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vantes :

${\begin{alignedat}{6}(an)&{}+{}&(aa)&\,p{}+{}&(ab)&\,q{}+{}&(ac)&\,r{}+{}&\ldots &{}={}&0,\\(bn)&{}+{}&(ab)&\,p{}+{}&(bb)&\,q{}+{}&(bc)&\,r{}+{}&\ldots &{}={}&0,\\(cn)&{}+{}&(ac)&\,p{}+{}&(bc)&\,q{}+{}&(cc)&\,r{}+{}&\ldots &{}={}&0,\\&&&&&&&&&\;\;\vdots \end{alignedat}}$

L’élimination, très-pénible lorsque le nombre des inconnues est considérable, peut se simplifier notablement de la manière suivante. Outre les coefficients $(an)$, $(aa)$, etc. [dont le nombre est ${\tfrac {1}{2}}\,(i^{2}+3i)$, si le nombre des inconnues est $i$], supposons que l’on ait calculé la somme

${n}^{2}+{n'}^{2}+{n''}^{2}+\ldots =(nn)$ ;

on voit facilement que l’on a

${\begin{aligned}\Omega &=(nn)+2\,(an)\,p+2\,(bn)\,q+2\,(cn)\,r+\ldots \\&+(aa)\,p^{2}+2\,(ab)\,pq+2\,(ac)\,pr+\ldots \\&+(bb)\,q^{2}+2\,(bc)\,qr+2\,(bd)\,qs+\ldots \\&+(cc)\,r^{2}+2\,(cd)\,rs+\ldots \,;\\\end{aligned}}$

et, en désignant

$(an)+(aa)\,p+(ab)\,q+\ldots$

par $\mathrm {A}$, tous les termes de ${\frac {\mathrm {A} ^{2}}{(aa)}}$ qui contiennent le facteur $p$, se trouvent dans l’expression $\Omega$, et, par suite,

$\Omega -{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{(aa)}}$

est une fonction indépendante de $p$. C’est pourquoi, en posant

${\begin{aligned}(nn)&{}-{}{\frac {(an)^{2}}{(aa)}}=(nn,1),\\(bn)&{}-{}{\frac {(an)\,(bn)}{(aa)}}=(bn,1),\\(cn)&{}-{}{\frac {(an)\,(cn)}{(aa)}}=(cn,1),\\&\;\,\vdots \end{aligned}}$