206. Problème. Étant donnée une forme
de déterminant quarré
dont
est la racine positive, trouver une forme
qui lui soit proprement équivalente, dans laquelle
tombe entre
et
inclusivement, et où l’on ait
I. Puisque
, on aura
. Soit fait ce
rapport
,
étant premier avec
, et déterminons
,
de manière que
, ce qui peut se faire. Par la substitution
,
,
,
, la forme
se changera en une autre
,
qui lui sera proprement équivalente. Or on aura







Si donc
est situé entre
et
, la forme
satisfera
à toutes les conditions.
II. Mais si
tombe hors de ces deux limites, soit
le résidu
minimum positif de
, suivant le module
,
sera évidemment
entre
, et
; soit posé
, alors la forme
, se changera, par la substitution
,
,
,
,
en
qui sera proprement équivalente aux formes
,
et satisfera à toutes les conditions. Au reste, il est aisé
de voir que la forme
se change en
par la substitution
Exemple. Soit la forme
dont le déterminant est
;
ici
et
; en prenant donc
,
,
,
, la forme
se trouve être
, qui se change
en
par la substitution
,
,
,
. Cette dernière est parconséquent la forme demandée, et la proposée se change en elle par
la substitution propre
,
,
,
.
Les formes telles que
, dans lesquelles
est compris
entre
et
inclusivement, s’appelleront formes réduites ;
mais il faut bien les distinguer des formes réduites de déterminant
négatif et de déterminant positif non quarré.
207. Théorème. Deux formes réduites
ne peuvent être proprement équivalentes sans être identiques.
En effet, si on les suppose proprement équivalentes, soit
,
,
,
la transformation qui change la première en la seconde, on
aura les équations
 |
……(1)— |
 |
……(2)—
|
 |
……(3)— |
 |
……(4).—
|
De l’équation (3) on tire
ou
; mais si l’on suppose que
ne soit pas zéro, comme l’équation (2) peut se mettre
sous la forme
, qui donne alors nécessairement
il s’ensuivrait par l’équation (1) que
. Donc
on doit seulement supposer ce qui réduit l’équation (4) à
, d’où
. Ainsi l’équation (1) devient
,
ce qui ne peut avoir lieu qu’en supposant
, puisque
et
sont tous les deux compris entre
et
; ainsi on a donc
,
c’est-à-dire que les deux formes sont identiques.
On résout par là sans difficulté les problèmes suivans, qui en
offraient beaucoup pour les autres déterminans.
I. Déterminer si deux formes
,
, de même déterminant quarré, sont équivalentes ou non.
On cherchera deux formes réduites équivalentes aux formes
et
respectivement, et suivant que ces réduites seront ou non identiques, les formes proposées seront ou non équivalentes.
II. Déterminer si deux formes
sont improprement équivalentes.
Soit
la forme opposée à l’une des deux formes, à
, par exemple ;
si
est proprement équivalente à
,
et
seront improprement
équivalentes.
208. Problème. Étant données deux formes
et
de même déterminant
proprement équivalentes, trouver une transformation propre de l’une en l’autre.
Soit
la réduite équivalente à
et à
on cherchera par le
no 106 une transformation propre
de
en
et une
transformation propre
de
en
Alors
se changera
en
par la substitution propre
,
,
,
, et partant
en
par la substitution propre
,
,
,
.
Il peut être utile de donner pour cette transformation de
en
une autre formule, pour laquelle il n’est pas nécessaire de connaître
la réduite
elle-même. Soit
,
,
; puisque
est la plus simple expression de la fraction
ou de la fraction
, on aura
égal à un
entier que nous supposerons
, et de même
. Or
on a

d’où

ou en substituant pour
pour

et comme

de même
 |
|
|
;
|
donc
et
.
On a de même, relativement à la forme
,
et
En substituant ces valeurs de
,
,
,
dans la formule précédente, elle se change en la substitution suivante :

