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En continuant ainsi, nous formerons une suite d’expressions $\Omega$, $\Omega '$, $\Omega ''$, etc., dont la dernière sera indépendante des diverses inconnues, et représentée par $(nn,\mu )$, si $\mu$ désigne le nombre de ces inconnues ; nous aurons alors

$\Omega ={\frac {\mathrm {A} ^{2}}{(aa)}}+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{(bb,1)}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{(cc,2)}}+{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{(dd,3)}}+\ldots +(nn,\mu )$.

On prouvera facilement que $\Omega$ étant une somme de carrés et ne pouvant devenir négative, les diviseurs $(aa)$, $(bb,1)$, $(cc,2)$, etc., sont tous positifs. (Nous supprimons, pour abréger, le détail de la démonstration.) D’après cela, la valeur minimum de $\Omega$ correspond évidemment aux valeurs des inconnues, pour lesquelles

$\mathrm {A} =0$, $\mathrm {B} =0$, $\mathrm {C} =0$, …,

et, en commençant à résoudre le système par la dernière équation, qui ne contient qu’une inconnue, on trouvera les valeurs de $p$, $q$, $r$, $s$, etc., sans avoir aucune élimination à effectuer. La méthode donne, en même temps, la valeur minimum de $\Omega$, qui est $(nn,\mu )$.

3.

Appliquons ces principes à notre exemple, dans lequel $p$, $q$, $r$, $s$, etc., sont remplacés par $\mathrm {d} L$, $\mathrm {d} \tau$, $\mathrm {d} \pi$, $\mathrm {d} \varphi$, $\mathrm {d} {\text{☊}}$, $\mathrm {d} i$. J’ai trouvé, par des calculs exécutés avec soin :

(Les valeurs en bas de page sont transcrites page suivante.)