Recherches arithmétiques/Section cinquième (suite 2)

206. Problème. Étant donnée une forme de déterminant quarré dont est la racine positive, trouver une forme qui lui soit proprement équivalente, dans laquelle tombe entre et inclusivement, et où l’on ait

I. Puisque , on aura . Soit fait ce rapport , étant premier avec , et déterminons , de manière que , ce qui peut se faire. Par la substitution , , , , la forme se changera en une autre , qui lui sera proprement équivalente. Or on aura

   
    
     
    
    


Si donc est situé entre et , la forme satisfera à toutes les conditions.

II. Mais si tombe hors de ces deux limites, soit le résidu minimum positif de , suivant le module , sera évidemment entre , et  ; soit posé , alors la forme , se changera, par la substitution , , , , en qui sera proprement équivalente aux formes , et satisfera à toutes les conditions. Au reste, il est aisé de voir que la forme se change en par la substitution

Exemple. Soit la forme dont le déterminant est  ; ici et  ; en prenant donc , , , , la forme se trouve être , qui se change en par la substitution , , , . Cette dernière est parconséquent la forme demandée, et la proposée se change en elle par la substitution propre , , , .

Les formes telles que , dans lesquelles est compris entre et inclusivement, s’appelleront formes réduites ; mais il faut bien les distinguer des formes réduites de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré.

207. Théorème. Deux formes réduites ne peuvent être proprement équivalentes sans être identiques.

En effet, si on les suppose proprement équivalentes, soit , , , la transformation qui change la première en la seconde, on aura les équations

……(1) ……(2)
……(3) ……(4).


De l’équation (3) on tire ou  ; mais si l’on suppose que ne soit pas zéro, comme l’équation (2) peut se mettre sous la forme , qui donne alors nécessairement il s’ensuivrait par l’équation (1) que . Donc on doit seulement supposer ce qui réduit l’équation (4) à , d’où . Ainsi l’équation (1) devient , ce qui ne peut avoir lieu qu’en supposant , puisque et sont tous les deux compris entre et  ; ainsi on a donc , c’est-à-dire que les deux formes sont identiques.

On résout par là sans difficulté les problèmes suivans, qui en offraient beaucoup pour les autres déterminans.

I. Déterminer si deux formes , , de même déterminant quarré, sont équivalentes ou non.

On cherchera deux formes réduites équivalentes aux formes et respectivement, et suivant que ces réduites seront ou non identiques, les formes proposées seront ou non équivalentes.

II. Déterminer si deux formes sont improprement équivalentes.

Soit la forme opposée à l’une des deux formes, à , par exemple ; si est proprement équivalente à , et seront improprement équivalentes.

208. Problème. Étant données deux formes et de même déterminant proprement équivalentes, trouver une transformation propre de l’une en l’autre.

Soit la réduite équivalente à et à on cherchera par le no 106 une transformation propre de en et une transformation propre de en Alors se changera en par la substitution propre , , , , et partant en par la substitution propre , , , .

Il peut être utile de donner pour cette transformation de en une autre formule, pour laquelle il n’est pas nécessaire de connaître la réduite elle-même. Soit , ,  ; puisque est la plus simple expression de la fraction ou de la fraction , on aura égal à un un entier que nous supposerons , et de même . Or on a

d’où


ou en substituant pour pour


et comme


de même
 ;


donc et .

On a de même, relativement à la forme , et

En substituant ces valeurs de , , , dans la formule précédente, elle se change en la substitution suivante :


d’où a disparu.

Si l’on propose deux formes , improprement équivalentes, et qu’on demande une transformation impropre de l’une en l’autre, soit la forme opposée à , et , , , une transformation propre de en , il est clair que , , , , sera une transformation impropre de en .

Enfin on voit que si les formes sont proprement et improprement équivalentes, on pourra trouver de cette manière deux transformations, l’une propre et l’autre impropre.

209. Il ne nous reste plus parconséquent qu’à déduire d’une seule transformation toutes celles qui lui sont semblables, ce qui dépend de la solution de l’équation . Mais cette équation ne peut se résoudre que de deux manières, savoir, en faisant , , ou , . Supposons en effet une autre solution , ne soit pas zéro ; comme divise , on aura , et , ainsi que sont des quarrés entiers ; mais on voit facilement que la différence de deux quarrés entiers ne peut être à moins que le plus petit ne soit  ; si donc la forme se change en par la transformation , , , , on ne trouvera d’autre transformation semblable que , , , , et si elles ne sont équivalentes que d’une manière, il n’y aura que deux transformations ; il y en aura quatre si elles sont équivalentes des deux manières, savoir, deux propres et deux impropres.