d’où
a disparu.
Si l’on propose deux formes
,
improprement équivalentes,
et qu’on demande une transformation impropre de l’une en l’autre,
soit
la forme opposée à
, et
,
,
,
une transformation
propre de
en
, il est clair que
,
,
,
, sera une
transformation impropre de
en
.
Enfin on voit que si les formes sont proprement et improprement
équivalentes, on pourra trouver de cette manière deux transformations, l’une propre et l’autre impropre.
209. Il ne nous reste plus parconséquent qu’à déduire d’une
seule transformation toutes celles qui lui sont semblables, ce qui
dépend de la solution de l’équation
. Mais cette
équation ne peut se résoudre que de deux manières, savoir, en faisant
,
, ou
,
. Supposons en effet une
autre solution
,
où
ne soit pas zéro ; comme
divise
, on aura
, et
, ainsi que
sont
des quarrés entiers ; mais on voit facilement que la différence de
deux quarrés entiers ne peut être
à moins que le plus petit ne
soit
; si donc la forme
se change en
par la transformation
,
,
,
, on ne trouvera d’autre transformation semblable
que
,
,
,
, et si elles ne sont équivalentes que d’une
manière, il n’y aura que deux transformations ; il y en aura quatre
si elles sont équivalentes des deux manières, savoir, deux propres
et deux impropres.
210. Théorème. Si deux formes réduites
sont improprement équivalentes, on aura
étant le plus grand commun diviseur des nombres
ou
et réciproquement si
ont le même plus grand diviseur commun
et qu’on ait
les formes
seront improprement équivalentes.
I. Si la forme
se change en
par la transformation impropre
,
,
,
, on aura les équations
 |
 |
……(1), |
—
|
 |
 |
……(2),
|
 |
 |
……(3), |
—
|
 |
 |
……(4).
|
On déduit de l’équation (1)
|
 |
 |
|
ou |
 |
 |
|
Or en combinant les équations (2) et (4), on tire
,
et comme la supposition
réduirait l’équation (1) à
contre l’hypothèse, on doit avoir
ou
et
partant
l’équation (4) donne alors
ou
Ainsi la congruence que nous avions trouvée
devient
II. Si
est le plus grand diviseur commun des nombres
et qu’on ait
seront entiers, et l’on s’assure aisément que la forme
se
change en
par la substitution
et
que cette substitution est impropre. Ainsi ces formes seront improprement équivalentes.
On peut aussi juger sur-le-champ si une forme réduite
est improprement équivalente à elle-même, puisqu’on aura alors
211. On trouve toutes les formes réduites de déterminant
en
prenant pour
dans la forme
tous les nombres entiers
depuis et y compris
jusqu’à
inclusivement ; ainsi le
nombre en sera
Il est évident que l’on peut distribuer toutes
les formes de déterminant
en autant de classes, et qu’elles jouiront de la même propriété que ci-dessus (nos 175, 185), pour les
formes de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré. Ainsi toutes les formes de déterminant
peuvent se distribuer
en dix classes, qui se distingueront par les différentes formes réduites qui y seront contenues. Ces formes réduites sont :
qui sont improprement équivalentes à elles-mêmes ;
qui est improprement
équivalente à
;
qui est improprement équivalente à
212. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné
par une forme donnée
de déterminant
On peut tirer la solution de ce problème, des principes de
l’art. 165, absolument de la même manière que nous l’avons fait
plus haut (nos 180, 181, 205), pour les formes de déterminant négatif, et positif non quarré, et comme il n’y a en cela aucune
difficulté, il serait superflu de le reprendre ici. Mais il ne sera pas
hors de propos de déduire la solution d’un autre principe qui est
propre à ce cas particulier.
Ayant fait comme aux nos 206, 208,
,
,
, on prouve sans peine que la forme
proposée est le produit des deux facteurs
et
; d’où
il suit évidemment que toute représentation du nombre
par la
forme proposée donne la résolution du nombre
en deux facteurs.
Si donc tous les diviseurs du nombre
sont
,
,
, etc. (1 et
y compris et chacun d’eux étant pris positivement et négativement), il est clair que l’on obtiendra toutes les représentations du
nombre
, en posant successivement
,
;
,
, etc. On tirera de là différentes valeurs
de
et de
, parmi lesquelles on rejettera celles qui ne sont pas
entières. Or les deux premières équations donnent évidemment

