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''Une fonction continue et à variation bornée a ses nombres dérivés finis {{sc|presque partout}}<ref>Nous conviendrons de dire qu’une propriété a lieu ''presque partout'' dans un intervalle <math>{(a, b)}</math>, ou sur un ensemble <math>\mathcal{E}</math>, si les points de <math>{(a, b)}</math> ou de en lesquels elle n’a pas lieu ou bien n’existent pas, ou bien forment un ensemble de mesure nulle. |
''Une fonction continue et à variation bornée a ses nombres dérivés finis'' {{sc|presque partout}}<ref>Nous conviendrons de dire qu’une propriété a lieu ''presque partout'' dans un intervalle <math>{(a, b)}</math>, ou sur un ensemble <math>\mathcal{E}</math>, si les points de <math>{(a, b)}</math> ou de en lesquels elle n’a pas lieu ou bien n’existent pas, ou bien forment un ensemble de mesure nulle. |
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<p style="margin:0;">Cette locution, introduite dans la première édition de ce Livre, a été généralement adoptée. Si l’on se rappelle que {{M.|Denjoy}} n’a pas trouvé suffisamment précise et qu’il a rejeté l’expression : ''le point <math>\mathrm{P}</math> est point de l’ensemble <math>\mathrm{E}</math>'', on ne s’étonnera pas qu’il ait jugé inadmissible la locution ''presque partout'' qui, à son avis, a deux sens : l’un qualitatif ou descriptif, l’autre quantitatif ou métrique. Je pense qu’il faut entendre par là qu’on aurait pu convenir de donner à ''presque partout'' la signification suivante : ''exception faite des points formant un ensemble partout non dense''. Certes ; mais {{M.|Denjoy}} dit qu’une propriété a lieu sur une ''épaisseur pleine'' quand je dis qu’elle a lieu ''presque partout''. ''Épaisseur pleine'' n’aurait-elle pas pu recevoir une autre signification que celle qu’il a plu à {{M.|Denjoy}} de lui donner ?</p> |
<p style="margin:0;">Cette locution, introduite dans la première édition de ce Livre, a été généralement adoptée. Si l’on se rappelle que {{M.|Denjoy}} n’a pas trouvé suffisamment précise et qu’il a rejeté l’expression : ''le point <math>\mathrm{P}</math> est point de l’ensemble <math>\mathrm{E}</math>'', on ne s’étonnera pas qu’il ait jugé inadmissible la locution ''presque partout'' qui, à son avis, a deux sens : l’un qualitatif ou descriptif, l’autre quantitatif ou métrique. Je pense qu’il faut entendre par là qu’on aurait pu convenir de donner à ''presque partout'' la signification suivante : ''exception faite des points formant un ensemble partout non dense''. Certes ; mais {{M.|Denjoy}} dit qu’une propriété a lieu sur une ''épaisseur pleine'' quand je dis qu’elle a lieu ''presque partout''. ''Épaisseur pleine'' n’aurait-elle pas pu recevoir une autre signification que celle qu’il a plu à {{M.|Denjoy}} de lui donner ?</p> |
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<p style="margin:0;">''Presque partout'' serait inadmissible si, dans la langue usuelle, cette expression avait un sens précis, mais cela n’est pas ; de sorte que le lecteur, en présence de l’énoncé précédent par exemple, ne peut lui donner aucun sens précis sans se reporter à la définition posée pour ''presque partout''. Aucune erreur n’est donc possible.</p> |
<p style="margin:0;">''Presque partout'' serait inadmissible si, dans la langue usuelle, cette expression avait un sens précis, mais cela n’est pas ; de sorte que le lecteur, en présence de l’énoncé précédent par exemple, ne peut lui donner aucun sens précis sans se reporter à la définition posée pour ''presque partout''. Aucune erreur n’est donc possible.</p> |
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<p style="margin:0;">Obliger le lecteur à se reporter à une définition a son inconvénient. Je l’accorderais volontiers à n’importe qui, sauf à {{M.|Denjoy}} qui a utilisé dans ses Mémoires un nombre formidable de mots nouveaux. Et ce n’est pas diminuer l’inconvénient que de modifier, fût-ce même pour le perfectionner, un vocabulaire dont l’usage commence à se répandre.</p></ref> ; ses nombres dérivés sont sommables dans l’ensemble des points où ils sont finis ; ses trois variations totales <math>\mathrm{P}</math>, <math>\mathrm{N}</math>, <math>\mathrm{V}</math> vérifient les relations'' |
<p style="margin:0;">Obliger le lecteur à se reporter à une définition a son inconvénient. Je l’accorderais volontiers à n’importe qui, sauf à {{M.|Denjoy}} qui a utilisé dans ses Mémoires un nombre formidable de mots nouveaux. Et ce n’est pas diminuer l’inconvénient que de modifier, fût-ce même pour le perfectionner, un vocabulaire dont l’usage commence à se répandre.</p></ref> ; ''ses nombres dérivés sont sommables dans l’ensemble des points où ils sont finis ; ses trois variations totales <math>\mathrm{P}</math>, <math>\mathrm{N}</math>, <math>\mathrm{V}</math> vérifient les relations'' |
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{{c|<math>\begin{alignat}{2} |
{{c|<math>\begin{alignat}{2} |
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\mathrm{P} &\geqq \int_{\mathrm{E}[0 < \Lambda f]} &&\Lambda f\,\mathrm{d}x = \int_a^b \frac{1}{2}[\Lambda f + |\Lambda f|]\,\mathrm{d}x\text{,} \\ |
\mathrm{P} &\geqq \int_{\mathrm{E}[0 < \Lambda f]} &&\Lambda f\,\mathrm{d}x = \int_a^b \frac{1}{2}[\Lambda f + |\Lambda f|]\,\mathrm{d}x\text{,} \\ |
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