210. Théorème. Si deux formes réduites sont improprement équivalentes, on aura étant le plus grand commun diviseur des nombres ou et réciproquement si ont le même plus grand diviseur commun et qu’on ait les formes seront improprement équivalentes.

I. Si la forme se change en par la transformation impropre , , , , on aura les équations

……(1), ……(2),
……(3), ……(4).


On déduit de l’équation (1)

ou


Or en combinant les équations (2) et (4), on tire , et comme la supposition réduirait l’équation (1) à contre l’hypothèse, on doit avoir ou et partant l’équation (4) donne alors ou Ainsi la congruence que nous avions trouvée devient

II. Si est le plus grand diviseur commun des nombres et qu’on ait seront entiers, et l’on s’assure aisément que la forme se change en par la substitution et que cette substitution est impropre. Ainsi ces formes seront improprement équivalentes.

On peut aussi juger sur-le-champ si une forme réduite est improprement équivalente à elle-même, puisqu’on aura alors

211. On trouve toutes les formes réduites de déterminant en prenant pour dans la forme tous les nombres entiers depuis et y compris jusqu’à inclusivement ; ainsi le nombre en sera Il est évident que l’on peut distribuer toutes les formes de déterminant en autant de classes, et qu’elles jouiront de la même propriété que ci-dessus (nos 175, 185), pour les formes de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré. Ainsi toutes les formes de déterminant peuvent se distribuer en dix classes, qui se distingueront par les différentes formes réduites qui y seront contenues. Ces formes réduites sont : qui sont improprement équivalentes à elles-mêmes ; qui est improprement équivalente à  ; qui est improprement équivalente à

212. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée de déterminant

On peut tirer la solution de ce problème, des principes de l’art. 165, absolument de la même manière que nous l’avons fait plus haut (nos 180, 181, 205), pour les formes de déterminant négatif, et positif non quarré, et comme il n’y a en cela aucune difficulté, il serait superflu de le reprendre ici. Mais il ne sera pas hors de propos de déduire la solution d’un autre principe qui est propre à ce cas particulier.

Ayant fait comme aux nos 206, 208, , , , on prouve sans peine que la forme proposée est le produit des deux facteurs et  ; d’où il suit évidemment que toute représentation du nombre par la forme proposée donne la résolution du nombre en deux facteurs. Si donc tous les diviseurs du nombre sont , , , etc. (1 et y compris et chacun d’eux étant pris positivement et négativement), il est clair que l’on obtiendra toutes les représentations du nombre , en posant successivement ,  ; , , etc. On tirera de là différentes valeurs de et de , parmi lesquelles on rejettera celles qui ne sont pas entières. Or les deux premières équations donnent évidemment


valeurs qui sont toujours déterminées parceque , et que parconséquent le dénominateur des fractions n’est jamais ,

On aurait pu tirer de la décomposition en deux facteurs, les problèmes précédées mais nous avons préféré employer une méthode analogue à celle que nous avions suivie pour les autres determinans.

Exemple. Cherchons les représentations du nombre par la forme . Cette forme se décompose en deux facteurs et  ; les diviseurs du nombre sont : , , , , , . Faisons , , on tire , , valeurs à rejeter comme fractionnaires. Les diviseurs , , , , donnent aussi des valeurs inutiles ; mais le diviseur donne , , et le diviseur donne , . Ainsi il n’y aura exactement que ces deux représentations.

Cette méthode ne peut s’employer si  ; mais dans ce cas, il est clair que toutes les valeurs de et doivent satisfaire à l’une des équations , . Or toutes les solutions de la première équation sont contenues dans la formule , , en désignant par un nombre quelconque, si , sont premiers entre eux, comme on le suppose. De même, nommant le plus grand diviseur commun des nombres , , toutes les solutions de la seconde équation seront données par la formule , . Ainsi ces deux formules contiendront toutes les représentations du nombre .

_______________


Dans ce qui précède, tout ce qui appartient à la recherche des caractères de l’équivalence des formes, à leur transformation et à la représentation des nombres donnés par des formes données, a été expliqué de manière à ne rien laisser à désirer. Il ne nous reste plus qu’à prendre deux formes de déterminant différent, qui par conséquent ne peuvent être équivalentes, et à enseigner le moyen de juger si l’une est contenue dans l’autre, et dans ce cas, celui de trouver les transformations de l’une en l’autre.