valeurs qui sont toujours déterminées parceque
, et que
parconséquent le dénominateur des fractions n’est jamais
,
On aurait pu tirer de la décomposition en deux facteurs, les
problèmes précédées mais nous avons préféré employer une
méthode analogue à celle que nous avions suivie pour les autres
determinans.
Exemple. Cherchons les représentations du nombre
par la
forme
. Cette forme se décompose en deux facteurs
et
; les diviseurs du nombre
sont :
,
,
,
,
,
. Faisons
,
, on tire
,
, valeurs à rejeter comme fractionnaires. Les diviseurs
,
,
,
,
donnent aussi des valeurs inutiles ;
mais le diviseur
donne
,
, et le diviseur
donne
,
. Ainsi il n’y aura exactement que ces deux
représentations.
Cette méthode ne peut s’employer si
; mais dans ce cas,
il est clair que toutes les valeurs de
et
doivent satisfaire à
l’une des équations
,
. Or toutes les solutions de la première équation sont contenues dans la formule
,
, en désignant par
un nombre quelconque, si
,
sont premiers entre eux, comme on le suppose. De même,
nommant
le plus grand diviseur commun des nombres
,
,
toutes les solutions de la seconde équation seront données par la
formule
,
. Ainsi ces deux formules contiendront
toutes les représentations du nombre
.
_______________
Dans ce qui précède, tout ce qui appartient à la recherche des
caractères de l’équivalence des formes, à leur transformation et
à la représentation des nombres donnés par des formes données, a
été expliqué de manière à ne rien laisser à désirer. Il ne nous reste
plus qu’à prendre deux formes de déterminant différent, qui par conséquent ne peuvent être équivalentes, et à enseigner le moyen de juger si l’une est contenue dans l’autre, et dans
ce cas, celui de trouver les transformations de l’une en l’autre.
213. Nous avons déjà fait voir (nos 157 et 158) que si une forme
de déterminant
renferme la forme
de déterminant
, et se change en
par la substitution
,
,
,
,
on a
,
et que si l’on a
, la forme
non-seulement renferme
la forme
, mais lui est équivalente, et que partant, si
renferme
sans lui être équivalente, le quotient
sera entier
. Ainsi le
problème à résoudre est : Juger si une forme donnée
de déterminant
renferme la forme donnée de déterminant
où
est supposé un nombre positif
. Pour y parvenir, nous assignerons un nombre fini de formes contenues sous la forme
, et telles que
soit équivalente à l’une d’elles, si elle est contenue
dans
.
I. Soient
,
,
, etc. les diviseurs positifs du nombre
(y compris
et
) et
. Désignons,
pour abréger, par
la forme en laquelle
se change par la
substitution propre
,
,
,
; par
celle qui résulte de la
substitution propre
,
,
,
, etc., et généralement par
celle qui résulte de la substitution propre
,
,
,
. On entendra
de même les expressions
,
, etc.
, etc. Toutes
ces formes seront contenues proprement dans la forme
, et le déterminant de chacune d’elles sera
. Nous représenterons par
l’ensemble de toutes les formes
,
,…
;
,
…
, etc., dont le nombre est
etc., et qui sont toutes différentes, comme on le
verra aisément.
Si l’on a, par exemple,
et
,
comprendra
les six formes
;
;
,
,
,
, qui sont, calcul fait,
;
,
,
,
,
.
II. Or je dis que si la forme
de déterminant
est contenue dans
, elle sera nécessairement proprement équivalente à
une des formes
. Supposons en effet que
se change en
par
la substitution propre
,
,
,
; on aura
[1]. Soit n le plus grand commun diviseur des nombres
,
, qui ne peuvent
être nuls tous les deux, et
. Soient les nombres
,
tels
que
,
le résidu minimum positif du nombre
suivant le module
. Alors la forme
, qui est évidemment
une des formes
, sera proprement équivalente à la forme
, et
se changera même en elle par la substitution propre

Car 1o. il est évident que ces quatre nombres sont entiers ; 2o. on
s’assure aisément que la substitution est propre ; 3o. il est clair
(no 159) que la forme en laquelle se change
, par la transformation précédente, est la même que celle en laquelle
se change
par la transformation

