Recherches arithmétiques/Section cinquième (début)

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 118-159).

SECTION CINQUIÈME.

Des Formes, et des Équations indéterminées du second degré.

153. Nous parlerons surtout dans cette section des fonctions de deux indéterminées de la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$, où $a$, $b$, $c$ sont des nombres entiers donné, fonctions que nous appellerons formes du second degré, ou simplement formes. Ces recherches nous conduiront à trouver toutes les solutions d’une équation indéterminée quelconque du second degré à deux inconnues, soit qu’on puisse en obtenir la solution en nombres entiers, ou seulement en nombres rationnels. Quoique ce problème ait déjà été résolu dans toute sa généralité par Lagrange, et qu’il ait trouvé plusieurs propriétés des formes, auxquelles il faut encore joindre celles découvertes par Euler, ou démontrées par lui et annoncées par Fermat : cependant un examen plus approfondi des formes nous a fait voir tant de choses nouvelles, que nous avons cru utile de reprendre ce sujet en entier, avec d’autant plus de raison que nous avons remarqué que les découvertes de ces hommes illustres, répandues dans divers ouvrages, étaient connues de peu de personnes. D’ailleurs la méthode que nous avons employée nous appartient presque en entier, et les choses que nous pouvions ajouter n’auraient pas été entendues sans une nouvelle exposition. Au reste nous placerons en temps et lieu ce qui a rapport à l’histoire des vérités remarquables.

Nous représenterons la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ par le symbole $(a,b,c)$, quand il ne s’agira pas des indéterminées $x$ et $y$. Ainsi cette expression désignera d’une manière indéfinie la somme de trois parties, dont la première est le produit d’un nombre donné $a$ par le quarré d’une indéterminée quelconque, la seconde le double du produit de $b$ et de cette indéterminée multipliée par une autre, et la troisième le produit de $c$ par le quarré de cette seconde indéterminée. Par exemple, $(1,0,2)$ exprimera la somme d’un quarré et du double d’un quarré. Au reste, quoique les formes $(a,b,c)$ et $(c,b,a)$ soient les mêmes, quant à leurs parties, elles diffèrent cependant si l’on fait attention à l’ordre de ces parties ; aussi nous les distinguerons avec soin, et la suite fera voir l’avantage qui en résultera.

154. Nous dirons qu’un nombre donné est représenté par une forme donnée, si l’on peut trouver pour les indéterminées de cette forme des valeurs qui la rendent égale au nombre donné.

Théorème. Si un nombre $\mathrm {M}$ peut être représenté par la forme $\mathrm {(a,b,c)}$ de manière que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles ; $\mathrm {b^{2}-ac}$ sera résidu quadratique de $\mathrm {M} .$

Soit $m$ et $n$ les valeurs des indéterminées, et qu’on ait $am^{2}+2bmn+cn^{2}=M$, et prenons les nombres $\mu$ et $\nu$ tels qu’on ait $\mu m+\nu n=1$ (n^o 40). On prouvera facilement par la multiplication, que

	$\ (am^{2}+2bmn+cn^{2})(a\nu ^{2}-2b\mu \nu +c\mu ^{2})$
$=$	$\left\{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}\right\}-(b^{2}-ac)(m\mu +n\nu )^{2},$

ou

$M(a\nu ^{2}-2b\mu \nu +c\mu ^{2})=\{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}-(b^{2}-ac)\ ;$

donc

$b^{2}-ac\equiv \{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}{\pmod {M}}$

c’est-à-dire que $b^{2}-ac$ est résidu quadratique de $M$.

Nous appellerons par la suite déterminant de la forme $(a,b,c)$ le nombre $b^{2}-ac$, dont nous verrons que dépendent en grande partie les propriétés de cette forme.

155. Il suit de ce qu’on vient de voir que $\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)$ est la valeur de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$. Or $\mu$ et $\nu$ peuvent être déterminés d’une infinité de manières pour satisfaire à l’équation $m\mu +n\nu =1\,;$ il en résultera donc différentes valeurs pour cette expression ; examinons quelles relations elles ont entre elles.

Soient

$m\mu +n\nu =1$,

$m\mu '+n\nu '=1$ ;

$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)=V$, $\mu '(mb+nc)-\nu '(ma+nb)=V'$.

Si l’on multiplie la première équation par $\mu '$, la seconde par $\mu$, et qu’on retranche l’un des résultats de l’autre, il vient $\mu '-\mu =n(\mu '\nu -\mu \nu ')$ ; en multipliant par $\nu '$ et $\nu$, on tirera de même $\nu '-\nu =m(\mu \nu '-\mu '\nu )$. Mais les deux dernières donnent alors

$V'-V=(\mu '-\mu )(mb+nc)-(\nu '-\nu )(ma+nb)$

et substituant pour $\mu '-\mu$, $\nu '-\nu$ leurs valeurs

$V'-V=(\mu \nu '-\mu '\nu )(am^{2}+2bmn+cn^{2})=(\mu \nu '-\mu '\nu )M\ldots$

${\text{ou}}\quad V'\equiv V{\bmod {M}}.$

Ainsi, de quelque manière que $\mu$ et $\nu$ soient déterminés, la formule $\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)$ ne peut donner des valeurs différentes, c’est-à-dire incongrues, de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$. Si donc $V$ est une valeur quelconque de cette formule, nous dirons que la représentation du nombre $M$ par la forme $ax^{2}+2bxy+cy$, dans laquelle $x=m$ et $y=n$, appartient à la valeur $V$ de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$. Au reste on peut faire voir facilement que si $V$ est une valeur de cette formule, et que $V'\equiv V{\pmod {M}}$, on pourra prendre à la place de $\mu$ et $\nu$ d’autres nombres $\mu '=\mu +{\frac {n(V'-V)}{M}}$, et $\nu '=\nu -{\frac {m(V'-V)}{M}}$ qui donnent $V'$. Il suffit de faire $\mu '=\mu +{\frac {n(V-V')}{M}}$, $\nu '=\nu -{\frac {m(V-V')}{M}}$et l’on aura $\mu 'm+\nu 'n=\mu m+\nu n=1$ ; mais la valeur de la formule résultante de $\mu '$ et $\nu '$ surpassera celle qui résulte de $\mu$ et $\nu$ de la quantité $(\mu '\nu -\mu \nu ')M$ qui devient $=(\mu m+\nu n)(V'-V)=V'-V$ ; donc cette valeur sera $V'$.

156. Si l’on a deux représentations du même nombre par la même forme $(a,b,c)$, et que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles, elles peuvent appartenir à la même valeur de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$, ou à des valeurs différentes.

Soit

$M=am^{2}+2bmn+cn^{2}=am'^{2}+2bm'n'+cn'^{2}$, et $\mu m+\nu n=1$, $\mu 'n'+\nu 'm'=1\,;$

il est clair que si l’on a

$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\equiv \mu '(m'b+n'c)-\nu '(m'a+n'b){\bmod {M}},$

la congruence aura toujours lieu quelques valeurs convenables que l’on prenne pour $\mu$ et $\nu$, $\mu '$ et $\nu '$, auquel cas nous dirons que la représentation du nombre $M$ appartient à la même valeur de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$.

Mais si pour quelques valeurs de $\mu$, et $\nu$, $\mu '$ et $\nu '$, cette congruence n’a pas lieu, elle n’aura lieu pour aucune, et les représentations appartiendront à des valeurs différentes. Et, si l’on avait

$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\equiv -\{\mu '(m'b+n'c)-\nu '(m'a+n'b)\},$

nous dirions que les représentations appartiennent à des valeurs opposées. Nous nous servirons de toutes ces dénominations lorsqu’il s’agit de plusieurs représentations du même nombre par des formes différentes, mais qui ont le même déterminant.

Exemple. Soit $(3,7,-8)$ la forme proposée dont le déterminant $=73$. Elle donne pour le nombre $57$ les représentations suivantes : $3.13^{2}+14.13.25-8.25^{2}$ ; $3.5^{2}+14.5.9-8.9^{2}$. Pour la première on peut prendre $\mu =2$, $\nu =-1$, d’où résulte la valeur de ${\sqrt {73}}{\pmod {57}}$, à laquelle la représentation appartient $=2(13.7+25.8)+(13.3+25.7)=-4$. De la même manière, en faisant $\mu =2$, $\nu =-1$, on trouve que la seconde représentation appartient à la valeur $+4$. Donc les deux représentations appartiennent à des valeurs opposées.

Avant d’aller plus loin, nous observerons que les formes dont le déterminant est zéro doivent être exclues des considérations suivantes, parcequ’elles nuiraient à l’élégance des théorèmes, et qu’elles exigent qu’on les traite en particulier.

157. Si la forme $F$, dont les indéterminées sont $x$, $y$, peut être changée en une autre $F'$, dont les indéterminées soient $x'$, $y'$, en y substituant $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ étant des nombres entiers, nous dirons que la première renferme la seconde, ou que la seconde est contenue dans la première.

Soient $F=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$, $F'=a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}$. On aura les trois équations suivantes :

$a'=$	$a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}$,
$b'=$	$a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta$
$c'=$	$a\beta ^{2}+2b\beta \delta +c\delta ^{2}$

Multipliant la seconde par elle-même, la première par la troisième, et retranchant, il vient

$b'^{2}-a'c'=(b^{2}-ac)(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}\ ;$

d’où il suit que le déterminant de la forme $F'$ est divisible par celui de la forme $F,$ et que le quotient est un quarré ; ainsi ces déterminans seront de même signe. Si, de plus, la forme $F'$ pouvait être changée en la forme $F$ par une transformation semblable, c’est-à-dire, si $F'$ était contenue sous $F$ et $F$ sous $F'$, les déterminans seraient égaux et $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}=1$. Dans ce cas, nous les appellerons formes équivalentes. L’égalité des déterminans est une condition nécessaire pour l’équivalence des formes, mais il s’en faut bien qu’elle soit suffisante.

L’analyse précédente fait voir clairement que la même chose aura lieu pour les formes dont le déterminant est $=0$ ; mais l’équation $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}=1$ ne peut pas s’étendre à ce cas-là.

Nous nommerons la substitution transformation propre, quand $\alpha \delta -\beta \gamma >0$, et transformation impropre, quand $\alpha \delta -\beta \gamma <0$, et la forme $F$ sera dite contenue proprement ou improprement dans la forme $F'$ selon que $F$ pourra être transformée en $F'$ par une transformation propre ou impropre. Si donc $F$ et $F'$ sont équivalentes, la transformation sera propre ou impropre, suivant que $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$. Si plusieurs transformations sont toutes propres ou toutes impropres, elles seront semblables ; mais une transformation propre et une transformation impropre seront dissemblables.

158. Si les déterminans de deux formes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ sont égaux, et que $\mathrm {F'}$ soit contenue sous $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {F}$ sera aussi contenue sous $\mathrm {F'}$ et le sera proprement ou improprement, suivant que $\mathrm {F'}$ sera contenue sous $\mathrm {F}$ proprement ou improprement.

Supposons que $F$ devienne $F'$ en posant $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'\ ;$ $F'$ deviendra $F$ en posant $x'=\delta x-\beta y$, $y'=-\gamma x+\alpha y$. Car on déduira par là de $F'$ le même résultat qu’en substituant dans $F$, à la place de $x$ et de $y$, $\alpha (\delta x-\beta y)+\beta (+\alpha y-\gamma x)$ et $\gamma (\delta x-\beta y)+\delta (+\alpha y-\gamma x)$, qui reviennent à$(\alpha \delta -\beta \gamma )x$ et $(\alpha \delta -\beta \gamma )y$. Or ce résultat serait évidemment $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}F=F$, puisque par hypothèse $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}=1$. Or il est aisé de voir que la seconde transformation est propre ou impropre en même temps que la première.

Si $F'$ est contenu proprement dans $F$, et $F$ proprement dans $F'$, nous dirons que ces formes sont proprement équivalentes ; et si elles se contiennent improprement, nous dirons qu’elles sont improprement équivalentes. On verra bientôt l’utilité de ces distinctions.

