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« Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/40 » : différence entre les versions

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<nowiki />

<center><math>\begin{array}{l}
<center><math>\begin{array}{l}
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\end{array}</math></center>
\end{array}</math></center>


On a d’ailleurs :


⚫
<nowiki />

On a d'ailleurs:


<center><math>x+\epsilon t=x-\xi t,\quad r^{\prime2}=k^{2}(x-\xi t)^{2}+y^{2}+z^{2}</math></center>
<center><math>x+\epsilon t=x-\xi t,\quad r^{\prime2}=k^{2}(x-\xi t)^{2}+y^{2}+z^{2}</math></center>
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{{Br0}}et
{{Br0}}et


{{MathForm1|(4)|<math>X_{1}=\frac{-k(x-\xi t)}{r^{\prime3}},\quad Y_{1}=\frac{-y}{kr^{\prime3}},\quad Z_{1}=\frac{-z}{kr^{\prime3}};</math>}}
{{MathForm1|(4)|<math>X_{1}=\frac{-k(x-\xi t)}{r^{\prime3}},\quad Y_{1}=\frac{-y}{kr^{\prime3}},\quad Z_{1}=\frac{-z}{kr^{\prime3}}\, ;</math>}}


{{Br0}}ce qui peut s'écrire:
{{Br0}}ce qui peut s’écrire :


{{MathForm1|(4<sup>bis</sup>)|<math>X_{1}=\frac{dV}{dx},\quad Y_{1}=\frac{dV}{dy},\quad Z_{1}=\frac{dV}{dz};\quad V=\frac{1}{kr^{\prime}}.</math>}}
{{MathForm1|(4{{e|bis}})|<math>X_{1}=\frac{dV}{dx},\quad Y_{1}=\frac{dV}{dy},\quad Z_{1}=\frac{dV}{dz}\, ;\quad V=\frac{1}{kr^{\prime}}.</math>}}


Il semble d'abord que l'indétermination subsiste, puisque nous n'avons fait aucune hypothèse sur la valeur de t c'est-à-dire sur la rapidité de la transmission; et que d'ailleurs x est fonction de t; mais il est aisé de voir que x-&xi;t, y, z, qui figurent seuls dans nos formules, ne dépendent pas de t.
Il semble d’abord que l’indétermination subsiste, puisque nous n’avons fait aucune hypothèse sur la valeur de <math>t</math>, c’est-à-dire sur la rapidité de la transmission ; et que d’ailleurs <math>x</math> est fonction de <math>t</math> ; mais il est aisé de voir que <math>x-\xi t, y, z</math> qui figurent seuls dans nos formules, ne dépendent pas de <math>t</math>.


On voit que si les deux corps sont simplement animés d'une translation commune, la force qui agit sur le corps attiré est normale à un ellipsoïde ayant pour centre le corps attirant.
On voit que si les deux corps sont simplement animés d’une translation commune, la force qui agit sur le corps attiré est normale à un ellipsoïde ayant pour centre le corps attirant.


Pour aller plus loin il faut chercher les ''invariants du groupe de {{sc|Lorentz}}''.
Pour aller plus loin il faut chercher les ''invariants du groupe de'' {{sc|Lorentz}}.


Nous savons que les substitutions de ce groupe (en supposant l=1) sont les substitutions linéaires qui n'altèrent pas la forme quadratique
Nous savons que les substitutions de ce groupe (en supposant <math>l=1</math>) sont les substitutions linéaires qui n’altèrent pas la forme quadratique


<center><math>x^2 + y^2 + z^2 - t^2.\,</math></center>
<center><math>x^2 + y^2 + z^2 - t^2.\,</math></center>


Posons d'autre part:
Posons d’autre part :


<center><math>\begin{array}{l}
<center><math>\begin{array}{l}
\xi=\frac{\delta x}{\delta t},\quad\eta=\frac{\delta y}{\delta t},\quad\zeta=\frac{\delta z}{\delta t};\\
\xi=\frac{\delta x}{\delta t},\quad\eta=\frac{\delta y}{\delta t},\quad\zeta=\frac{\delta z}{\delta t}\,;\\
\\
\\
\xi_{1}=\frac{\delta_{1}x}{\delta_{1}t},\quad\eta_{1}=\frac{\delta_{1}y}{\delta_{1}t},\quad\zeta_{1}=\frac{\delta_{1}z}{\delta_{1}t};
\xi_{1}=\frac{\delta_{1}x}{\delta_{1}t},\quad\eta_{1}=\frac{\delta_{1}y}{\delta_{1}t},\quad\zeta_{1}=\frac{\delta_{1}z}{\delta_{1}t}\,;
\end{array}</math></center>
\end{array}</math></center>


{{Br0}}nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} aura pour effet de faire subir &delta;x, &delta;y, &delta;z, &delta;t et à &delta;<sub>1</sub>x, &delta;<sub>1</sub>y, &delta;<sub>1</sub>z, &delta;<sub>1</sub>t les mêmes substitutions linéaires qu'à x, y, z, t.
{{Br0}}nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} aura pour effet de faire subir à <math>\delta x, \delta y, \delta z, \delta t</math> et à <math>\delta_{1} x, \delta_{1} y, \delta _{1} z, \delta_{1} t</math> les mêmes substitutions linéaires qu’à <math>x,\ y,\ z,\ t</math>.


Regardons
Regardons
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<center><math>\begin{array}{ccccccc} x, & & y, & & z, & & t\sqrt{-1},\\ \\\delta x, & & \delta y, & & \delta z, & & \delta t\sqrt{-1},\\ \\\delta_{1}x, & & \delta_{1}y, & & \delta_{1}z, & & \delta_{1}t\sqrt{-1},\end{array}</math></center>
<center><math>\begin{array}{ccccccc} x, & & y, & & z, & & t\sqrt{-1},\\ \\\delta x, & & \delta y, & & \delta z, & & \delta t\sqrt{-1},\\ \\\delta_{1}x, & & \delta_{1}y, & & \delta_{1}z, & & \delta_{1}t\sqrt{-1},\end{array}</math></center>


{{Br0}}comme les coordonnées de 3 points P, P', P" dans l'espace à 4 dimensions. Nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} n'est qu'une rotation de cet espace autour de l'origine, regardée comme fixe. Nous n'aurons donc pas d'autres invariants distincts que les 6 distances des 3 points P, P', P" entre eux et á l'origine, ou, si l'on aime
{{Br0}}comme les coordonnées de 3 points ''P, P′, P″'' dans l’espace à 4 dimensions. Nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} n’est qu’une rotation de cet espace autour de l’origine, regardée comme fixe. Nous n’aurons donc pas d’autres invariants distincts que les 6 distances des 3 points ''P, P′, P″'' entre eux et à l’origine, ou, si l’on aime
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