Or le premier de ces quatre nombres se réduit sur-le-champ à
, le second à
; d’ailleurs
on a
: donc
et
,
ce qui donne pour les deux expressions précédentes
,
se réduisent évidemment à
,
, puisqu’on a
. Ainsi cette transformation est
,
,
,
; donc
se change en
et partant
et
sont proprement équivalentes, puisqu’elles ont d’ailleurs le même déterminant.
On pourra toujours juger par là si une forme
de déterminant
renferme proprement une forme de déterminant
; mais quand
on cherche si
renferme
improprement, on doit chercher si
la forme opposée à
est renfermée dans
.
214. Problème. Étant données deux formes
et
dont les déterminans sont respectivement
et
et dont la première renferme la seconde proprement ; trouver toutes les transformations propres de
en
En représentant par
le même ensemble de formes qu’au
numéro précédent, on en extraira toutes les formes auxquelles
est proprement équivalente. Désignons-les par
,
,
, etc. ; chacune de ces formes fournira des transformations propres de
en
,
en donnera de différentes, et il n’y aura aucune transformation
de la forme
en
qui ne soit donnée par une des formes
,
,
, etc. Au reste, comme la méthode est la même pour toutes
ces formes, nous ne nous occuperons que d’une seule.
Supposons
et
de manière que
se change
en
par la substitution propre,
,
,
,
. Désignons par
,
,
,
, une transformation propre quelconque de
en
, la
forme
se changera évidemment en
par la substitution propre
,
,
,
; et de même, toute transformation de
en
en donnera une de
en
, et ainsi des autres :
pour prouver que cette solution est complète, il reste à démontrer,
1o. Que de cette manière on obtient toutes les transformations
possibles de
en
Soit
,
,
,
une transformation propre
quelconque de
en
et comme au no précédent,
le plus grand
commun diviseur des nombres
,
, et les nombres
,
,
,
déterminés de la même manière qu’à ce numéro. Alors la forme
se trouve parmi les formes
,
,
etc.

sera une transformation de cette forme en
, et de cette transformation on tire par la règle que nous venons de donner,
,
,
,
pour celle de
en
Tout ceci a été démontré au no précédent.
2o. Toutes les transformations que l’on obtient de cette manière sont différentes. On voit sans peine que des transformations différentes d’une même forme
,
, etc. en
, ne peuvent produire la
même transformation de
en
. Il reste donc seulement à prouver
que deux formes différentes
et
, par exemple, ne peuvent donner
la même transformation.
Supposons que la transformation propre
,
,
,
de la forme
en
, s’obtienne de la transformation
,
,
,
de
en
,
et de la transformation
,
,
,
de
en
. Soit
,
,
. On aura les équations
 |
 |
 |
 |
 |
……(1),
|
 |
 |
 |
 |
 |
……(2),
|
 |
 |
 |
 |
 |
……(3),
|
 |
 |
 |
 |
 |
……(4),
|
 |
 |
 |
 |
 |
……(5).
|
Multipliant les équations (4) et (3) par
et
respectivement,
on trouvera par la soustraction,
; en les multipliant au contraire par
et
respectivement, on trouvera de
même
; donc
est divisible par
et
par
,
ce qui exige qu’on ait
, puisque
et
sont supposés tous
les deux positifs. Donc aussi
,
,
. Or en
éliminant
entre les équations (1) et (2), on trouve
;
donc
; ce qui ne peut avoir lieu à moins que l’on
n’ait
puisque
et
sont compris entre
et
. Donc
les formes
et
sont les mêmes contre l’hypothèse.
Au reste, il est clair que si le déterminant
est négatif, ou
positif et quarré, on trouvera effectivement par cette méthode, toutes
les transformations propres de
en
; mais que s’il est positif et
non quarré, on trouvera certaines formules générales qui contiendront toutes les transformations propres, dont le nombre est infini.
Enfin si la forme
est contenue improprement dans la forme
,
on peut trouver par la même méthode toutes les transformations
de
en
. Soit en effet
,
,
,
une transformation indéterminée de
en la forme opposée à
, toutes les transformations
impropres de
en
seront représentées par
,
,
,
.
Exemple. On demande toutes les transformations de la forme
en
, qui y est contenue des deux manières.
Nous avons donné au no précédent la suite
de formes pour la
proposée. Examen fait, on trouve que dans cette suite les formes
et
sont proprement équivalentes à la forme
en
.
Toutes les transformations de la forme
en
se trouvent, par la théorie que nous avons expliquée
plus haut, être contenues dans la formule générale,

où
,
désignent les nombres entiers qui satisfont à l’équation
indéterminée
; ainsi toutes les transformations
propres de la forme
en
qui en résultent,
seront comprises dans la formule générale