Exemple. Par la substitution $x=2x'+y'$, $y=3x'+2y'$, la forme $2x^{2}-8xy+3y^{2}$ devient $-13x'^{2}-12x'y'-2y'^{2}$ ; et celle-ci se change en la première, par la substitution $x'=2x-y$, $y'=-3x+2y$. Donc les formes $(2,-4,+3)$ et $(-13,-6,-2)$ sont proprement équivalentes.

Nous allons maintenant nous occuper des problèmes suivans :

1^o . Étant données deux formes quelconques qui ont le même déterminant, chercher si elles sont équivalentes ou non, si elles le sont proprement ou improprement, ou des deux manières à-la-fois, ce qui est possible. Quand elles ont des déterminans inégaux, chercher si l’une ne renferme pas l’autre, proprement, improprement, ou des deux manières. Enfin trouver toutes les transformations tant propres qu’impropres de l’une dans l’autre.

2^o . Étant donnée une forme quelconque, trouver si un nombre donné peut être représenté par elle, et assigner toutes les représentations.

Mais comme les formes dont le déterminant est négatif exigent une autre méthode que celles dont le déterminant est positif, nous présenterons d’abord ce qu’il y a de commun aux deux cas, que nous considérerons ensuite séparément.

159. Si la forme $\mathrm {F}$ renferme la forme $\mathrm {F'}$, et que la forme $\mathrm {F'}$ renferme la forme $\mathrm {F''}$, $\mathrm {F}$ renfermera $\mathrm {F''} .$

Soient $x$, $y$ ; $x'$, $y'$ ; $x''$, $y''$, les indéterminées des formes $F$, $F'$, $F''$ respectivement, que $F$ devienne $F'$ en posant

$x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y',$

et que $F'$ devienne $F''$ en posant

$x'=\alpha 'x''+\beta 'y''$, $y'=\gamma 'x''+\delta 'y''.$

Il est clair que $F$ se changera en $F''$, en faisant

$x$	$=\alpha (\alpha 'x''+\beta 'y'')+\beta (\gamma 'x''+\delta 'y'')$
	$=(\alpha \alpha '+\beta \gamma ')x''+(\alpha \beta '+\beta \delta ')y''$

et

$y$	$=\gamma (\alpha 'x''+\beta 'y'')+\delta (\gamma 'x''+\delta 'y'')$
	$=(\alpha '\gamma +\delta \gamma ')x''+\beta '\gamma +\delta \delta ')y''$ :

Comme

	$(\alpha \alpha '+\beta \gamma ')(\beta '\gamma +\delta \delta ')-(\alpha \beta '+\beta \delta ')(\alpha '\gamma +\gamma '\delta )$
$=$	$(\alpha \delta -\beta \gamma )(\alpha '\delta '-\beta '\gamma ')$,

qui sera positif si les deux facteurs sont de même signe, et négatif dans le cas contraire, la forme $F$ renfermera donc $F''$ proprement, si F renferme $F'$, et $F'$, $F''$ de la même manière, soit proprement ou non, et la forme $F$ renfermera $F''$ improprement, dans le cas contraire.

Il suit de là que si l’on a tant de formes $F$, $F'$, $F''$, $F'''$, etc. qu’on voudra, telles que chacune renferme la suivante, la première renfermera la dernière, et la renfermera proprement ou improprement, suivant que le nombre des formes qui renferment la suivante improprement sera pair ou impair.

Si la forme $\mathrm {F}$ est équivalente à la forme $\mathrm {F'} ,$ et la forme $\mathrm {F'}$ à la forme $\mathrm {F''} ,$ la forme $\mathrm {F}$ sera équivalente à la forme $\mathrm {F''} ,$ et le sera proprement ou improprement, suivant que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} '$, $\mathrm {F'}$ et $\mathrm {F''}$ seront équivalentes de la même manière ou d’une manière différente.

En effet, puisque $F$, $F'$ sont équivalentes aux formes $F'$ $F''$ respectivement, les premières renferment les dernières, et partant $F$ renferme $F''$, mais les dernières renferment aussi les premières, donc $F$ et $F''$ sont équivalentes. Or, de ce que nous avons vu tout-à-l’heure, il suit que $F$ renferme $F''$ proprement ou improprement, suivant que $F$ et $F'$, $F'$ et $F''$ sont équivalentes de même ou de différente manière, et il en est de même de $F''$ et $F$ ; donc, dans le premier cas, $F$ et $F''$ sont proprement équivalentes, et dans le second, improprement.

Les formes $\mathrm {(a,-b,c)} ,$ $\mathrm {(c,b,a)} ,$ $\mathrm {(c,-b,a)}$ sont équivalentes à la forme $\mathrm {(a,b,c)} ,$ savoir, les deux premières improprement et la dernière proprement.

En effet $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ se change en $ax'^{2}+2bx'y'+cy'^{2}$, en faisant $x=x'+0.y'$ et $y=0.x'-y'$ ce qui donne $\alpha \delta -\beta \gamma =-1$ et partant, la transformation est impropre ; elle se change en $cx'^{2}+2bx'y'+ay'^{2}$ par la transformation impropre $x=0.x'+y'$, $y=x'+0.y'$, et en $cx'^{2}-2bx'y'+ay'^{2}$ par la transformation propre $x=0.x'-y'$, $y=x'+0.y'$.

Il suit de là qu’une forme quelconque équivalente à $(a,b,c)$ est proprement équivalente à cette forme ou à la forme $(a,-b,c)$. De même, si une certaine forme renferme la forme $(a,b,c)$, où $y$ est contenue, elle renferme proprement l’une des deux formes $(a,b,c),$ $(a,-b,c),$ ou bien elle est renfermée proprement dans l’une des deux. Les formes $(a,b,c),$ $(a,-b,c)$ s’appelleront formes opposées.

160. Si les formes $(a,b,c),$ $(a',b',c')$ ont le même déterminant, et qu’on ait $c=a'$ et $b+b'\equiv 0{\pmod {c}}$, nous dirons qu’elles sont contiguës, et quand une désignation plus exacte sera nécessaire, nous dirons que la première est contiguë à la seconde par la première partie, et que la seconde est contiguë à la première par la dernière partie.

Ainsi la forme $(7,3,2)$ est contiguë à la forme $(3,4,7)$ par la dernière partie, la forme $(3,1,3)$ est contiguë par les deux parties à son opposée $(3,-1,3)$.

Les formes contiguës sont toujours proprement équivalentes.

Car la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ se change en la forme contiguë $cx'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}$ en faisant $x=-y'$ et $y=x'+{\frac {b+b'}{c}}y'$ (où, par hypothèse, ${\frac {b+b'}{c}}$ est un entier), comme on s’en assurera par le développement. Or $0.{\frac {b+b'}{c}}-1.(-1)=1$ ; donc la transformation est propre. Au reste, ces définitions et ces conclusions n’auraient plus lieu si $c=a'=0$ ; mais ce cas n’arrive que lorsque le déterminant des formes est un quarré.

Il suit de là que les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ sont proprement équivalentes, si $a=a'$ et $b\equiv b'{\pmod {a}}$, car la première est proprement équivalente à $(c,-b,a)$ (n^o précéd.) ; or celle-ci est contiguë par la première partie à la forme $(a',b',c')$.

161. Si la forme $\mathrm {(a,b,c} )$ renferme la forme $\mathrm {(a',b',c'} ),$ tout diviseur commun des nombres $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {b} ,$ $\mathrm {c}$ le sera aussi des nombres $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {b'} ,$ $\mathrm {c'}$ et tout diviseur commun de $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {2b} ,$ $\mathrm {c}$ le sera aussi de $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {2b'} ,$ $\mathrm {c'} .$

L’inspection des trois équations du n^o 157 suffit pour le démontrer, en ayant soin de multiplier la seconde par $2$ pour la seconde partie de la proposition.

Il suit de là que le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $(2b)$, $c$ doit diviser celui des nombres $a'$, $b'$, $(2b')$, $c'$. Si donc les formes sont équivalentes, ces deux plus grands communs diviseurs sont égaux, puisqu’ils doivent se diviser mutuellement, et si dans ce cas l’un des deux groupes n’a pas de commun diviseur, l’autre n’en aura pas non plus.

162. Problème. Si la forme $\mathrm {AX^{2}+2BXY+CY^{2}\dots F}$ renferme la forme $\mathrm {ax^{2}+2bxy+cy^{2}\dots f} ,$ et qu’on connaisse une quelconque des transformations, déduire de celle-là toutes les transformations qui lui sont semblables.

Soit la transformation donnée, $X=\alpha x+\beta y$, $Y=\gamma x+\delta y$ ; Supposons d’abord qu’on en connaisse encore une autre semblable, $X=\alpha 'x+\beta 'y$, $Y=\gamma 'x+\delta 'y$, et examinons ce qui doit en résulter. Nommons $D$, $d$ les determinans des formes $F$, $f$, faisons $\alpha \delta -\beta \gamma =e$, $\alpha '\delta '-\beta '\gamma '=e'$, on aura (n^o 157) $d=De^{2}=De'^{2}$, et partant $e=e'$, puisque $e$ et $e'$ sont de même signe par hypothèse.

Or on aura les six équations suivantes :

$A\alpha ^{2}+2B\alpha \gamma +C\gamma ^{2}$	$=a$………………	(1)
$A\alpha '^{2}+2B\alpha '\gamma '+C\gamma '^{2}$	$=a$………………	(2)
$A\alpha \beta +B(\alpha \delta +\beta \gamma )+C\gamma \delta$	$=b$………………	(3)
$A\alpha '\beta '+B(\alpha '\delta '+\beta '\gamma ')+C\gamma '\delta '$	$=b$………………	(4)
$A\beta ^{2}+2B\beta \delta +C\delta ^{2}$	$=c$………………	(5)
$A\beta '^{2}+2B\beta '\delta '+C\delta '^{2}$	$=c$………………	(6)

Si l’on multiplie la première par la seconde, on en déduira

$\left(A\alpha \alpha '+B(\alpha \gamma '+\alpha '\gamma )+C\gamma \gamma '\right)^{2}=D(\alpha '\gamma -\alpha \gamma ')^{2}=a^{2}$

ou si l’on fait $A\alpha \alpha '+B(\alpha \gamma '+\alpha '\gamma )+C\gamma \gamma '=a'$

$a'^{2}-D(\alpha '\gamma -\alpha \gamma ')^{2}=a^{2}$ …… (7)

Si l’on multiplie la première par la quatrième, et la seconde par la troisième, et qu’on ajoute, on trouvera

$a'\{A(\alpha \beta '+\alpha '\beta )+B(\alpha \delta '+\alpha '\delta +\beta \gamma '+\beta '\gamma )+C(\gamma \delta '+\delta '+\delta '\gamma )\}${

$-D(\alpha \gamma '+\alpha '\gamma )(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )=2ab,$

ou en représentant                     $A(\alpha \beta '+\alpha '\beta )+B(\alpha \delta '+\alpha '\delta +\beta \gamma '+\beta '\gamma )+C(\gamma \delta '+\delta '\gamma )$
par $2b'$,

$2a'b'-D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )=2ab$…… (8)

Si l’on multiplie la première par la sixième, la seconde par la cinquième, la troisième par la quatrième, et qu’on ajoute les deux premiers produits et le double du troisième, on trouve

$4b'^{2}-D\{(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}+cc'\}=2b^{2}+2ac,$

ou bien comme $2Dee'=2d=2b^{2}-ac$,

$4b'^{2}-D(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}=4b^{2}$……(9)

Si l’on multiplie la troisième par la quatrième, il vient

$a'(A\beta \beta '+B(\beta \delta '+\beta '\delta )+C\delta \delta ')-D(\alpha \delta '-\gamma \beta ')(\beta \gamma '-\alpha '\delta )=b^{2}$

et comme

$D(\alpha \delta '-\gamma \beta ')(\beta \gamma '-\alpha '\delta )$	$=$		$D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )$
		$-$	$D(\alpha \delta -\beta \gamma )(\alpha '\delta '-\beta '\gamma )$
	$=$		$D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )-b^{2}+ac$

si l’on fait d’ailleurs $A\beta \beta '+B(\beta \delta '+\beta '\delta )+C\delta \delta '=c'$, on aura

$a'c'-D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )=ac$…… (10) ;

en ajoutant le produit de la troisième par la sixième à celui de la quatrième et de la cinquième, on aura

$2b'c'-D(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )=2bc$…… (11) ;

en multipliant la cinquième par la sixième, on trouvera

$c'^{2}-D(\beta \delta '-\beta '\delta )^{2}=c^{2}$…… (12).