213. Nous avons déjà fait voir (nos 157 et 158) que si une forme de déterminant renferme la forme de déterminant , et se change en par la substitution , , , , on a , et que si l’on a , la forme non-seulement renferme la forme , mais lui est équivalente, et que partant, si renferme sans lui être équivalente, le quotient sera entier . Ainsi le problème à résoudre est : Juger si une forme donnée de déterminant renferme la forme donnée de déterminant est supposé un nombre positif . Pour y parvenir, nous assignerons un nombre fini de formes contenues sous la forme , et telles que soit équivalente à l’une d’elles, si elle est contenue dans .

I. Soient , , , etc. les diviseurs positifs du nombre (y compris et ) et . Désignons, pour abréger, par la forme en laquelle se change par la substitution propre , , ,  ; par celle qui résulte de la substitution propre , , , , etc., et généralement par celle qui résulte de la substitution propre , , , . On entendra de même les expressions , , etc. , etc. Toutes ces formes seront contenues proprement dans la forme , et le déterminant de chacune d’elles sera . Nous représenterons par l’ensemble de toutes les formes , ,…  ; , , etc., dont le nombre est etc., et qui sont toutes différentes, comme on le verra aisément.

Si l’on a, par exemple, et , comprendra les six formes  ;  ; , , , , qui sont, calcul fait,  ; , , , , .

II. Or je dis que si la forme de déterminant est contenue dans , elle sera nécessairement proprement équivalente à une des formes . Supposons en effet que se change en par la substitution propre , , ,  ; on aura [1]. Soit n le plus grand commun diviseur des nombres , , qui ne peuvent être nuls tous les deux, et . Soient les nombres , tels que , le résidu minimum positif du nombre suivant le module . Alors la forme , qui est évidemment une des formes , sera proprement équivalente à la forme , et se changera même en elle par la substitution propre


Car 1o. il est évident que ces quatre nombres sont entiers ; 2o. on s’assure aisément que la substitution est propre ; 3o. il est clair (no 159) que la forme en laquelle se change , par la transformation précédente, est la même que celle en laquelle se change par la transformation


Or le premier de ces quatre nombres se réduit sur-le-champ à , le second à  ; d’ailleurs on a  : donc et , ce qui donne pour les deux expressions précédentes , se réduisent évidemment à , , puisqu’on a . Ainsi cette transformation est , , ,  ; donc se change en et partant et sont proprement équivalentes, puisqu’elles ont d’ailleurs le même déterminant.

On pourra toujours juger par là si une forme de déterminant renferme proprement une forme de déterminant  ; mais quand on cherche si renferme improprement, on doit chercher si la forme opposée à est renfermée dans .

214. Problème. Étant données deux formes et dont les déterminans sont respectivement et et dont la première renferme la seconde proprement ; trouver toutes les transformations propres de en

En représentant par le même ensemble de formes qu’au numéro précédent, on en extraira toutes les formes auxquelles est proprement équivalente. Désignons-les par , , , etc. ; chacune de ces formes fournira des transformations propres de en , en donnera de différentes, et il n’y aura aucune transformation de la forme en qui ne soit donnée par une des formes , , , etc. Au reste, comme la méthode est la même pour toutes ces formes, nous ne nous occuperons que d’une seule.

Supposons et de manière que se change en par la substitution propre, , , , . Désignons par , , , , une transformation propre quelconque de en , la forme se changera évidemment en par la substitution propre , , ,  ; et de même, toute transformation de en en donnera une de en , et ainsi des autres : pour prouver que cette solution est complète, il reste à démontrer,

1o. Que de cette manière on obtient toutes les transformations possibles de en Soit , , , une transformation propre quelconque de en et comme au no précédent, le plus grand commun diviseur des nombres , , et les nombres , , , déterminés de la même manière qu’à ce numéro. Alors la forme se trouve parmi les formes , , etc.


sera une transformation de cette forme en , et de cette transformation on tire par la règle que nous venons de donner, , , , pour celle de en Tout ceci a été démontré au no précédent.

2o. Toutes les transformations que l’on obtient de cette manière sont différentes. On voit sans peine que des transformations différentes d’une même forme , , etc. en , ne peuvent produire la même transformation de en . Il reste donc seulement à prouver que deux formes différentes et , par exemple, ne peuvent donner la même transformation.