De même, toutes les transformations propres de la forme
en
sont contenues dans la formule

ce qui donne encore la suivante pour les transformations propres
de
en
,
 |
, |
—
|
 |
, |
—
|
 |
,
|
— |
 |
.
|
Ainsi ces deux formules embrassent toutes les transformations
propres cherchées.
On trouve de la même manière que les transformations impropres sont données par les deux formules,
 |
, |
—
|
 |
, |
—
|
 |
,
|
— |
 |
,
|
 |
, |
—
|
 |
, |
—
|
 |
, |
—
|
 |
,
|
215. Jusqu’à présent nous avons écarté de nos recherches les
formes dont le déterminant
. Pour compléter notre théorie,
il nous reste à ajouter quelque chose à leur sujet. Comme il a
été démontré généralement que si une forme de déterminant
renferme une forme de déterminant
,
est multiple de
; il
s’ensuit qu’une forme de déterminant
ne peut renfermer aucune forme dont le déterminant ne soit aussi
. Il ne nous reste
donc que deux problèmes à résoudre ; savoir :
1o. Étant données deux formes
et
dont la seconde a
pour déterminant, découvrir si la première renferme la seconde ; et dans ce cas, trouver toutes les transformations de
en
2o. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée de déterminant
.
Le premier problème doit être traité différemment, quand le
déterminant de la première forme est aussi
, et quand il ne
l’est pas.
I. Observons avant tout qu’une forme
dont
le déterminant
, peut se représenter ainsi :
,
et
étant entiers et premiers entre eux, et m un nombre entier.
Soit en effet
le plus grand commun diviseur des nombres
,
,
en lui donnant le même signe qu’à ces nombres, qui doivent
évidemment en avoir un semblable,
et
seront entiers, positifs et premiers entre eux ; leur produit doit être égal à
qui est
un quarré, et partant, chacun d’eux en doit être un aussi. Soit
et
,
et
seront aussi premiers entre eux, et l’on aura
ou
. D’où il suit qu’on a

Soient proposées maintenant deux formes
et
de déterminant
, et
,
, dans lesquelles
est premier avec
, et
avec
. Je dis que si
renferme
,
on aura
, ou que du moins
divisera
, et donnera pour
quotient un quarré, et réciproquement. En effet, si
se change
en
par la substitution
,
, on aura

d’où il suit évidemment que
est un quarré ; faisons
, on
aura

et partant,
,
; comme
,
sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres
,
,
tels qu’on ait
; et partant,
,
ou égal à un entier. Réciproquement, si l’on
suppose que
soit un quarré entier
, la forme
renfermera
la forme
, c’est-à-dire qu’on pourra toujours déterminer des valeurs entières de manière à satisfaire aux équations

car ces équations sont toujours résolubles en nombres entiers. Il
suffit, comme on sait, de résoudre l’équation
, et
on aura
 |
,—— |
,
|
 |
, |
,
|
en donnant à
,
des valeurs entières quelconques.
Il est clair en même temps que ces formules donnent toutes les
transformations de
en
, pourvu qu’on attribue à
et
toutes
les valeurs entières.
II. Supposons maintenant que tout restant le même d’ailleurs,
la forme
n’ait pas
pour déterminant. Je
dis que, 1o. si
renferme
, le nombre
pourra se représenter par la forme
; 2o. si
peut être représenté par
, la forme
sera renfermée dans
; 3o. si, dans ce cas, la formule
,
donne indéfiniment toutes les représentations du nombre
par la forme
; les transformations de
en
seront contenues
dans la formule
,
,
,
.
Supposons que
se change en
par la substitution
,
,
,
; en prenant les nombres
,
, tels qu’on ait
;
si l’on fait
,
, la valeur de la forme
devient
et partant,
peut être représenté par
;
2o. Si l’on suppose
, il est évident que
par la substitution
,
,
,
, la forme
se change en
.
3o. Pour démontrer que la substitution
,
,
,
donne
toutes les transformations de
en
, si
,
représentent toutes
les valeurs de
qui rendent
; soit
,
,
,
une transformation quelconque de
en
, et, comme plus haut,
, parmi les valeurs de
seront les suivantes :
,
, qui donneront la substitution

d’où l’on tire

;


;

;
mais comme on a

on en tire au moyen des trois équations qui en dérivent,

;