Supposons maintenant que $m$ soit le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, et que les nombres $A'$, $B'$, $C'$ soient déterminés, de manière qu’on ait $A'a+2B'b+C'c=m$ (n^o 40). Multiplions les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), respectivement par $A'^{2}$, $2A'B'$, $B'^{2}$, $2A'C'$, $2B'C'$, $C'^{2}$, et ajoutons les produits, en faisant pour abréger,

$A'a'+2B'b'+C'c'=T$…… (13)

et

$A'(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )$
$+B'(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )$
$+C'(\beta \delta '-\beta '\delta )$	$=U$,…… (14),

on trouve $T^{2}-DU^{2}=m^{2}$, $T$ et $U$ étant manifestement entiers.

Nous sommes donc conduits à cette conclusion élégante, que la solution de l’équation indéterminée $\mathrm {t^{2}-Du^{2}=m^{2}}$ en nombres entiers dépend de deux transformations quelconques semblables de la forme $\mathrm {F}$ en la forme $\mathrm {f} ,$ en prenant $t=T$, $u=U$. Au reste, comme dans nos raisonnemens nous n’avons pas supposé que les transformations fussent différentes, une seule transformation prise deux fois doit donner une solution ; mais alors $\alpha '=\alpha$, $\beta '=\beta$, etc., $a'=a$, $b'=b$, etc., et partant $T=m$ et $U=0$, solution qui se présentait d’elle-même.

Considérons maintenant comme connue la première transformation, et la solution de liquation indéterminée, et cherchons comment on peut en déduire l’autre transformation, ou comment $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ dépendent de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $T$ et $U$.

Pour y parvenir, multiplions d’abord l’équation (1) par $\alpha '\delta -\beta \gamma '$, l’équation (2) par $\alpha \delta '-\beta '\gamma$, l’équation (3) par $\alpha \gamma '-\alpha '\gamma$, et l’équation (4) par $\alpha '\gamma -\alpha \gamma '$, et ajoutons les produits, il en résultera

$(e+e')a'=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )a$…… (15).

De même si nous multiplions (1) $-$ (2) par $\beta '\delta -\beta \delta '$, (3) $+$ (4) par $(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )$ et (5) $-$ (6) par $(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )$, nous aurons en ajoutant,

$2(e+e')b'=2(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )b$…… (16).

Enfin si nous multiplions (3) $-$ (4) par $\delta \beta '-\beta \delta '$, (5) par $\alpha \delta '-\beta '\gamma$, et (6) par $\alpha '\delta -\beta \gamma '$, on aura en ajoutant les produits,

$(e+e')c'=2(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )c$…… (17).

Substituant ces valeurs de $a'$, $b'$, $c'$ dans l’équation (13), il vient

$(e+e')T=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )(A'a+2B'b+C'c)$

ou $2eT=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )m$…… (18) ;

d’où l’on peut tirer la valeur de $T$ plus facilement que de l’équation (13).

Combinant cette équation avec les équations (15), (16), (17), on en tire

$ma'=Ta,\quad 2mb'=2Tb,\quad mc'=Tc.$

Ces valeurs substituées dans les équations (7), etc. (12), en y mettant d’ailleurs $m^{2}+DU^{2}$ pour $T^{2}$, elles deviennent

$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )^{2}m^{2}$	$=a^{2}U^{2}$
$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )m^{2}$	$=2abU^{2}$
$(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}m^{2}$	$=4b^{2}U^{2}$
$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )2m^{2}$	$=acU^{2}$
$(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )m^{2}$	$=2bcU^{2}$
$(\beta \delta '-\beta '\delta )^{2}m^{2}$	$=4c^{2}U^{2}$

De là, à l’aide de l’équation (14) et de celle-ci $A'a+2B'b+C'c=m$, on déduit facilement, en multipliant la 1^ère, la 2^e et la 4^e ; la 2^e, la 3^e et la 5^e ; la 4^e, 5^e et la 6^e par $A'$, $B'$, $C'$ respectivement, et en ajoutant les produits

$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )Um^{2}$	$=$	$m\alpha U^{2}$,
$(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )Um^{2}$	$=$	$2mbU^{2}$,
$(\beta \delta '-\beta '\delta )Um^{2}$	$=$	$mcU^{2}$,

équations qui, divisées par $mU$^[1], deviennent

$aU$	$=$	$m(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )$	…… (19)
$2bU$	$=$	$m(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )$	…… (20)
$cU$	$=$	$m(\beta \delta '-\beta '\delta )$	…… (21)

dont une quelconque peut donner la valeur de $U$ plus facilement que l’équation (14). Il suit aussi de là que de quelque manière qu’on détermine $A'$, $B'$, $C'$, et ces quantités peuvent être déterminées par plusieurs méthodes différentes, on aura toujours les mêmes valeurs, pour $T$ et pour $U$.

Or en combinant l’équation (18) avec l’équation (20), on en tire par soustraction et par addition les deux suivantes

$eT-bU$	$=$	$m(\alpha '\delta -\beta \gamma ')$…… (22)
$eT+BU$	$=$	$m(\alpha \delta '-\beta '\gamma )$…… (23),

et à l’aide des quatre équations (19), (21), (22), (23), qui ne sont que du premier degré, on obtiendra sans peine les valeurs de $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, au moyen des équations suivantes qui en dérivent,

$me\alpha '$	$=$	$\alpha eT+(a\beta -b\alpha )U$,
$me\beta '$	$=$	$\beta eT+(b\beta -c\alpha )U$,
$me\gamma '$	$=$	$\gamma eT+(a\delta -b\gamma )U$,
$me\delta '$	$=$	$\delta eT+(b\delta -c\gamma )U$,

ou, en y substituant les valeurs de $a$, $b$, $c$, tirées des équations (1), (3), (5),

$m\alpha '$	$=$	$\alpha T-(B\alpha +C\gamma )U$,
$m\beta '$	$=$	$\beta T-(B\beta +C\delta )U$,
$m\gamma '$	$=$	$\gamma T+(A\alpha +B\gamma )U$,
$m\delta '$	$=$	$\delta T+(A\beta +B\delta )U$.

Il suit de l’analyse précédente, qu’il n’y a pas de transformation de $F$ en $f$, semblable à la proposée, qui ne soit contenue dans les formules

$X$	$=$	${\frac {1}{m}}\{\alpha t-(B\alpha +C\gamma )u\}x+{\frac {1}{m}}\{\beta t-(B\beta +C\delta )u\}y$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	...... (I),
$Y$	$=$	${\frac {1}{m}}\{\gamma t+(A\alpha +B\gamma )u\}x+{\frac {1}{m}}\{\delta t+(A\beta +B\delta )u\}y$

$t$ et $u$ désignant indéfiniment tous les nombres qui satisfont à l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$. Nous ne pouvons pas encore conclure que toutes les valeurs de $t$ et de $u$ qui satisfont à cette équation donnent des transformations convenables, lorsqu’on les substitue dans les formules (I). Mais ,

1^o . On s’assurera par le développement, que la substitution de valeurs quelconques de $t$ et de $u$ change $F$ en $f$, au moyen des équations (1), (3), (5) et $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$. Nous omettons, ce calcul plus long que difficile.

2^o . Toute transformation déduite des formules sera semblable à la proposée ; car

		${\frac {1}{m}}\{\alpha t-(B\alpha +C\gamma )u\}\times {\frac {1}{m}}\{\delta t+(A\beta +B\delta )u\}$
	$-$	${\frac {1}{m}}\{\beta t-(B\beta +C\delta )u\}\times {\frac {1}{m}}\{\gamma t+(A\alpha +B\gamma )u\}$
$=$		${\frac {1}{m^{2}}}(\alpha \delta -\beta \gamma )(t^{2}-Du^{2})$
$=$		$\alpha \delta -\beta \gamma$.

3^o . Si les formes $F$ et $f$ ont des déterminans inégaux, il peut se faire que les formules (I) renferment des fractions, par la substitution de certaines valeurs de $t$ et de $u$, et que partant il faille les rejeter ; mais toutes les autres seront des transformations convenables, et seront les seules.

4^o . Si les formes $F$ et $f$ ont des déterminans égaux, et que parconséquent elles soient équivalentes, les formules (I) ne pourront jamais donner de transformations qui renferment des fractions, et parconséquent elles donnent la solution complète du problème.

En effet, par le théorème du n^o précédent, on sait que dans ce cas $m$ sera aussi diviseur commun de $A$, $2B$, $C$ ; or puisque $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, on a $t^{2}-B^{2}u^{2}=m^{2}-ACu^{2}$ ; donc $t^{2}-B^{2}u^{2}$ sera divisible par $m^{2}$, et partant, $4t^{2}-4B^{2}u^{2}$, ou, puisque $2B$ est divisible par $m$, $4t^{2}$ sera divisible par $m^{2}$ ou $2t$ par $m$. Donc ${\frac {2}{m}}(t+Bu)$ et ${\frac {2}{m}}(t-Bu)$ seront entiers, et partant, comme la différence ${\frac {4Bu}{m}}$de ces deux quantités est paire, elles seront ou toutes deux impaires, ou toutes deux paires ; si elles étaient impaires, leur produit ${\frac {4}{m^{2}}}(t^{2}-B^{2}u^{2})$ le serait aussi ; mais puisque $t^{2}-B^{2}u^{2}$ est divisible par $m^{2}$, ce produit est nécessairement pair ; donc cette supposition ne peut subsister, et les deux quantités sont paires, donc leurs moitiés ${\frac {1}{m}}(t+Bu)$, ${\frac {1}{m}}(t-Bu)$ sont des entiers, et parconséquent ${\frac {t}{m}}$ et ${\frac {Bu}{m}}$. Il suit de là, sans difficulté, que les quatre coefficiens des formules (I) sont toujours entiers.

Concluons de ce qui précède, que si l’on connaît toutes les solutions de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, on en déduira toutes les transformations de la forme $(A,B,C)$ en $(a,b,c)$, semblables à une transformation proposée. Nous donnerons plus loin le moyen de trouver les solutions de cette équation ; observons seulement ici que leur nombre est fini quand $D$ est négatif, ou positif et en même temps un quarré ; mais qu’il est infini, si $D$ est positif et non un quarré. Quand ce cas a lieu, et qu’on n’a pas $D=d$ (Voyez 3^o.), il faudrait encore chercher comment on peut, a priori, distinguer les valeurs de $t$ et de $u$ qui donnent des transformations entières, et celles qui n’en donnent pas. Mais nous donnerons plus bas, pour ce cas-là, une autre méthode qui n’aura pas le même inconvénient (n^o 214).

Exemple. La forme $x^{2}+y^{2}$ se change par la transformation propre $x=2x'+7y'$, $y=x'+5y'$ en $(6,24,99)$. On demande toutes les transformations propres de $(1,0,2)$ en $(6,24,99)$. Ici $D=-2$, $m=3$ ; ainsi l’équation à résoudre est $t^{2}+2u^{2}=9$. On peut y satisfaire de six manières : $t=3...u=0$, $t=-3...u=0$, $t=1...u=2$, $t=1...u=-2$, $t=-1...u=2$, $t=-1...u=-2$. La 3^e et la 6^e donnent des résultats fractionnaires et sont parconséquent à rejeter des autres. Résultent les quatre substitutions :

$x=$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$2x'+7y'$	______	$y=$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$x'+5y'$
		$-$	$2x'+7y'$				$-$	$x'+5y'$
			$2x'+9y'$	———				$x'+3y'$
		$-$	$2x'+9y'$				$-$	$x'+3y'$

dont la première est la solution proposée.