Supposons que la transformation propre , , , de la forme en , s’obtienne de la transformation , , , de en , et de la transformation , , , de en . Soit , , . On aura les équations

……(1),
……(2),
……(3),
……(4),
……(5).


Multipliant les équations (4) et (3) par et respectivement, on trouvera par la soustraction,  ; en les multipliant au contraire par et respectivement, on trouvera de même  ; donc est divisible par et par , ce qui exige qu’on ait , puisque et sont supposés tous les deux positifs. Donc aussi , , . Or en éliminant entre les équations (1) et (2), on trouve  ;
donc  ; ce qui ne peut avoir lieu à moins que l’on n’ait puisque et sont compris entre et . Donc les formes et sont les mêmes contre l’hypothèse.

Au reste, il est clair que si le déterminant est négatif, ou positif et quarré, on trouvera effectivement par cette méthode, toutes les transformations propres de en  ; mais que s’il est positif et non quarré, on trouvera certaines formules générales qui contiendront toutes les transformations propres, dont le nombre est infini.

Enfin si la forme est contenue improprement dans la forme , on peut trouver par la même méthode toutes les transformations de en . Soit en effet , , , une transformation indéterminée de en la forme opposée à , toutes les transformations impropres de en seront représentées par , , , .

Exemple. On demande toutes les transformations de la forme en , qui y est contenue des deux manières. Nous avons donné au no précédent la suite de formes pour la proposée. Examen fait, on trouve que dans cette suite les formes et sont proprement équivalentes à la forme en . Toutes les transformations de la forme en se trouvent, par la théorie que nous avons expliquée plus haut, être contenues dans la formule générale,


, désignent les nombres entiers qui satisfont à l’équation indéterminée  ; ainsi toutes les transformations propres de la forme en qui en résultent, seront comprises dans la formule générale


De même, toutes les transformations propres de la forme en sont contenues dans la formule


ce qui donne encore la suivante pour les transformations propres de en ,

, , , .


Ainsi ces deux formules embrassent toutes les transformations propres cherchées.

On trouve de la même manière que les transformations impropres sont données par les deux formules,

, , , ,
, , , ,

215. Jusqu’à présent nous avons écarté de nos recherches les formes dont le déterminant . Pour compléter notre théorie, il nous reste à ajouter quelque chose à leur sujet. Comme il a été démontré généralement que si une forme de déterminant renferme une forme de déterminant , est multiple de  ; il s’ensuit qu’une forme de déterminant ne peut renfermer aucune forme dont le déterminant ne soit aussi . Il ne nous reste donc que deux problèmes à résoudre ; savoir :

1o. Étant données deux formes et dont la seconde a pour déterminant, découvrir si la première renferme la seconde ; et dans ce cas, trouver toutes les transformations de en

2o. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée de déterminant .

Le premier problème doit être traité différemment, quand le déterminant de la première forme est aussi , et quand il ne l’est pas.

I. Observons avant tout qu’une forme dont le déterminant , peut se représenter ainsi : , et étant entiers et premiers entre eux, et m un nombre entier. Soit en effet le plus grand commun diviseur des nombres , , en lui donnant le même signe qu’à ces nombres, qui doivent évidemment en avoir un semblable, et seront entiers, positifs et premiers entre eux ; leur produit doit être égal à qui est un quarré, et partant, chacun d’eux en doit être un aussi. Soit et , et seront aussi premiers entre eux, et l’on aura ou . D’où il suit qu’on a


Soient proposées maintenant deux formes et de déterminant , et , , dans lesquelles est premier avec , et avec . Je dis que si renferme , on aura , ou que du moins divisera , et donnera pour quotient un quarré, et réciproquement. En effet, si se change en par la substitution , , on aura


d’où il suit évidemment que est un quarré ; faisons , on aura


et partant, ,  ; comme , sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres , , tels qu’on ait  ; et partant, , ou égal à un entier. Réciproquement, si l’on suppose que soit un quarré entier , la forme renfermera la forme , c’est-à-dire qu’on pourra toujours déterminer des valeurs entières de manière à satisfaire aux équations


car ces équations sont toujours résolubles en nombres entiers. Il suffit, comme on sait, de résoudre l’équation , et on aura

,—— ,
, ,


en donnant à , des valeurs entières quelconques.

Il est clair en même temps que ces formules donnent toutes les transformations de en , pourvu qu’on attribue à et toutes les valeurs entières.