Or
, puisque le déterminant de
qui est
, est
égal au produit de
par le déterminant de
qui n’est pas
égal à zéro ; on a donc
, et partant, la substitution
en question se réduit à
,
,
,
. Ainsi la formule que nous
avons donnée fournit toutes les transformations de
en
[2].
III. Il ne reste plus qu’à faire voir comment on peut trouver
toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée
dont le déterminant
. Soit cette forme
, il suit
de là que ce nombre doit être divisible par
, et que le quotient
doit être un quarré. Ainsi, en représentant ce nombre par
,
on aura à trouver les valeurs de
,
pour qu’on ait
,
ou ce qui revient au même,
. Or cette équation
est toujours résoluble en nombres entiers, puisque
et
sont
premiers entre eux. On déterminera
et
de manière qu’on ait
, et l’on aura
,
,
où
est un nombre entier quelconque.
Comme application des recherches précédentes, nous ajouterons
le problème suivant.
216. Problème. Trouver toutes les solutions en nombres entiers, de l’équation générale du second degré à deux inconnues,

,
[3]
où
,
,
, etc. sont des nombres entiers quelconques.
Si l’on introduit à la place des inconnues
,
, d’autres inconnues

,
qui seront évidemment entiers quand
,
le seront, on aura
l’équation

ou, en faisant pour abréger
,

Or nous avons donné la manière de trouver toutes les solutions
de cette équation, c’est-à-dire, toutes les représentations du
nombre
par la forme
; mais on a par les relations
entre
,
,
et
,

Si donc on rejette de toutes les valeurs qui en résultent pour
et
, celles qui sont fractionnaires, il ne restera que les solutions
cherchées.
À l’égard de cette solution, il y a plusieurs observations à faire.
1o. Si
ne peut être représenté par la forme
, ou si
aucune représentation ne fournit de valeurs entières pour
,
;
l’équation n’est pas résoluble.
2o. Quand le déterminant
de la forme
est négatif ou positif quarré, et qu’on a en même temps
les représentations du nombre
par la forme
sont limitées, et parconséquent aussi les solutions de l’équation proposée,
s’il en existe.
3o. Quand
est positif non quarré, ou qu’il est quarré,
et qu’on a en même temps
si le nombre
peut être
représenté par la forme
le nombre des représentations
sera infini. Mais comme il est impossible de trouver alors toutes
ces représentations, et partant, d’essayer si elles donnent pour
,
des valeurs fractionnaires ou entières, il est nécessaire d’établir une règle par laquelle on puisse s’assurer, quand cela arrive,
qu’il n’y a aucune représentation qui donne des valeurs entières
pour
,
; car, sans cette règle, quel que fût le nombre des représentations essayées, on n’arriverait jamais à la certitude, et quand
une partie des représentations donne des valeurs entières, et l’autre
des valeurs fractionnaires, il faudra savoir distinguer les premières
représentations des dernières.
4o. Quand
, les formules précédentes ne déterminent
pas les valeurs de
,
. Ainsi, dans ce cas, il faudra avoir recours
à une méthode particulière.
217. Dans le cas où
est un nombre positif non quarré, nous
avons fait voir plus haut que toutes les représentations du nombre
par la forme
, s’il y en a quelques-unes, peuvent
être données par une ou plusieurs formules telles que

;
,
,
,
étant des nombres entiers donnés,
le plus grand
diviseur commun des nombres
,
,
; enfin
,
des nombres
entiers qui satisfont à l’équation
. Comme
les valeurs de
,
peuvent être prises positivement et négativement,
au lieu des formules précédentes, on peut prendre les quatre suivantes :
 |
 |
, |
|
 |
 |
;
|
 |
 |
, |
|
 |
 |
;
|
 |
 |
, |
|
 |
 |
;
|
 |
 |
, |
|
 |
 |
;
|
ensorte que le nombre de toutes les formules soit quatre fois plus
grand qu’auparavant, mais que
et
soient positifs ; examinons
donc séparément chacune de ces formules, et cherchons quelles
sont les valeurs de
,
qui donnent des valeurs entières pour
,
.
La formule