163. Nous avons dit plus haut, en passant, qu’il pouvait arriver qu’une forme $F$ en renfermât une autre $F'$, tant proprement qu’improprement. On voit que cela aura lieu, si l’on peut interposer une autre forme $G$, telle que $F$ renferme $G$, et que $G$ renferme $F'$, et que la forme $G$ soit de nature à être proprement équivalente à elle-même. Car si l’on suppose que $F$ renferme $G$ proprement ou improprement, comme $G$ se renferme lui-même improprement, $F$ renfermera $G$ improprement ou proprement, selon la supposition primitive, et partant le renfermera dans les deux cas, proprement ou improprement (n^o 159). On trouvera de même que de quelque manière que $G$ renferme $F'$, $F$ doit toujours renfermer $F'$ des deux manières. Or on reconnaît qu’il existe des formes improprement équivalentes à elles-mêmes par un cas très-évident, celui de la forme $(a,0,c)$, qui se change en $(a,0,c)$ en faisant $x=x'+0.y'$ et $y=0.x'-y'$. Plus généralement, toute forme $(a,b,c)$ jouit de cette propriété lorsque $2b$ est divisible par $a$ ; en effet la forme $(c,b,a)$ est contiguë à $(a,b,c)$ par la première partie (n^o 160), et partant lui est proprement équivalente, mais $(c,b,a)$ (n^o 159) équivaut improprement à $(a,b,c)$ ; donc $(a,b,c)$ équivaut improprement à elle-même. Nous nommerons formes ambiguës les formes $(a,b,c)$ dans lesquelles $2b$ est divisible par $a$. Nous avons donc le théorème suivant :

La forme $\mathrm {F}$ renfermera la forme $\mathrm {F'}$ proprement et improprement, si on peut trouver une forme ambiguë que $\mathrm {F}$ renferme et qui renferme $\mathrm {F'} .$

La réciproque est également vraie, et c’est l’objet du numéro suivant.

164. Théorème. Si la forme $\mathrm {Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}\dots (F)} ,$ renferme tant proprement qu’improprement la forme $\mathrm {A'x'^{2}+2B'x'y'+C'y'^{2}\dots (F')} ,$ on pourra trouver une forme ambiguë que $\mathrm {F}$ renfermera et qui renfermera $\mathrm {F'} .$

Supposons que $F$ devienne $F'$ par la substitution $x=\alpha x'+\beta 'y$, $y=\gamma x'+\delta y'$, et par la substitution dissemblable $x=\alpha 'x'+\beta 'y'$, $y=\gamma 'x'+\delta 'y'$. Soit $\alpha \delta -\beta \gamma =e$, $\alpha '\delta '-\beta '\gamma '=e'$, on aura $B'^{2}-AC=e^{2}(B^{2}-AC)=e'^{2}(B^{2}-AC)$ ; donc $e^{2}=e'^{2}$, et comme $e$ et $e'$ sont de signe contraire $e=-e'$ ou $e+e'=0$ ; or il est clair qu’on arrivera à la même forme en substituant dans $F'$, pour $x'$, $\delta 'x''-\beta 'y''$, pour $y'$, $-\gamma 'x''+\alpha 'y''$, qu’en substituant dans $F$

ou bien	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	pour x…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\alpha (\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\beta (-\gamma 'x''+\alpha 'y'')$
				$=$	$(\alpha \delta '-\beta \gamma ')x''$	$+(\alpha '\beta -\alpha \beta ')y''$
		pour y…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\gamma (\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\gamma (\delta 'x''+\beta 'y'')$
				$=$	$(\gamma \delta 'x''+\gamma '\delta )x''$	$+(\alpha '\delta -\beta '\gamma )y''$
ou bien	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	pour x…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\alpha '(\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\beta '(-\gamma 'x''+\alpha 'y'')$
				$=$	$(\alpha '\delta '-\beta '\gamma ')x''$
				$=$	$e'x''$
		pour y…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\gamma '(\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\delta '(-\gamma 'x''+\alpha 'y'')$
				$=$	$(\alpha '\delta '-\beta '\gamma ')x''$
				$=$	$e'y''$

Ainsi en faisant

$\alpha \delta '-\beta \gamma '=a\quad \alpha '\beta -\alpha \beta '=b\quad \gamma \delta '-\gamma '\delta =c\quad \alpha '\delta -\beta '\gamma =d,$

la forme $F$ se changera en une même forme par les substitutions $x=ax''+by''$, $y=cx''+dy''$ et $x=e'x''$, $y=e'y''$, ce qui donne les trois équations suivantes :

$Aa^{2}+2Bac+Cc^{2}$	$=$	$Ae'^{2}$	……… (1)
$Aab+B(ad+bc)+Ccd$	$=$	$Be'^{2}$	……… (2)
$Ab^{2}+2Bbd+Cd^{2}$	$=$	$Ce'^{2}$	……… (3)

mais des valeurs de $a$, $b$, $c$, $d$, on tire

$ad-bc=ee'=-e^{2}=-e'^{2}$ …………… (4)

Si l’on multiplie l’équation (I) par $d$, l’équation (2) par $c$, et qu’on retranche, on trouve $(Aa+Bc)(ad-bc)=(Ad-Bc)e'^{2}$, et partant $A(a+d)=0$.

En multipliant l’équation (2) par $a+d$ et en retranchant le produit de l’équation (I) par $b$ et de l’équation (3) par $c$, on trouve $\left(Ab+B(a+d)+Cc\right)(ad-bc)=(-Ab+B(a+d)-Cc)e'^{2}$, d’où $B(a+d)=0$.

Enfin en retranchant du produit de l’équation (3) par $c$ celui de l’équation (2) par $b$, on trouve $(Bb+Cd)(ad-bc)=(-Bb+Ca)e'^{2}$, d’où $C(a+d)=0$. Or comme $A$, $B$, $C$ ne peuvent dans aucun cas être nuls en même temps, il s’ensuit que

$a+d=0$ ……………………………… (5)

Si l’on multiplie l’équation (2) par $a$ et qu’on en retranche l’équation (I) multipliée par $b$, il vient $(Ba+Cc)(ad+bc)=(Ba-Ab)e'^{2}$, d’où

$Ab-2Ba-Cc=0$ …………………… (6)

Des équations : $e+e'=0$, $a+d=0$ ou $\alpha \delta -\beta \gamma +\alpha '\delta '-\beta '\gamma '=0$ et $\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma =0$, on déduit $(\alpha +\alpha ')(\delta +\delta ')=(\beta +\beta ')(\gamma +\gamma ')$, ou $(\alpha +\alpha '):(\gamma +\gamma ')=(\beta +\beta '):(\delta +\delta ')$. Représentons par ${\frac {m}{n}}$ ce rapport, réduit à sa plus simple expression, de manière que $m$ et $n$ soient premiers entre eux^[2], et soient pris $\mu$, $\nu$ desorte qu’on ait $\mu m+\nu n=1$. Soit d’ailleurs $r$ le plus grand commun diviseur de $a$, $b$, $c$, son quarré divisera $bc+a^{2}=bc+ad=-e^{2}$ ; donc $r$ divisera $e$. Cela posé, si la forme $F$, par la transformation $x=mt+{\frac {\nu e}{r}}u$, $y=nt-{\frac {\mu e}{r}}u$, se change en $Mt^{2}+2Ntu+Pu^{2}$……(G), cette forme $G$ sera ambiguë et renfermera $F'$.

Démonstration. I. Pour faire voir que la forme $G$ est ambiguë, nous démontrerons que $M(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2Nr$ ; car alors $r$ divisant $a,$ $b,$ $c$, ${\frac {1}{r}}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ sera entier, et partant $2N$ un multiple de $M$.

Or

$M$	$=$	$Am^{2}+2Bmn+Cn^{2}$,
$Nr$	$=$	$\left(Am\nu -B(m\mu -n\nu )-Cn\mu \right)e$ ;

d’ailleurs il est facile de s’assurer que l’on a

$2e+2a$	$=$	$e-e'+a-d$
	$=$	$(\alpha -\alpha ')(\delta +\delta ')-(\beta -\beta ')(\gamma +\gamma ')$
$2b$	$=$	$(\alpha +\alpha ')(\beta -\beta ')+(\alpha -\alpha ')(\beta +\beta ')$,

et comme $m(\gamma +\gamma ')=n(\alpha +\alpha ')$, $m(\delta +\delta ')=n(\beta +\beta ')$, il en résulte $(2e+2a)n+2nb=0$, ou

$me+ma+nb=0$……… (7)

De même

$2e-2a$	$=$	$e-e'-a+d$
	$=$	$(\alpha +\alpha ')(\delta -\delta ')-(\gamma +\gamma ')(\delta -\delta ')$
$2c$	$=$	$(\gamma +\gamma ')(\delta +\delta ')-(\gamma +\gamma ')(\delta -\delta ')$,

d’où $n(2e-2a)+2mc=0$… ou $ne-na+mc=0$… (8).

Maintenant si l’on ajoute à $m^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ la fonction

	$(1-m\mu -n\nu )\{m\nu (e-a)+(m\mu +1)b\}$
$+$	$(me+ma+nb)(m\mu \nu +\nu )$
$+$	$(ne-na+mc)m\nu ^{2}$

qui se réduit à zéro, puisque $1-m\mu -n\nu =0$, $me+ma+nb=0$, $ne-na+mc=0$, et qu’on effectue les produits en effaçant les termes qui se détruisent, on trouvera $2m\nu e+b$ ; donc

$m^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2m\nu e+b$…… (9)

De même, si l’on ajoute à $mn(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ la fonction

	$(1-m\mu -n\nu )\{(n\nu -m\mu )e-(1+m\mu +n\nu )a\}$
$-$	$(me+ma+nb)m\mu ^{2}$
$+$	$(ne-na+mc)n\nu ^{2}$

on trouve

$mn(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=(n\nu -m\mu )e-a$………(10).

Enfin si l’on ajoute à $n^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ la fonction

	$(m\mu +n\nu -1)\{n\mu (e+a)+(n\nu +1)c\}$
$-$	$(me+ma+nb)n\mu ^{2}$
$-$	$(ne-na+mc)(n\mu \nu +\mu )$,

on trouve

$n^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=-2n\mu e-c$……… (11)

Donc si l’on multiplie l’équation (9) par $A$, (10) par $2B$ et (11) par $C$, il vient

	$(Am^{2}+2Bmn+Cn^{2})(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$
$=$	$2e\{Am\nu +B(n\nu -m\mu )-Cm\mu \}+Ab-2Ba-Cc$,

ou à cause de l’équation (6),

$M(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2Nr.$

II. Pour prouver que la forme $G$ renferme la forme $F'$ nous démontrerons

1^o . Que $G$ devient $F'$ en posant

$t$	$=$	$(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+(\mu \beta +\nu \delta )y'$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	…… (S).
$u$	$=$	${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )x'+{\frac {r}{r}}(n\beta -m\delta )y'$

2^o . Que ${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )$ et ${\frac {r}{r}}(n\beta -m\delta )y'$ sont entiers.

1^o . Puisque $F$ devient $G$ en posant $x=mt+{\frac {\nu e}{r}}u$, $y=nt-{\frac {\mu e}{r}}u$, la forme $G$ se changera par la transformation (S) en la même forme que celle en laquelle $F$ se changerait en posant

$x$	$=$	${\displaystyle }$	$m(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+m(\mu \beta +\gamma \delta )y'$
		$+$	$\nu (n\alpha -m\gamma )x'+\nu (n\beta -m\delta )y'$
	$=$		$(m\mu +n\nu )\alpha x'+(m\mu +n\nu )\beta y'$
	$=$		$\alpha x'+\beta y'$
$y$	$=$		$n(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+n(\mu \beta +\gamma \delta )y'$
		$-$	$\mu (n\alpha -m\gamma )x'-\mu (n\beta -m\delta )y'$
	$=$		$(m\mu +n\nu )\gamma x'+(m\mu +n\nu )\delta y'$
	$=$		$\gamma x'+\delta y'$

Mais par cette substitution, $F$ se change en $F'$ ; donc par la substitution (S) la forme $G$ se change en $F'$.