II. Supposons maintenant que tout restant le même d’ailleurs, la forme n’ait pas pour déterminant. Je dis que, 1o. si renferme , le nombre pourra se représenter par la forme  ; 2o. si peut être représenté par , la forme sera renfermée dans  ; 3o. si, dans ce cas, la formule , donne indéfiniment toutes les représentations du nombre par la forme  ; les transformations de en seront contenues dans la formule , , , .

Supposons que se change en par la substitution , , ,  ; en prenant les nombres , , tels qu’on ait  ; si l’on fait , , la valeur de la forme devient et partant, peut être représenté par  ;

2o. Si l’on suppose , il est évident que par la substitution , , , , la forme se change en .

3o. Pour démontrer que la substitution , , , donne toutes les transformations de en , si , représentent toutes les valeurs de qui rendent  ; soit , , , une transformation quelconque de en , et, comme plus haut, , parmi les valeurs de seront les suivantes : , , qui donneront la substitution


d’où l’on tire

 ;
 ;  ;


mais comme on a


on en tire au moyen des trois équations qui en dérivent,

 ;


Or , puisque le déterminant de qui est , est égal au produit de par le déterminant de qui n’est pas égal à zéro ; on a donc , et partant, la substitution en question se réduit à , , , . Ainsi la formule que nous avons donnée fournit toutes les transformations de en [2].

III. Il ne reste plus qu’à faire voir comment on peut trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée dont le déterminant . Soit cette forme , il suit de là que ce nombre doit être divisible par , et que le quotient doit être un quarré. Ainsi, en représentant ce nombre par , on aura à trouver les valeurs de , pour qu’on ait , ou ce qui revient au même, . Or cette équation est toujours résoluble en nombres entiers, puisque et sont premiers entre eux. On déterminera et de manière qu’on ait , et l’on aura , , où est un nombre entier quelconque.

Comme application des recherches précédentes, nous ajouterons le problème suivant.

216. Problème. Trouver toutes les solutions en nombres entiers, de l’équation générale du second degré à deux inconnues,

,[3]

, , , etc. sont des nombres entiers quelconques.

Si l’on introduit à la place des inconnues , , d’autres inconnues

,


qui seront évidemment entiers quand , le seront, on aura l’équation


ou, en faisant pour abréger                               ,


Or nous avons donné la manière de trouver toutes les solutions de cette équation, c’est-à-dire, toutes les représentations du nombre par la forme  ; mais on a par les relations entre , , et ,

Si donc on rejette de toutes les valeurs qui en résultent pour et , celles qui sont fractionnaires, il ne restera que les solutions cherchées.

À l’égard de cette solution, il y a plusieurs observations à faire.

1o. Si ne peut être représenté par la forme , ou si aucune représentation ne fournit de valeurs entières pour ,  ; l’équation n’est pas résoluble.

2o. Quand le déterminant de la forme est négatif ou positif quarré, et qu’on a en même temps les représentations du nombre par la forme sont limitées, et parconséquent aussi les solutions de l’équation proposée, s’il en existe.

3o. Quand est positif non quarré, ou qu’il est quarré, et qu’on a en même temps si le nombre peut être représenté par la forme le nombre des représentations sera infini. Mais comme il est impossible de trouver alors toutes ces représentations, et partant, d’essayer si elles donnent pour , des valeurs fractionnaires ou entières, il est nécessaire d’établir une règle par laquelle on puisse s’assurer, quand cela arrive, qu’il n’y a aucune représentation qui donne des valeurs entières pour ,  ; car, sans cette règle, quel que fût le nombre des représentations essayées, on n’arriverait jamais à la certitude, et quand une partie des représentations donne des valeurs entières, et l’autre des valeurs fractionnaires, il faudra savoir distinguer les premières représentations des dernières.

4o. Quand , les formules précédentes ne déterminent pas les valeurs de , . Ainsi, dans ce cas, il faudra avoir recours à une méthode particulière.

217. Dans le cas où est un nombre positif non quarré, nous avons fait voir plus haut que toutes les représentations du nombre par la forme , s’il y en a quelques-unes, peuvent être données par une ou plusieurs formules telles que

 ;


, , , étant des nombres entiers donnés, le plus grand diviseur commun des nombres , ,  ; enfin , des nombres entiers qui satisfont à l’équation . Comme les valeurs de , peuvent être prises positivement et négativement, au lieu des formules précédentes, on peut prendre les quatre suivantes :

,           ;
,  ;
,  ;
,  ;


ensorte que le nombre de toutes les formules soit quatre fois plus grand qu’auparavant, mais que et soient positifs ; examinons donc séparément chacune de ces formules, et cherchons quelles sont les valeurs de , qui donnent des valeurs entières pour , .