……(1)
donne pour
et

Or nous avons fait voir plus haut que toutes les valeurs positives
de
forment une suite récurrente
,
,
, etc., et que les valeurs
correspondantes de
en forment une autre
,
,
, etc. ; qu’en
outre on pouvait toujours trouver un nombre
tel qu’on eût,
suivant un module donné quelconque,
 |
,—— |
 |
—— |
 |
, |
etc., |
|
 |
, |
 |
 |
 |
, |
etc., |
|
Prenons pour ce module le nombre
, et désignons par
,
les valeurs qui résultent pour
,
de la substitution de
,
;
par
,
celles qui résultent de
,
, etc. On voit alors sans
peine que si
,
sont des nombres entiers, et que
soit convenablement déterminé, les valeurs
,
;
,
etc. ;
,
seront des nombres entiers, et qu’au
contraire si
ou
est fractionnaire
, ou
le sera
aussi. Il suit de là que si l’on cherche les valeurs de
,
depuis
,
jusqu’à
,
, et qu’aucunes d’elles ne soient
entières, la formule (1) ne donnera absolument aucunes valeurs
entières pour
,
. Mais si l’on en trouve quelques-unes, par
exemple,
,
;
,
, etc,, toutes les valeurs entières données
par la formule (1) seront celles de
,
, dont les accens seront
,
, etc.,
désignant tous les nombres entiers positifs, y compris zéro.
Les autres formules dans lesquelles sont contenues les valeurs
de
,
doivent être traitées absolument de la même manière, et
s’il arrivait que d’aucune d’elles on n’obtînt des valeurs entières
pour
,
, l’équation proposée, ne serait pas résoluble en nombres
entiers ; mais toutes, les fois qu’elle le sera, les solutions entières
pourront s’obtenir par ce que nous venons d’exposer.
218. Quand
est un quarré et qu’on a
, toutes les
valeurs de
,
sont comprises sous deux formules de cette forme

où
est un nombre entier quelconque,
,
,
,
, des nombres entiers premiers entre eux ; c’est-à-dire
avec
avec
(no 212). Il en résulte
,—— |
 |
……(1),
|
,—— |
 |
……(2).
|
Mais comme ces formules peuvent conduire à des valeurs fractionnaires pour
moins que l’on n’ait
il sera
utile de distinguer les valeurs de
qui rendent
et
entiers dans
chaque formule ; d’ailleurs il suffira de considérer la première,
parceque la même méthode s’appliquera à la seconde.
Puisque
et
sont premiers entre eux, on peut déterminer
deux nombres
tels qu’on ait
; substituant
et
leurs valeurs tirées de la formule (1), on a

d’où il suit que les valeurs de
qui rendront
,
entiers, doivent
être congrues à
suivant le module
ou être contenues sous la formule
étant un nombre entier quelconque. On obtient facilement par là,
au lieu de la formule (1), la formule suivante :
 |
|
 |
|
qui donnera évidemment des valeurs entières pour toutes les valeurs de
, si elle en donne pour une seule. Or il suffit pour cela,
qu’on ait
Si cette congruence n’a pas lieu, la formule (1) ne donnera pas de valeurs
entières. On traitera de même la formule (2).
219. Quand
la forme
peut se changer en
où
,
sont des entiers (no 215). Soit fait
l’équation proposée devient

éliminant entre cette équation et l’équation
on a

Or il est clair que ces valeurs satisferont à l’équation, en donnant
à
une valeur quelconque, à moins qu’on n’ait
, cas que
nous considérerons tout-à-l’heure à part ; il ne reste donc qu’à
faire voir quelles doivent être les valeurs de
, pour qu’il en résulte des valeurs entières de
et de
.
Comme
, on ne peut prendre pour
que des nombres
entiers ; en outre, il est évident que si une valeur de
rend
et
entiers, la même chose aura lieu pour toutes les valeurs de
congrues à celle-là, suivant le module
. Si donc on
substitue pour
tous les nombres entiers depuis
jusqu’à
, suivant que
sera positif ou négatif, et
qu’aucune de ces substitutions ne rende
et
entiers, l’équation proposée ne sera pas résoluble en nombres entiers ; mais si
quelques-unes de ces valeurs ont cette propriété, supposons que
ce soient les valeurs
, etc., on aura toutes les solutions, en
prenant
, etc.,
étant
un entier quelconque. Les valeurs de
, etc. peuvent aussi
se trouver par la solution des congruences du second degré. (Voyez
Section IV. )
220. Pour le cas où
, il faut chercher une méthode
particulière. Par le no 215,
et
sont premiers entre eux ; ainsi
sera un nombre entier que nous nommerons
. Alors l’équation proposée prend la forme

et partant ne peut avoir de solutions rationnelles, à moins que
ne soit un quarré. Soit donc
, on tire de
l’équation précédente

Cette équation exige, pour être résoluble en nombres entiers,
que
soit divisible par
car d’ailleurs
,
étant premiers entre eux, on trouvera toutes les solutions par les règles
connues.
221. Éclaircissons par un exemple le cas du no 217, qui est
le plus difficile. Soit l’équation