2^o . On déduit facilement des valeurs de $e$, $b$, $d$ l’équation $\alpha 'e+\gamma b-\alpha d=0$ ou comme $d=-a$, $\alpha 'e+\alpha a+\gamma b=0$ éliminant $b$ au moyen de l’équation (7), il vient

$(n\alpha -m\gamma )a=(m\gamma -n\alpha ')e$…… (12) ;

or on a $\alpha nb=-\alpha m(e+a)$, $\gamma mb=-m(\alpha 'e+\alpha a)$ ; donc

$(n\alpha -m\gamma )b=(\alpha '-\alpha ')me$…… (13) ;

enfin on trouvera $\gamma 'e-\gamma a+\alpha c=0$, éliminant $a$ au moyen de l’équation (8), il vient

$(n\alpha -m\gamma )c=(\gamma -\gamma ')ne$…… (14) ;

On trouve de même $\beta 'e+\delta b-\beta d=0$, ou $\beta 'e+\delta b+\beta a=0$ ; éliminant $b$ au moyen de l’équation (7), il vient

$(n\beta -m\delta )a=(m\delta -n\beta ')e$…… (15) ;

or on a $\beta nb=-\beta m(e+a)$, $\delta mb=-m(\beta 'e+\beta a)$ ; donc

$(n\beta -m\delta )b=(\beta '-\beta )me$…… (16) ;

enfin on trouve $\delta 'e-\delta a+\beta c=0$, et en éliminant $a$ au moyen de l’équation (8), on a

$(n\beta -m\delta )c=(\delta -\delta ')ne$…… (17).

Le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $c$ étant $r$, si l’on détermine $A''$, $B''$, $C''$ de manière qu’on ait $A''a+B''b+C''c=r$, on trouvera au moyen des équations (12)…(17),

	$A''(m\gamma -n\alpha ')+B''(\alpha -\alpha ')m+C''(\gamma -\gamma ')n$
$=$	${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )$
	$A''(m\delta -n\beta ')+B''(\beta -\beta ')m+C''(\delta -\delta ')n$
$=$	${\frac {r}{e}}(n\beta -m\delta )$

et partant, ${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )$ et ${\frac {r}{e}}(n\beta -m\delta )$ sont entiers.

165. Exemple. La forme $3x^{2}+14xy-4y^{2}$ se change en la forme $-12x'^{2}-18x'y'+39y'^{2}$, proprement en faisant $x=4x'+ny'$, $y=-x'-2y'$, improprement en faisant $x=-74x'+89y'$, $y=15x'-18y'$. On a donc $\alpha +\alpha '=-70$, $\beta +\beta '=100$, $\gamma +\gamma '=14$, $\delta +\delta '=-20$ ; et $-{\frac {70}{24}}={\frac {100}{-20}}={\frac {5}{-1}}$. Faisons donc $m=5$, $n=-1$. Comme on doit avoir $5\mu -\nu =1$, on satisfera évidemment à cette équation en faisant $\mu =0$ et $\nu =-1$ ; d’ailleurs on trouve $e=3$, $a=-237$, $b=-1170$, $c=48$ ; leur plus grand commun diviseur $r=3$ : ce qui donne pour la transformation qui change $F$ en $G$, $x=5t-u$ et $y=-t$. La forme ambiguë $G$ est elle-même $t^{2}-16tu+3u^{2}$.

Si les formes $F$ et $F'$ sont équivalentes, la forme $G$ sera aussi renfermée dans $F'$ puisqu’elle l’est dans $F$ ; mais comme elle renferme cette même forme, elle lui sera équivalente, et partant à la forme $F$ ; ainsi dans ce cas le théorème s’énoncera ainsi :

Si $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ sont équivalentes tant proprement qu’improprement, on pourra trouver une forme ambiguë équivalente à chacune d’elles. Au reste, dans ce cas $e=\pm 1$, et partant $r$ qui divise $e$ doit être aussi $=1$.

Ce que nous avons dit suffit pour la transformation des formes en général ; passons à la représentation des nombres.

166. Si la forme $\mathrm {F}$ renferme la forme $\mathrm {F'}$ tout nombre qui pourra être représenté par $\mathrm {F'}$ pourra l’être aussi par $\mathrm {F} .$

Soient $x$, $y$ ; $x'$, $y'$ les indéterminées des formes $F$ et $F'$ respectivement, et supposons que le nombre $M$ puisse être représenté par $F'$ en faisant $x'=m$ et $y'=x$, et que la forme $F$ se change en $F'$ par la transformation $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, il est évident que $F$ deviendra $M$ en faisant $x=\alpha m+\beta n$, $y=\gamma m+\delta n$.

Si $M$ peut être représenté de plusieurs manières par $F'$, savoir, en faisant encore $x=m'$, $y=n'$, il pourra l’être aussi de plusieurs manières par $F$ : en effet, si l’on avait à-la-fois $\alpha m+\beta n=\alpha m'+\beta n'$, et $\gamma m+\delta n=\gamma m'+\delta n'$, il s’ensuivrait $m(\alpha \delta -\beta \gamma )=m'(\alpha \delta -\beta \gamma )$ et $n(\alpha \delta -\beta \gamma )=n'(\alpha \delta -\beta \gamma )$, ce qui exige que $\alpha \delta -\beta \gamma =0$, et partant, que le déterminant de la forme $F'$ soit $=0$, contre l’hypothèse, ou que $m=m'$ et $n=n'$, il suit de là qu’il y a au moins autant de manières de représenter $M$ par $F$ que par $F'$.

Si donc $F$ et $F'$ sont équivalentes, tout nombre qui pourra être représenté par l’une pourra l’être par l’autre et d’autant de manières.

Observons enfin que dans ce cas le plus grand diviseur commun des nombres $m$ et $n$ est égal au plus grand diviseur commun des nombres $\alpha m+\beta n$, $\gamma m+\delta n$. Soit en effet $\Delta$ ce diviseur, prenons les nombres $\mu$ et $\nu$ tels qu’on ait $\mu m+\nu n=\Delta$, on aura

	$(\delta \mu -\gamma \nu )(\alpha m+\beta n)-(\beta \mu -\alpha \nu )(\gamma m+\delta n)$
$=$	$(\alpha \delta -\beta \gamma )(\mu m+\nu n)$
$=$	$\pm \Delta$

Donc le plus grand diviseur commun des nombres $\alpha m+\beta n$, $\gamma m+\delta n$ divisera $\Delta$ ; mais $\Delta$ le divise, puisqu’il divise évidemment $\alpha m+\beta n$, $\gamma m+deltan\ ;$ donc ce plus grand commun diviseur est égal à $\Delta$. Il suit de là que si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, $\alpha m+\beta n$ et $\gamma m+\delta n$ le seront aussi.

167. Théorème. Si les formes $\mathrm {ax^{2}+2bxy+cy^{2}\dots (F)} ,$ $\mathrm {a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}\dots (F')}$ sont équivalentes, que leur déterminant soit $\mathrm {D} ,$ que la dernière se change en la première en faisant $\mathrm {x'=\alpha x+\beta y} ,$ $\mathrm {y'=\gamma x+\delta y} ,$ que d'ailleurs le nombre $\mathrm {M}$ soit représenté par la forme $\mathrm {F}$ en faisant $\mathrm {x=m} ,$ $\mathrm {y=n} ,$ et partant, par la forme $\mathrm {F'}$ en faisant $\mathrm {x'=\alpha m+\beta n=m'} ,$ $\mathrm {y'=\gamma m+\delta n=n'} ,$ $\mathrm {m}$ et $\mathrm {n}$ et parconséquent $\mathrm {m'}$ et $\mathrm {n'}$ étant premiers entre eux, les deux représentations appartiendront à la même valeur de l’expression $\mathrm {{\sqrt {D}}{\pmod {M}}} ,$ ou à des valeurs opposées, suivant que la transformation de $\mathrm {F'}$ en $\mathrm {F}$ sera propre ou impropre.

Soient déterminés les nombres $\mu$, $\nu$ de manière qu’on ait $\mu m+\nu n=1$, et soient faits ${\frac {\delta \mu -\gamma \nu }{\alpha \delta -\beta \gamma }}=\mu '$, $-{\frac {\beta \mu +\alpha \nu }{\alpha \delta -\beta \gamma }}=\nu '$^[3]. On aura (n^o précéd.) $\mu 'm'+\nu 'n'=1$. Soit d’ailleurs

$\mu (bm+cn)$	$-\nu (am+bn)$	$=V$
$\mu '(b'm'+c'n')$	$-\nu '(a'm'+b'n')$	$=V'$

$V$ et $V'$ sont les valeurs de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ auxquelles appartiennent la première et la seconde représentation. Cela posé, si dans $V'$ on met pour $m'$, $n'$, $\mu '$, $\nu '$ leurs valeurs, et dans $V$ pour $a$… $a'\alpha ^{2}+2b'\alpha \gamma +c'\gamma ^{2}$, pour $b$… $a'\alpha \beta +b'(\alpha \delta +\beta \gamma )+c'\gamma \delta$ pour $c$… $a'\beta ^{2}+2b'\beta \delta +c'\delta ^{2}$, on trouve, toutes réductions faites, $V=V'(\alpha \delta +\beta \gamma )$, et partant $V=V'$ ou $V=-V'$, suivant que $\alpha \delta +\beta \gamma$ sera $=+1$ ou $=-1$. Donc, etc.

Si donc on a plusieurs représentations d’un nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ au moyen des valeurs de $x$, $y$ premières entre elles et qui appartiennent à des valeurs différentes de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ ; les représentations par la forme $(a',b',c')$ appartiendront aux mêmes valeurs, et s’il n’y a aucune représentation du nombre $M$ par une certaine forme, qui appartienne à une certaine valeur donnée, il n’y en aura aucune non plus qui appartienne à cette valeur pour une forme équivalente.

168. Théorème. Si le nombre $\mathrm {M}$ peut être représenté par la forme $\mathrm {ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$ en donnant à $\mathrm {x}$ et $\mathrm {y}$ des valeurs $\mathrm {m}$ et $\mathrm {n}$ premières entre elles, et que $\mathrm {N}$ soit la valeur de l’expression $\mathrm {{\sqrt {D}}{\pmod {M}}}$ à laquelle cette représentation appartienne, les formes $\mathrm {(a,b,c)}$ et $\mathrm {\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)}$ seront proprement équivalentes.

Il suit du n^o 155 qu’on peut trouver des nombres entiers $\mu$ et $\nu$ qui satisfassent aux équations

$m\mu +n\nu$	$=$	$1$,
$\mu (bm+cn)-\nu (am+bn)$	$=$	$N\,;$

Cela fait, la forme $(a,b,c)$ se change, au moyen de la substitution $x=mx'-\nu y',$ $y=mx'-\nu y',$ en une forme dont le déterminant $=D(m\mu +n\nu )^{2}=D$, c’est-à-dire en une forme équivalente. Si on suppose cette forme $=(A,B,C),$ on aura $C={\frac {B^{2}-D}{A}},$ d’ailleurs

$A=$	$am^{2}+2bmn+cn^{2}$	$=M,$
$B=-$	$m\nu a+(m\mu -n\nu )b+n\mu c$	$=N$ ;

donc la forme $(A,B,C)$ revient à $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$.

Au reste, des équations

$m\mu +n\nu$	$=$	$1$,
$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)$	$=$	$N$

on déduit

$\mu$	$=$	${\frac {ma+nb+nN}{M}}$,
$\nu$	$=$	${\frac {mb+nc-mN}{M}},$

qui seront ainsi des nombres entiers.

Il faut observer que cette proposition n’a pas lieu quand $M=0,$ car dans ce cas on doit avoir $N^{2}-D=0,$ d’où il suit que ${\frac {N^{2}-D}{M}}$ est indéterminé.

