« Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/319 » : différence entre les versions
mAucun résumé des modifications |
|||
| Contenu (par transclusion) : | Contenu (par transclusion) : | ||
| Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
expliqué (fig. 7), en sorte que <math>ZM</math> sera zéro. Il y a cependant des |
{{Br0}}expliqué (fig. 7), en sorte que <math>\mathrm{ZM}</math> sera zéro. Il y a cependant des |
||
exceptions que nous allons expliquer. |
exceptions que nous allons expliquer. |
||
Soient toujours <math>BAC</math> (fig. 8) l’angle donné, et <math>O</math> le point donné, |
Soient toujours <math>\mathrm{BAC}</math> (fig. 8) l’angle donné, et <math>\mathrm{O}</math> le point donné, |
||
et soit mené <math>AO</math> ; si l’on a <math>Ang.BAC+rAng.OAC=90^\circ</math>, la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché en <math>A</math> ; de manière |
et soit mené <math>\mathrm{AO}</math> ; si l’on a <math>\mathrm{Ang.BAC+rAng.OAC=90^\circ}</math>, la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché en <math>\mathrm{A}</math> ; de manière |
||
que les deux distances <math>ZM</math> et <math>ZN</math> s’évanouiront. |
que les deux distances <math>\mathrm{ZM}</math> et <math>\mathrm{ZN}</math> s’évanouiront. |
||
Si l’on a (fig. 8) <math>Ang.BAC+Ang.OAC>90^\circ,</math> la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché sur le prolongement de <math>AG</math> |
Si l’on a (fig. 8) <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC>90^\circ,}</math> la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché sur le prolongement de <math>\mathrm{AG}</math> |
||
au-delà de <math>A</math> ; mais, comme alors la distance <math>ZN</math> deviendra négative, |
au-delà de <math>\mathrm{A}</math> ; mais, comme alors la distance <math>\mathrm{ZN}</math> deviendra négative, |
||
cette solution ne pourra être admise ; il faudra donc, comme dans le |
cette solution ne pourra être admise ; il faudra donc, comme dans le |
||
cas précédent, laisser le point cherché en <math>A</math>. |
cas précédent, laisser le point cherché en <math>\mathrm{A}</math>. |
||
Si cependant, dans ce cas, l’angle <math>OAB</math> est obtus (fig. 9), le point |
Si cependant, dans ce cas, l’angle <math>\mathrm{OAB}</math> est obtus (fig. 9), le point |
||
<math>Z</math> devra être établi à l’intersection de <math>AC</math> avec la perpendiculaire <math>ON</math> |
<math>\mathrm{Z}</math> devra être établi à l’intersection de <math>\mathrm{AC}</math> avec la perpendiculaire <math>\mathrm{ON}</math> |
||
abaissée du point <math>O</math> sur le prolongement de <math>AB</math> au-delà de <math>A</math>. Alors, |
abaissée du point <math>\mathrm{O}</math> sur le prolongement de <math>\mathrm{AB}</math> au-delà de <math>\mathrm{A}</math>. Alors, |
||
<math>ZM</math> seulement sera nul, et <math>ZN</math> tombera hors de l’angle <math>BAC.</math> |
<math>\mathrm{ZM}</math> seulement sera nul, et <math>\mathrm{ZN}</math> tombera hors de l’angle <math>\mathrm{BAC}.</math> |
||
Résumons présentement les différens cas que nous venons d’analiser. |
Résumons présentement les différens cas que nous venons d’analiser. |
||
1.° Si l’angle <math>BAC</math>, formé par les deux canaux, est moindre que <math>60^\circ</math> |
1.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les deux canaux, est moindre que <math>60^\circ</math> |
||
(fig. 5), les deux ponts devront être les pieds <math>M</math> et <math>N</math> des perpendiculaires <math>OM</math> et <math>ON</math> abaissées de la ville sur leurs directions ; ces perpendiculaires elles-mêmes seront les directions des routes qui devront |
(fig. 5), les deux ponts devront être les pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires <math>\mathrm{OM}</math> et <math>\mathrm{ON}</math> abaissées de la ville sur leurs directions ; ces perpendiculaires elles-mêmes seront les directions des routes qui devront |
||
unir la ville aux deux ponts, et dont la longueur totale sera |
unir la ville aux deux ponts, et dont la longueur totale sera |
||
{{c|<math>2(aCos.\ |
{{c|<math>2(aCos.\tfrac{1}{2}\gamma+bSin.\tfrac{1}{2}\gamma)Sin.\tfrac{1}{2}\gamma.</math> }} |
||
2.° Si l’angle <math>BAC</math>, formé par les directions des deux canaux, |
2.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les directions des deux canaux, |
||
est de <math>60^\circ</math> (fig. 4) ; en faisant passer par la ville une parallèle <math>OK</math> |
est de <math>60^\circ</math> (fig. 4) ; en faisant passer par la ville une parallèle <math>\mathrm{OK}</math> |
||
à la droite <math>AD</math> qui divise cet angle en deux parties égales, et prenant |
à la droite <math>\mathrm{AD}</math> qui divise cet angle en deux parties égales, et prenant |
||
arbitrairement sur cette droite un point <math>Z</math> entre <math>O</math> et <math>K</math>, les ponts |
arbitrairement sur cette droite un point <math>\mathrm{Z}</math> entre <math>\mathrm{O}</math> et <math>\mathrm{K}</math>, les ponts |
||
pourront être établis aux pieds <math>M</math> et <math>N</math> des perpendiculaires abaissées |
pourront être établis aux pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires abaissées |
||
du point <math>Z</math> sur les directions des canaux, et ces perpendiculaires avec |
du point <math>\mathrm{Z}</math> sur les directions des canaux, et ces perpendiculaires avec |
||
la droite <math>ZO</math> seront les directions des branches de route qui joindront |
la droite <math>\mathrm{ZO}</math> seront les directions des branches de route qui joindront |
||
la ville aux deux ponts. La longueur totale de la route à construire |
la ville aux deux ponts. La longueur totale de la route à construire |
||
aura encore ici pour expression, comme dans le premier cas, |
aura encore ici pour expression, comme dans le premier cas, |
||