En introduisant de nouvelles indéterminées
,
, on en tire l’équation
. Or
on trouve que toutes les solutions de cette équation sont renfermées dans les quatre formules
 |
,—— |
 |
;
|
 |
, |
 |
;
|
 |
, |
 |
;
|
 |
, |
 |
;
|
,
étant des nombres indéterminés qui doivent satisfaire à l’équation
, et qui sont donnés par la formule
 |
 |
, |
|
|
 |
 |
, |
(no 200). |
|
Ainsi toutes les valeurs de
,
seront contenues dans les formules
 |
,—— |
 |
;
|
 |
, |
 |
;
|
 |
, |
 |
;
|
 |
, |
 |
.
|
En appliquant convenablement ce que nous avons dit plus haut, on
trouvera que pour avoir des nombres entiers il faut prendre pour
,
dans la première et la seconde formule, les valeurs qui résultent en supposant
pair, et au contraire, dans la troisième
et la quatrième, celles qui résultent en le supposant impair. Les
solutions les plus simples sont
,
,
;
,
,
,
respectivement.
Au reste, nous ferons remarquer que la solution du problème
précédent peut le plus souvent s’abréger par un grand nombre
d’artifices, surtout quand on en vient à l’exclusion des valeurs
fractionnaires ; mais nous sommes obligés de ne pas nous y arrêter pour
éviter les longueurs.
222. Comme beaucoup des choses que nous avons traitées jusqu’ici l’ont été aussi par d’autres géomètres, nous ne pouvons
passer sous silence leurs travaux. Lagrange a fait des Recherches
générales sur l’équivalence des formes (nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, 1773, p. 265, et 1775, p. 323), où il prouve surtout que, pour un déterminant donné quelconque, on peut trouver un nombre fini de formes telles, que toute forme de même déterminant soit équivalente à une d’entre elles, et que partant, toutes les formes d’un déterminant donné peuvent se distribuer par classes. Ensuite Legendre a découvert plusieurs propriétés élégantes de cette classification, mais pour la plus grande partie par induction, et nous les donnerons plus bas avec les démonstrations. Au reste,
personne n’avait encore songé à faire la distinction de l’équivalence propre et impropre, dont l’usage est sensible dans les recherches délicates.
Le fameux problème du no 216 a été résolu complètement, pour
la première fois, par Lagrange (Hist. de l’Acad. de Berlin, 1767,
p. 165, et 1768, p. 181). Sa solution existe aussi, mais moins
complète, dans les Supplémens à l’Algèbre d’Euler. Euler lui-même avait auparavant attaqué le même sujet (Comm. Petr. T, VI, p.175 ; Comm. nov. T. IX, p. 3 ; ibid. Τ. XVIII, p. 185) ;
mais il a toujours borné sa recherche à déduire toutes les solutions
d’une seule qu’il suppose connue ; et d’ailleurs ses méthodes ne
donnent toutes les solutions que dans un petit nombre de cas.
Bien que le dernier de ces trois mémoires soit postérieur à celui
dans lequel est renfermée la solution de Lagrange qui embrasse
le problème dans toute sa généralité, et à cet égard ne laisse rien à
desirer ; il paraît cependant qu’Euler à cette époque ne la connaissait pas encore. Au reste, notre solution, ainsi que tout ce
qui a été donné dans cette section, est fondée sur des principes
tout-à-fait différens.
Ce que d’autres, tels que Diophante, Fermat, etc. ont fait
connaître à ce sujet, n’appartient qu’à des cas très-particuliers ;
aussi, comme nous avons rappelé en temps et lieu ce qui était le
plus digne de mémoire, nous ne nous arrêtons pas à parler de
chaque chose en particulier.
__________
Ce que nous avons dit jusqu’à présent sur les formes du second
degré, ne doit être regardé que comme les premiers élémens de
cette théorie. Nous avons vu le champ s’agrandir considérablement, en poursuivant nos recherches avec persévérance ; nous
donnons dans ce qui va suivre les choses qui nous ont paru les
plus dignes d’attention. Car la fertilité de ce sujet est telle, que
nous sommes forcés pour abréger, de passer sous silence une grande
partie de ce que nous avons pu découvrir ; et une plus grande partie
sans doute est encore cachée et attend de nouveaux efforts. Nous
prévenons que les formes dont le déterminant
sont excluses de nos Recherches, à moins que nous n’avertissions spécialement
du contraire.