169. Si l’on a plusieurs représentations du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ qui appartiennent à la même valeur $N$ de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$, en supposant toujours les valeurs de $x,\,y$ premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres de la forme $(a,b,c)$…(F) en $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$… (G) ; savoir, si une de ces représentations provient des valeurs $x=m'$, $y=n'$, $F$ se changera en $G$ par la substitution

$x=m'x'+{\frac {m'N-m'b-n'}{M}}$……$y=n'x'+{\frac {n'N-m'a-n'b}{M}}.$

Réciproquement, une transformation propre de $F$ en $G$ étant donnée, on en déduira une représentation de $M$ par la forme $F$, qui appartiendra à la valeur $N.$ Si $F$ se change en $G$ en posant $x=mx'-\nu y'$ et $y=mx'+\mu y'$, on représentera $M$ par la forme $F$ en posant $x=m$, $y=n$ et comme $m\mu +n\nu =1$, la valeur de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ à laquelle appartient la représentation sera $\mu (bm+cn)-\nu (am+bn)=N$. En outre de plusieurs trans formations propres différentes, on déduirait autant de représentations diverses appartenantes à la valeur $N$ ; car si l’on supposait que la même représentation pût dériver de deux transformations propres différentes, ces deux transformations étant $x=mx'-\nu y'$ et $y=nx'+\mu y'$, $x=mx'-\nu 'y'$, $y=nx'+\mu 'y'$ ; des deux équations

$m\mu +n\nu$	$=$	$m\mu '+n\nu '$
$\mu (ma+nb)-\nu (ma+nb)$	$=$	$\mu '(mb+nc)-\nu '(ma+nb)$,

on déduit sans peine qu’il faudrait qu’on eût $M=0$, ou bien $\mu =\mu '$, $\nu =\nu '$ ; or la première condition est déjà exclue, et nous avons supposé $\mu '$ et $\nu '$ différens de $m$ et $n$. Il résulte de là que si on avait toutes les transformations propres de $F$ en $G$, elles donneraient toutes les représentations de $M$ par $F$, qui appartiennent à la valeur $N$. La recherche des représentations d’un nombre donné par une forme donnée, dans lesquelles les valeurs des indéterminées sont premières entre elles, se réduit donc à trouver toutes les transformations propres de cette forme en une autre forme équivalente donnée.

En appliquant ici ce que nous avons dit n^o 162, on conclut facilement que si une représentation du nombre $M$ par la forme $F$ appartenante à la valeur $N$, est donnée par les valeurs $x=\alpha$, $y=\gamma$, la formule générale qui comprend toutes les représentations du même nombre par la forme $F$, sera

$x={\frac {\alpha t-(\alpha b+\gamma c)u}{m}}\quad y={\frac {\gamma t+(\alpha a+\gamma b)u}{m}}$

$m$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, et $t$, $u$ tous les nombres entiers qui satisfont indéfiniment à l’équation

$t^{2}-Du^{2}=m^{2}$.

170. Si la forme $(a,b,c)$ est équivalente à une certaine forme ambiguë, elle sera équivalente, tant proprement qu’improprement, à la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$, ou encore elle sera proprement équivalente tant à la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$, qu’à la forme $\left(M,-N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$ (n^o 159) ; on aura donc les représentations du nombre $M$ par $F$ appartenantes soit à la valeur $+N$ soit à la valeur $-N$. Et réciproquement, si on connaît plusieurs représentations du nombre $M$ par la même forme $F$, et que ces représentations appartiennent à des valeurs opposées de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$, la forme $F$ sera équivalente à la forme $G$ tant proprement qu’improprement, et l’on pourra assigner une forme ambiguë équivalente à $F$.

Ces principes généraux sur la représentation des nombres nous suffisent pour ce que nous avons à dire à présent. Nous parlerons plus bas des représentations où les indéterminées ne doivent pas avoir de valeurs premières entre elles. Quant aux autres propriétés, les formes dont le déterminant est négatif, demandent à être traitées d’une manière tout-à-fait différente que celles dont le déterminant est positif. Aussi nous allons maintenant considérer séparément chacun de ces cas : nous commencerons par le premier comme étant le plus facile.

171. Problème. Étant proposée une forme quelconque $\mathrm {(a,b,a')}$ dont le déterminant est négatif, et $\mathrm {=-D}$, trouver une forme $\mathrm {(A,B,C)}$ qui lui soit proprement équivalente, et dans laquelle $\mathrm {A}$ soit non $\mathrm {>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}}$, $\mathrm {B}$ non $\mathrm {>{\frac {1}{2}}A}$, $\mathrm {C}$ non $\mathrm {<A}$.

Nous supposons que ces trois conditions ne soient pas réunies dans la forme proposée, autrement il serait inutile de chercher la seconde forme. Soit $b'$ le résidu minimum absolu du nombre $-b$ suivant le module $a'$^[4] et $a''={\frac {b'^{2}+D}{a'}}$, qui sera entier, puisque $b'^{2}\equiv b^{2},$ d’où $b'^{2}+D\equiv b^{2}+D\equiv aa'{\pmod {a'}}.$ Maintenant, si $a''<a',$ soit encore $b''$ résidu minimum de $-b'$, suivant le module $a''$ et $a''={\frac {b''^{2}+D}{a''}}.$ Si $a'''<a''$, soit de même $b'''$ résidu absolu minimum de $-b'',$ suivant le module $a'''$, et $a^{IV}$ ; en continuant cette opération jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme $a^{(m+1)}$ de cette progression qui ne soit pas plus petit que le terme précédent $a^{(m)}$ ; ce qui arrivera nécessairement, sans quoi on aurait une suite de nombres entiers plus grands que zéro et décroissans à l’infini. Alors la forme $(a^{(m)},b^{(m)},a^{(m+1)})$ satisfera à toutes les conditions.

En effet, 1^o . dans la suite de formes $(a,b,a')$, $(a',b',a'')$, $a'',b'',a''')$, etc., une quelconque est contiguë à celle qui la précède ; donc la dernière est proprement équivalente à la première (n^os 159 et 160).

2^o . Comme $b^{(m)}$ est le résidu minimum absolu de $-b^{(m-1)}$ suivant le module $a^{(m-1)}$, il ne sera pas plus grand que ${\frac {1}{2}}a^{(m)}$ (n^o 4.).

3^o . Puisque $a^{(m)}.a^{(m+1)}=D+b^{(m)2}$, et que $a^{(m+1)}$ non $<a^{(m)}$, $a^{(m)2}$ ne sera $>D+b^{(m)2}$ ; et comme $b^{(m)}$ est non $>{\frac {1}{2}}a^{(m)}$, $a^{(m)2}$ ne sera pas $>D+{\frac {1}{4}}a^{(m)2}$, ou $>{\frac {3}{4}}a^{(m)2}$ ne sera pas plus grand que $D$ ; donc enfin $a^{(m)}$ non $>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}$.

Exemple. Soit la forme $(304,217,155)$ dont le déterminant $=-31$, on trouve la suite de formes : $(304,217,155)$, $(155,-62,25)$, $(25,12,7)$, $(7,2,5)$, $(5,-2,7)$ ; et la dernière est la forme cherchée. De même, pour la forme $(121,49,20)$ dont le déterminant est $-19$, on trouve les formes équivalentes : $(20,-9,5)$, $(5,-1,4)$, $(4,1,5)$ ; donc $(4,1,5)$ est la forme cherchée.

Nous appellerons formes réduites les formes $(A,B,C)$, qui sont telles que, le déterminant étant négatif on ait $A$ non $>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}$, $B$ non $>{\frac {1}{2}}A$, et $C$ non $<A$ ; ainsi on peut trouver une forme réduite proprement équivalente à une forme donnée quelle qu’elle soit.

172. Problème. Trouver les conditions nécessaires pour que deux formes réduites non identiques et de même déterminant négatif, soient proprement équivalentes.

Soient les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ dont le déterminant est $-D$ ; supposons, ce qui est permis, que $a'$ ne soit pas $>a$, et que la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ se change en $a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}$, par la substitution propre $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$. On aura les équations

$a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}$	$=a'$	……(1)
$a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta$	$=b'$	……(2)
$\alpha \delta -\beta \gamma$	$=1$	……(3)

L’équation (1) peut se mettre sous la forme $aa'=(a\alpha +b\gamma )^{2}+Dy^{2}$, donc $aa'$ est positif ; et comme on a d’ailleurs $ac=D+b^{2}$, $a'c'=D+b'^{2}$, il s’ensuit que $ac$, $a'c'$, $aa'$ sont positifs, et partant que $a$, $a'$, $c$, $c'$ sont tous de même signe. Mais $a$ et $a'$ sont non $>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}$ donc $aa'$, et à plus forte raison $D\gamma ^{2}$ ne sera pas $>{\frac {4}{3}}D$ ; mais $\gamma$ doit être entier, il sera donc $0$ ou $\pm 1$.

I. Si $\gamma =0$, l’équation (3) donne $\alpha \delta =1$, et partant $\alpha =\pm 1$, et $\delta =\pm 1$ : dans les deux cas, il résulte de l’équation (1), $a=a'$, et de l’équation (2) $b'-b=\pm \beta a$ ; mais $b$ est non $>{\frac {1}{2}}a$, $b'$ non $>{\frac {1}{2}}a'$, et partant non $>{\frac {1}{2}}a$ ; donc l’équation $b'-b=\pm \beta a$ ne peut avoir lieu si $b$ est de même signe que $b'$, à moins qu’on n’ait $b=b'$, d’où s’ensuivrait $c'={\frac {b'^{2}+D}{a'}}={\frac {b^{2}+D}{a}}=c$, et partant, à moins que les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ ne soient identiques, ce qui est contre l’hypothèse. Si $b$ et $b'$ sont de signe contraire, cette équation n’aura lieu non plus qu’en supposant $b=b'\pm {\frac {1}{2}}a$, ce qui donne de même $c'=c$ ; la forme $(a',b',c')$ sera donc $(a,-b,c)$, c’est-à-dire opposée à la forme $(a,b,c)$. On voit d’ailleurs que ces formes sont ambiguës, puisque $2b=+a$ (n^o 163).

II. Si $\gamma =\pm 1$, l’équation (1) devient $a\alpha ^{2}+c-a'=\pm 2b\alpha$ ; mais $c$ n’est pas $<a$, et parconséquent pas $<a'$ ; donc $2b\alpha$ n’est certainement pas $<a\alpha ^{2}\ ;$ ainsi $2b$ n’étant pas $>a$, $\alpha$ ne sera pas $<\alpha ^{2}$, ce qui exige qu’on ait $\alpha =0$, ou $\alpha =\pm 1$.

1^o . Si $\alpha =0$, l’équation (1) donne $c=a'$, et comme on a à-la-fois $a$ non $>a'$ et non $<c$, il s’ensuit que $a=a'=c$ : or l’équation (3) donne $\beta \gamma =-1$, et partant l’équation (2) devient $b+b'=\pm \delta a$. On pourra supposer seulement ici, comme dans le cas précédent, $b=b'$, ou $b=-b'$. Par la première supposition, les formes $(a,b,c),$ ${\displaystyle }$(a', b’, c') seraient identiques, par la seconde elles seront opposées.

2^o . Si $\alpha =\pm 1$, l’équation (1) donne $a+c-a'=\mp 2b$ ; mais $a$ et $c$ sont tous deux non $<a'$, donc $2b$ sera non $<a$ et non $<c$ ; d’ailleurs on a $2b$ non $>a$ et non $>c$ ; donc nécessairement ${\displaystyle }$. L’équation $a+c-a'=\mp 2b$ donne alors $\pm 2b=a'$, ainsi l’équation (2) devient

$a(\alpha \beta +\gamma \delta )+b(\alpha \delta +\beta \gamma )=b',$

ou comme $\alpha \delta -\beta \gamma =1$,

$b'-b=a(\alpha \beta +\gamma \delta )+2b\beta \gamma )+2b\beta \gamma =a(\alpha \beta +\gamma \delta \mp \beta \gamma ),$

ce qui exige, comme ci-dessus, que $b=b'$, ou que $b=-b'$. Or, dans le premier cas, les formes seraient identiques contre l’hypothèse ; dans le second, elles sont opposées et ambiguës.

Il résulte de cette analyse que les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ ne peuvent être équivalentes, à moins qu’elles ne soient opposées et en même temps ambiguës, ou telles que $a=c=a'=c'$. Il était évident, a priori, que dans ce cas les formes sont proprement équivalentes ; car, comme opposées, elles sont improprement équivalentes, et comme ambiguës, elles le sont aussi proprement. Mais si $a=c$, la forme, $\left({\frac {D+(a-b)^{2}}{a}},a-b,a\right)$ sera contiguë, et partant équivalente à $(a,b,c)$ ; mais comme $D+b^{2}=ac=a^{2}>$, on a ${\frac {D+(a-b)^{2}}{a}}=2a-2b$, et la forme $(2a-2b,a-b,d)$ est ambiguë ; donc $(a,b,c)$ sera aussi proprement équivalente à son opposée.

