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FONCTIONS.

diviser ensuite le résultat par la fonction primitive, si l’on a $u=ax,$ on aura $\bigtriangledown u={\frac {ax^{n+1}}{ax}}=x^{n}.$ Or, comme, par l’effet de ce mode de dérivation, le coefficient $a$ disparaît, il s’ensuit que $\bigtriangledown u$ demeurerait toujours le même quand bien même $u$ deviendrait $bx,cx,dx,\ldots \,;$ lors donc qu’on demandera $\bigtriangledown ^{-1}\bigtriangledown u,$ on pourra dire indifféremment que c’est $au,bu,cu,\ldots$^[1].

De même encore, si le mode de dérivation désigné par la caractéristique $\bigtriangledown ,$ consiste à prendre le cosinus de la fonction $u$ et qu’on ait $u=2a\varpi +x,$ on aura $\bigtriangledown u=\operatorname {Cos} .x,$ résultat dans lequel la constante $a$ ne paraît plus ; de sorte que $\bigtriangledown ^{-1}\bigtriangledown u$ peut être indistinctement égal à $2a\varpi +x,\ 2b\varpi +x,$$2c\varpi +x,\ldots$ pourvu toutefois que $a,b,c,\ldots$ soient des nombres entiers.

Lorsque deux caractéristiques de dérivation $\bigtriangledown ,\Gamma$ seront telles que l’on aura identiquement

$\bigtriangledown \Gamma u=\Gamma \bigtriangledown u,$

quelle que soit d’ailleurs la fonction $u$ ; nous dirons que ces caractéristiques sont commutatives entre elles. C’est, par exemple, ce qui arriverait si le mode de dérivation désigné par $\bigtriangledown$ consistait à changer $x$ en $x^{m}$, et que le mode de dérivation désigné par $\Gamma$ consistât à changer $x$ en $x^{n}$, puisque $(x^{m})^{n}=(x^{n})^{m}=x^{mn}.$

Mais il n’en serait plus de même si, par exemple, le premier mode de dérivation, consistant toujours à changer $x$ en $x^{m}$, le second consistait à changer $x$ en $x+a$ ; puisque $(x+a)^{m}$ et $x^{m}+a$ sont deux quantités généralement inégales.

1. C’est cette considération qui nous a déterminés à ne point admettre, comme l’a fait M. Servois, dans le mémoire cité, pour la définition des dérivées d’ordre négatif, la double équation $\bigtriangledown ^{-n}\bigtriangledown ^{n}u=\bigtriangledown ^{n}\bigtriangledown ^{-n}u=u.$