La formule

……(1)


donne pour et


Or nous avons fait voir plus haut que toutes les valeurs positives de forment une suite récurrente , , , etc., et que les valeurs correspondantes de en forment une autre , , , etc. ; qu’en outre on pouvait toujours trouver un nombre tel qu’on eût, suivant un module donné quelconque,

,—— —— , etc.,
, , etc.,


Prenons pour ce module le nombre , et désignons par , les valeurs qui résultent pour , de la substitution de ,  ; par , celles qui résultent de , , etc. On voit alors sans peine que si , sont des nombres entiers, et que soit convenablement déterminé, les valeurs ,  ; , etc. ; , seront des nombres entiers, et qu’au contraire si ou est fractionnaire , ou le sera aussi. Il suit de là que si l’on cherche les valeurs de , depuis , jusqu’à , , et qu’aucunes d’elles ne soient entières, la formule (1) ne donnera absolument aucunes valeurs entières pour , . Mais si l’on en trouve quelques-unes, par exemple, ,  ; , , etc,, toutes les valeurs entières données par la formule (1) seront celles de , , dont les accens seront , , etc., désignant tous les nombres entiers positifs, y compris zéro.

Les autres formules dans lesquelles sont contenues les valeurs de , doivent être traitées absolument de la même manière, et s’il arrivait que d’aucune d’elles on n’obtînt des valeurs entières pour , , l’équation proposée, ne serait pas résoluble en nombres entiers ; mais toutes, les fois qu’elle le sera, les solutions entières pourront s’obtenir par ce que nous venons d’exposer.

218. Quand est un quarré et qu’on a , toutes les valeurs de , sont comprises sous deux formules de cette forme


est un nombre entier quelconque, , , , , des nombres entiers premiers entre eux ; c’est-à-dire avec avec (no 212). Il en résulte

,—— ……(1),
,—— ……(2).


Mais comme ces formules peuvent conduire à des valeurs fractionnaires pour moins que l’on n’ait il sera utile de distinguer les valeurs de qui rendent et entiers dans chaque formule ; d’ailleurs il suffira de considérer la première, parceque la même méthode s’appliquera à la seconde.

Puisque et sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres tels qu’on ait  ; substituant et leurs valeurs tirées de la formule (1), on a


d’où il suit que les valeurs de qui rendront , entiers, doivent être congrues à suivant le module ou être contenues sous la formule étant un nombre entier quelconque. On obtient facilement par là, au lieu de la formule (1), la formule suivante :


qui donnera évidemment des valeurs entières pour toutes les valeurs de , si elle en donne pour une seule. Or il suffit pour cela, qu’on ait Si cette congruence n’a pas lieu, la formule (1) ne donnera pas de valeurs entières. On traitera de même la formule (2).

219. Quand la forme peut se changer en , sont des entiers (no 215). Soit fait l’équation proposée devient


éliminant entre cette équation et l’équation on a


Or il est clair que ces valeurs satisferont à l’équation, en donnant à une valeur quelconque, à moins qu’on n’ait , cas que nous considérerons tout-à-l’heure à part ; il ne reste donc qu’à faire voir quelles doivent être les valeurs de , pour qu’il en résulte des valeurs entières de et de .

Comme , on ne peut prendre pour que des nombres entiers ; en outre, il est évident que si une valeur de rend et entiers, la même chose aura lieu pour toutes les valeurs de congrues à celle-là, suivant le module . Si donc on substitue pour tous les nombres entiers depuis jusqu’à , suivant que sera positif ou négatif, et qu’aucune de ces substitutions ne rende et entiers, l’équation proposée ne sera pas résoluble en nombres entiers ; mais si quelques-unes de ces valeurs ont cette propriété, supposons que ce soient les valeurs , etc., on aura toutes les solutions, en prenant , etc., étant un entier quelconque. Les valeurs de , etc. peuvent aussi se trouver par la solution des congruences du second degré. (Voyez Section IV. )

220. Pour le cas où , il faut chercher une méthode particulière. Par le no 215, et sont premiers entre eux ; ainsi