On juge facilement par là si deux formes réduites $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ non opposées, peuvent être improprement équivalentes. En effet, elles le seront, si $(a,b,c)$ et $(a',-b',c')$ qui ne sont pas identiques, sont proprement équivalentes ; sinon elles ne le seront pas. Il suit de là que les formes proposées, pour être improprement équivalentes, doivent être identiques, et en outre ambiguës, ou telles qu’on ait $a=c$. Mais les formes qui ne sont ni identiques, ni opposées, ne peuvent être équivalentes ni proprement ni improprement.

173. Problème. Étant données deux formes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ de même déterminant négatif, chercher si elles sont équivalentes.

Cherchons deux formes réduites $f$ et $f'$ proprement équivalentes aux formes $F$, $F'$ respectivement. Si les formes $f$, $f'$ sont équivalentes proprement ou improprement, ou des deux manières, $F$ et $F'$ le seront aussi ; mais si $f$ et $f'$ ne sont équivalentes d’aucune manière, $F$ et $F'$ ne le seront pas non plus.

Par le n^o précédent, il peut arriver quatre cas :

1^o . Si $f$ et $f'$ ne sont ni identiques ni opposées, $F$ et $F'$ ne seront équivalentes d’aucune manière.

2^o . Si $f$ et $f'$ sont d’abord identiques ou opposées, et ensuite ambiguës, ou telles que leurs termes extrêmes soient égaux, $F$ et $F'$ seront équivalentes proprement et improprement.

3^o . Si $f$ et $f'$ sont identiques, mais qu’elles ne soient pas ambiguës, ou qu’elles n’aient pas leurs termes extrêmes égaux, $F$ et $F'$ ne seront que proprement équivalentes.

4^o . Si $f$ et $f'$ sont opposées, mais qu’elles ne soient point ambiguës, ou qu’elles n’aient point leurs termes extrêmes égaux, les formes $F$ et $F'$ seront seulement improprement équivalentes.

Exemple. On trouve pour les formes $(41,35,30)$, $(7,18,47)$ dont le déterminant est $-5$, les réduites $(1,0,5)$, $(2,1,3)$ qui leur sont respectivement équivalentes ; donc les formes proposées ne sont équivalentes en aucune manière. Mais les formes $(23,38,63)$, $(15,20,27)$ ont la même réduite $(2,1,3)$, et comme elle est en même temps ambiguë, les formes proposées seront équivalentes proprement et improprement. Les formes $(37,53,78)$, $(53,73,102)$ ont pour réduites $(9,2,9)$ et $(9,-2,9)$ ; comme elles sont opposées et que leurs termes extrêmes sont égaux, les formes proposées sont équivalentes tant proprement qu’improprement.

174. Le nombre des formes réduites qui ont un déterminant donné $-D$, est toujours fini, et même assez petit par rapport au nombre $D$, et il y a deux manières de trouver ces formes elles-mêmes ; désignons indéfiniment par $(a,b,c)$ les formes réduites dont le déterminant est $-D$, il s’agit de déterminer toutes les valeurs de $a$, $b$, et $c$.

Première Méthode. On prendra pour $a$ tous les nombres tant positifs que négatifs qui ne sont pas plus grands que ${\sqrt {{\frac {4}{3}}D}}$, et dont $-D$ est résidu quadratique ; et pour chaque valeur de $a$, en prendra $b$ successivement égal à toutes les valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {a}}$, qui ne sont pas $>{\frac {1}{2}}a$, en les prenant tant positiveraient que négativement. Quant à $c$, on le fera $={\frac {D+b^{2}}{a}}$. S’il résulte de là quelques formes dans lesquelles $c<a$, elles seront à rejeter, et les autres seront évidemment des fondes réduites.

Deuxième Méthode. Soient pris pour $b$ tous les nombres positifs ou négatifs qui ne surpassent pas ${\sqrt {\frac {D}{3}}}$ pour chaque valeur de $b$, on décomposera $b^{2}+D$ de toutes les manières possibles, en deux facteurs pris positivement ou négativement, et non plus petits que $2b$, en prenant l’un des deux, le plus petit s’ils sont inégaux, pour la valeur de $a$, et l’autre pour la valeur de $c$. S’il en résulte quelques formes daüs lesquelles ${\displaystyle }$ elles seront à rejeter ; les autres seront visiblement des formes réduites. Il est d’ailleurs évident qu’il n’y a pas une forme réduite qui ne puisse se trouver par chacune des deux méthodes.

Exemple. Soit $D=85$. Par la première méthode, la limite des valeurs de $a$ est ${\sqrt {\frac {340}{3}}}$ qui tombe entre $10$ et $11$. Or les nombres compris entre $1$ et $10$, et dont le résidu est $85$, sont : $1$, $2$, $5$, $10$, d’où résultent les douze formes suivantes :
$(1,0,85)$, $(-1,0,-85)$ ; $(2,1,43)$, $(2,-1,43)$, $(-2,+1,-43)$, $(-2,-1,-43)$ ; $(5,0,17)$, $(-5,0,-17)$ ; $(10,5,11)$, $(10,-5,11)$, $(-10,5,-11)$, $(-10,-5,-11)$.

Par la seconde méthode, la limite des valeurs de $b$ est ${\sqrt {\frac {85}{3}}}$ qui tombe entre $5$ et $6$. En supposant $b=0$, on trouve les formes : $(1,0,85)$, $(-1,0,-85)$, $(5,0,17)$, $(-5,0,-17)$ ; pour $b=\pm 1$ : $(2,\pm 1,43)$, $(-2,\pm 1,-43)$. Il n’y en a aucune pour $b=\pm 2$, parceque $89$ n’est pas décomposable en deux facteurs dont chacun soit non $<4$. La même chose a eu lieu pour $b=\pm 3$ et $\pm 4$. Enfin, pour $b=\pm 5$, il vient $(10,\pm 5,11)$, $(-10,\pm 5,-11)$.

175. Si parmi toutes les formes déduites d’un déterminant donné, on supprime une des deux qui sans être identiques sont proprement équivalentes, celles qui resteront jouiront de cette propriété remarquable, qu’une forme quelconque de même déterminant sera proprement équivalente à quelqu’une d’entre elles, et à une seule ; car, sans cela, il resterait encore des formes réduites proprement équivalentes entre elles. D’où il suit que toutes les formes de même déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu’il sera resté de formes réduites, en comprenant dans la même classe les formes qui sont proprement équivalentes à la même réduite.

Ainsi, pour $D=85$, il reste les huit formes réduites,

$(1$,	$0$,	$85)$,	$(2$,	$1$,	$43)$,	$(5$,	$0$,	$17)$,	$(10$,	$5$,	$11)$,
$(-1$,	$0$,	$-85)$,	$\;(-2$,	$1$,	$-43)$,	$\;(-5$,	$0$,	$-17)$,	$\;(-10$,	$5$,	$-11)$.

Donc toutes les formes dont le déterminant est $-85$, peuvent se distribuer en huit classes, suivant qu’elles sont proprement équivalentes à la première, à la deuxième, etc. ; et il est clair que les formes d’une même classe sont proprement équivalentes, tandis que deux formes prises dans deux classes différentes ne sauraient être proprement équivalentes. Mais nous traiterons ci-après, avec plus de détail, le sujet de la classification des formes ; nous n’ajoutons ici qu’une observation. Nous avons déjà fait voir que si le déterminant de la forme $(a,b,c)$ est négatif, $a$ et $c$ sont de même signe, et on s’assurera, comme nous l’avons fait pour les formes réduites, que si $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ sont deux formes équivalentes $a$, $a'$, $c$, $c'$ seront de même signe^[5]. Il suit de là que les formes dont les termes extrêmes sont positifs, sont absolument distinctes de celles dont les termes extrêmes sont négatifs, et qu’il suffit dans les formes réduites, de considérer celles qui ont leurs termes extrêmes positifs, car les autres sont en même nombre, et elles naissent des premières, en changeant les signes des termes extrêmes. La même chose a lieu pour les formes réduites à rejeter et à retenir.

176. Voici en conséquence une table qui contient, pour quelques déterminans négatifs, les formes suivant lesquelles toutes celles du même déterminant peuvent se distribuer en classes ; mais, suivant la remarque du n^o précédent, nous n’en avons mis que la moitié, c’est-à-dire celles dont les termes extrêmes sont positifs.

$1$…	$(1,0,\;\ 1).$
$2$…	$(1,0,\;\ 2).$
$3$…	$(1,0,\;\ 3),$	$(2,1,2).$
$4$…	$(1,0,\;\ 4),$	$(2,0,2).$
$5$…	$(1,0,\;\ 5),$	$(2,1,3).$
$6$…	$(1,0,\;\ 6),$	$(2,0,2).$
$7$…	$(1,0,\;\ 7),$	$(2,1,4).$
$8$…	$(1,0,\;\ 8),$	$(2,0,4),$	$(3,1,3).$
$9$…	$(1,0,\;\ 9),$	$(2,1,5),$	$(3,0,3).$
$10$…	$(1,0,10),$	$(2,0,5).$
$11$…	$(1,0,11),$	$(2,1,6),$	$(3,1,4),$	$(3,-1,4).$
$12$…	$(1,0,12),$	$(2,0,6),$	$(3,0,4),$	$(4,\;\;\ 2,4).$

Il serait superflu de continuer plus loin cette table, puisque nous donnerons plus bas une bien meilleure manière de la disposer.

Il résulte de cette table que toute forme dont le déterminant est -1, équivaut proprement à la forme $x^{2}+y^{2}$, si les termes extrêmes sont positifs, et à la forme $-x^{2}-y^{2}$, s’ils sont négatifs ; que toute forme dont le déterminant est $-2,$ et dont les termes extrêmes sont positifs, équivaut à la forme etc. ; que toute forme dont le déterminant est $-11$, et dont les termes extrêmes sont positifs, équivaut à l’une des quatre : $x^{2}+11y^{2}$, $2x^{2}+2xy+6y^{2}$, $3x^{2}+2xy+4y^{2}$, $3x^{2}-2xy+4y^{2}$, etc.

177. Problème. Étant donnée une suite de formes telle que chacune soit contiguë à celle qui la précède par la dernière partie, trouver une transformation propre de la première en une quelconque de la suite.

Soient les formes $(a,b,a')=F$, $(a',b',a'')=F'$, $(a'',b'',a''')=F''$, $a''',b''',c^{(IV)}=F'''$… etc. Faisons ${\frac {b+b'}{a'}}=h'$, ${\frac {b'+b''}{a''}}=h''$, ${\frac {b''+b'''}{a'''}}=h'''$, etc. nommons $x$, $y$,…$x'$, $y'$…$x''$,$y''$, etc. les indéterminées des formes $F$, $F'$, $F''$, etc. et supposons que $F$ se change

en	$F'$ par la substitution	$x=\alpha 'x'+\beta 'y'$,		$y=\gamma 'x'+\delta 'y'$
	$F''$…………………	$x=\alpha ''x''+\beta ''y''$,	…	$y=\gamma ''x''+\delta ''y''$
	$F'''$…………………	$x=\alpha '''x'''+\beta '''y'''$,	…	$y=\gamma '''x'''+\delta '''y'''$.

