont point la même chose.

Si trois caractéristiques $\Lambda ,\Gamma ,\bigtriangledown$ sont commutatives deux à deux, c’est-à-dire, si l’on a

$\Lambda \Gamma u=\Gamma \Lambda u,\quad \Lambda \bigtriangledown u=\bigtriangledown \Lambda u,\quad \Gamma \bigtriangledown u=\bigtriangledown \Gamma u\,;$

ces trois caractéristiques seront aussi commutatives entre elles ; c’est-à-dire qu’on aura

$\Lambda \Gamma \bigtriangledown u=\Lambda \bigtriangledown \Gamma u=\Gamma \Lambda \bigtriangledown u=\Gamma \bigtriangledown \Lambda u=\bigtriangledown \Gamma \Lambda u=\bigtriangledown \Lambda \Gamma u.$

Cela se prouve en changeant $u$ en $\bigtriangledown u,$ dans la première des trois équations de départ, en $\Gamma u$ dans la seconde, en $\Lambda u$ dans la troisième ; puis en prenant les dérivées $\Lambda ,\Gamma ,\bigtriangledown ,$ respectivement, des deux membres des trois mêmes équations, et comparant ensuite les résultats. On a, pour la première transformation,

$\Lambda \Gamma \bigtriangledown u=\Gamma \Lambda \bigtriangledown u,\quad \Lambda \bigtriangledown \Gamma u=\bigtriangledown \Lambda \Gamma u,\quad \Gamma \bigtriangledown \Lambda u=\bigtriangledown \Gamma \Lambda u\,;$

et par la seconde

$\bigtriangledown \Lambda \Gamma u=\bigtriangledown \Gamma \Lambda u,\quad \Gamma \Lambda \bigtriangledown u=\Gamma \bigtriangledown \Lambda u,\quad \Lambda \Gamma \bigtriangledown u=\Lambda \bigtriangledown \Gamma u\,;$

ce qui établit complètement la proposition annoncée.