Cela posé, comme $F$ se change en $F'$ en faisant $x=-y'$ et $y=x'+h'y'$,$F'$ en $F''$ en faisant $x'=-y''$…$y'=x''+h'y''$, $F''$ en $F'''$ en faisant $x''=-y''$ et $y''=x''+h''y''$, etc. on trouvera facilement les équations suivantes :

$\alpha '$

$=$

$0$

$\beta '$

$=$

$-1$

$\gamma '$

$=$

$1$

$\delta '$

$=$

$h'$

$\alpha ''$

$=$

$\beta '$

…

$\beta ''$

$=$

$h''\beta '-\alpha '$

…

$\gamma ''$

$=$

$\delta '$

…

$\delta ''$

$=$

$h''\delta '-\gamma '$

$\alpha '''$

$=$

$\beta ''$

…

$\beta '''$

$=$

$h'''\beta ''-\alpha ''$

…

$\gamma '''$

$=$

$\delta ''$

…

$\delta '''$

$=$

$h'''\delta ''-\gamma ''$

$\alpha ^{IV}$

$=$

$\beta '''$

…

$\beta ^{IV}$

$=$

$h'''\beta '''-\alpha '''$

…

$\gamma ^{IV}$

$=$

$\delta '''$

…

$\delta ^{IV}$

$=$

$h^{IV}\delta '''-\gamma '''$

etc.

etc.

etc.

etc.

d’où l’on tire

$\alpha '$

$=$

$0$

$\beta '$

$=$

$-1$

$\gamma '$

$=$

$1$

$\delta '$

$=$

$h'$

$\alpha ''$

$=$

$\beta '$

…

$\beta ''$

$=$

$h''\beta '-\alpha '$

…

$\gamma ''$

$=$

$\delta '$

…

$\delta ''$

$=$

$h''\delta '-1$

$\alpha '''$

$=$

$\beta ''$

…

$\beta '''$

$=$

$h'''\beta ''-\alpha ''$

…

$\gamma '''$

$=$

$\delta ''$

…

$\delta '''$

$=$

$h'''\delta ''-\delta '$

$\alpha ^{IV}$

$=$

$\beta '''$

…

$\beta ^{IV}$

$=$

$h'''\beta '''-\alpha '''$

…

$\gamma ^{IV}$

$=$

$\delta '''$

…

$\delta ^{IV}$

$=$

$h^{IV}\delta '''-\delta ''$

etc.

etc.

etc.

etc.

il suit du n^o 159, et de la formation de ces quantités, que les différentes transformations sont propres.

Cet algorithme très-simple, et auquel on applique facilement le calcul, est analogue à celui du n^o 27^[6], auquel même il est facile de le ramener. Au reste, cette solution n’est pas restreinte au cas des formes de déterminant négatif ; elle convient à tous les cas, pourvu qu’aucun des nombres $a'$, $a''$, $a''$, etc. ne soit égal à zéro.

178. Problème. Étant données deux formes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {f}$ de même déterminant négatif et proprement équivalentes, trouver une transformation propre de l’une en l’autre.

Supposons que $F$ soit la forme $(A,B,A')$ ; par la méthode du n^o 171, on cherchera la suite des formes $(A',B',A''),$ $(A'',B'',A'''),$ etc. jusqu’à la réduite $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)}).$ Soit $(a,b,a')$ l’autre forme $f\,;$ on cherchera de même la suite $(a',b',a''),$ $(a'',b'',a'''),$ etc. jusqu’à $(a^{(m)},b^{(m)},a^{(n+1)}),$ qui est la réduite. Alors il peut se présenter deux cas :

1^o. Si les formes $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)})$, $(a^{(n)},b^{(n)},a^{(n+1)})$ sont identiques, ou à-la-fois opposées et ambiguës, les formes $(A^{(m-1)},B^{(m-1)},A^{(m)})$, $(a^{(n)},b^{(n-1)},a^{(n-1)})$ seront contigues, $A^{(m-1)}$ désignant l’avant-dernier terme de la suite $A$, $A'$, $A''$, etc. (il en est de même de $B^{(m-1)}$, $a^{(n-1)}$, $b^{(n-1)}$ ; car, $A^{(n)}=a^{(n)}$, $B^{(m-1)}+B^{(m)}\equiv 0{\pmod {A^{(m)}}},$ $b^{(n-1)}+b^{(n)}\equiv 0{\pmod {a^{(m)}=A^{(m)}}},$
d’où $B^{(m-1)}-b^{(n-1)}+B^{(m)}-b^{(n)}\equiv 0\,;$ mais si les formes réduites sont identiques, $B^{(m)}-b^{(n)}=0$ ; si elles sont opposées et ambiguës, $B^{(m)}-b^{(n)}=A^{(n)}$ ; donc dans les deux cas $B^{(m-1)}-b^{(n-1)}\equiv 0$. Il suit de là que dans la suite de formes :

$(A,B,A')$, $(A',B',A'')$ …$(A^{(m-1)},B^{(m-1)},A^{(m)}),$

$(a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)}),(a^{(n-1)},-b^{(n-2)},a^{(n-2)})\ldots$

$(a',-b,a)$, $(a,b,a').$

Une quelconque est contiguë à celle qui la précède, et parconséquent (n^o précéd.) on pourra trouver une transformation propre de $F$ en $f$.

2^o. Si les formes $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)})$, $(a^{(n)},-b^{(n)},a^{(n+1)})$ n’étant pas identiques, sont opposées et que leurs termes extrêmes soient égaux, on aura $A^{(m)}=A^{(m+1)}=a^{(n)}=a^{(n+1)}$, d’où $A^{(m+1)}=a^{(n)}$, et $B^{(m)}-b^{(n-1)}=-(b^{(n)}+b^{(n-1)})$, et partant divisible par ${\displaystyle }$ ; donc la forme $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)})$ est contiguë à la forme $(a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)})$, et la suite :

$(A,B,A')$, $(A',B',A'')$ …$(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)}),$

$(a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)}),(a^{(n-1)},-b^{(n-2)},a^{(n-2)})\ldots$

$(a',-b,a)$, $(a,b,a').$

jouit de la même propriété que la précédente. On pourra donc trouver une transformation propre de $F$ en $f$.

Exemple. Soient les deux formes $(23,38,63)$, $(15,20,27)$ ; On trouvera

pour	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right.$	la 1ère…	$(23,38,63),$	$(63,25,10),$	$(10,5,3),$	$(3,1,2),$	$(2,-1,3)$.
		la 2e …	$(15,20,27),$	$(27,\ \ 7,\ \ 2),$	$(\ \ 2,1,3).$

Les deux réduites sont opposées et ambiguës ; les deux formes proposées se rapportent parconséquent au premier cas. La suite de formes contiguës sera donc

$(23,28,63)$,	$(63,\;\;\ 25,10)$,	$(10,\;\;5,\;\ 3)$,	$(3,1,2)$,
$(\;2,-7,27)$,	$(27,-20,15)$,	$(15,20,27)$.

Il en résulte $h'={\frac {38+25}{63}}=1$, $h''={\frac {25+5}{10}}=3$, $h'''=2$, $h^{IV}=-3$, $h^{V}=-1$, $h^{VI}=0$, d’où l’on déduit $\alpha ^{VI}=-13$, $\beta ^{VI}=-18$, $\gamma ^{VI}=8$, $\delta ^{VI}=11$. Donc en faisant $x=-13t-18u$ et $y=8t+11u$, la forme $23x^{2}+76xy+63y^{2}$ se change en $15t^{2}+40tu+27u^{2}$.

De la solution du problème précédent on déduit facilement la solution de celui-ci : $\mathrm {F}$ et $\mathrm {f}$ étant deux formes improprement équivalentes, trouver une transformation impropre de $\mathrm {F}$ en $\mathrm {f} .$ Soit en effet $f=at^{2}+2btu+a'u^{2}$, la forme $g=ap^{2}-2bpq+a'q^{2}$, qui est opposée à $f$ sera proprement équivalente à $F$. On n’a donc qu’à chercher une transformation propre de $F$ en $g$ ; soit $x=\alpha p+\beta q$, $y=\gamma p+\delta q$ cette transformation ; il est clair (n^os 158 et 159) que $F$ deviendra $f$ par la transformation $x=\alpha t-\beta u$, $y=\gamma t-\delta u$ qui sera impropre.

Si donc les formes $F$, $f$ sont équivalentes tant proprement qu’improprement, on pourra trouver une transformation propre et une transformation impropre.

179. Problème. Étant données deux formes équivalentes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {f} ,$ trouver toutes les transformations de $\mathrm {F}$ en $\mathrm {f} .$

Si les formes $F$ et $f$ ne sont équivalentes que d’une manière, c’est-à-dire, proprement ou improprement, on cherchera par le n^o précédent une transformation de $F$ en $f$, et il est clair qu’il ne peut y en avoir d’autres que celles qui sont semblables à celle-là. Si les formes $F$, $f$ sont équivalentes des deux manières, on cherchera deux transformations, l’une propre, l’autre impropre. Soit ${\displaystyle }$, ${\displaystyle }$ et $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $A$, $2B$, $C$. Alors, par le n^o 162 il est constant que toutes les transformations de $F$ en $f$ se déduiront d’une seule dans le premier cas, et que dans le second toutes les transformations propres se déduiront d’une transformation propre, et toutes les transformations impropres, d’une transformation impropre, pourvu qu’on ait toutes les solutions de l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$. Dès qu’elles seront trouvées, le problème sera résolu.

Or comme on a $D=AC-B^{2}$, il s’ensuit que $4D=4AC-4B^{2}$, ou ${\frac {4D}{m^{2}}}={\frac {4AC}{m^{2}}}-\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}$ ; donc ${\frac {4D}{m^{2}}}$ est un nombre entier. Cela posé,

1^o . Si ${\frac {4D}{m^{2}}}>4$, on aura $D>m^{2}$, et partant, dans l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$, on a nécessairement $u=0$ et $t=\pm m$. Donc si $F$ et $f$ ne sont équivalentes que d’une manière, et qu’on ait une transformation $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, on n’en trouvera pas d’autres que celle-là même qui résulte de la supposition $t=m$ (n^o 162), et la transformation $x=-\alpha x'-\beta y'$, $y=-\gamma x'-\delta y'$ ; mais si $F$ et $f$ sont équivalentes des deux manières, et qu’on ait une transformation propre $x=-\alpha x'-\beta y'$, $y=-\gamma x'-\delta y'$, et une impropre $x=-\alpha 'x'-\beta 'y'$, $y=-\gamma 'x'-\delta 'y'$, on n’en trouvera pas d’autres que ces deux, qui naissent de la supposition $t=m$, et les deux $x=-\alpha x'-\beta y'$, $y=-\gamma x'-\delta y'$, …$x=-\alpha 'x'-\beta 'y'$, $y=-\gamma 'x'-\delta 'y'$, que fournit la valeur $t=-m$.

2^o . Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=4$ ou $D=m^{2}$, l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$ admettra quatre solutions : $t=m$, $u=0$ ; $t=-m$, $u=0$ ; $t=0$, $u=1$ ; $t=0$, $u=-1$. Donc si $F$, $f$ sont équivalentes d’une seule manière, et qu’on ait la transformation $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=-\gamma 'x'+\delta 'y'$, on en tirera en tout les quatre suivantes :

$x=\pm \alpha x'\pm \beta y'$,	———	$x=\mp {\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}x'\mp {\frac {\beta B+\delta C}{m}}y'$,
$y=\pm \gamma x'\pm \delta y'$,		$y=\pm {\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}x'\pm {\frac {\beta A+\delta B}{m}}y'$ ;

mais si $F$ et $f$ sont équivalentes des deux manières ; c’est-à-dire si, outre la transformation donnée, il y en a encore une qui soit dissemblable, cette dernière en fournira encore quatre, desorte qu’il y aura huit transformations. Au reste il est aisé de démontrer que si $D=m^{2}$, $F$ et $f$ sont toujours équivalentes des deux manières. En effet, comme on a alors $m^{2}=AC-B^{2}$, $B$ lui-même sera divisible par $m$, et si l’on considère la forme $\left({\frac {A}{m}},{\frac {B}{m}},{\frac {C}{m}}\right)$, son déterminant sera $-1$, et partant elle sera équivalente à l’une des formes $(1,0,1)$, $(-1,0,-1)$. Or on voit facilement que la même transformation qui change $\left({\frac {A}{m}},{\frac {B}{m}},{\frac {C}{m}}\right)$ en $(\pm 1,0,\pm 1)$, changera la forme $(A,B,C)$ en $(\pm m,0,\pm m)$, qui est ambiguë ; donc la forme $(A,B,C)$ étant équivalente à une forme ambiguë, sera équivalente des deux manières, à la forme $(a,b,c)$ (n^os 163 et suiv.).

3^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=3$ ou $4D=3m^{2}$, $m$ sera nécessairement pair, et comme dans l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$, il faut que $u^{2}<{\frac {4}{3}}$, on aura six solutions : $t=m$, $u=0$ ; $t=-m$, $u=0$ ; $t={\frac {1}{2}}m$, $u=1$ ; $t={\frac {1}{2}}m$, $u=-1$ ; $t=-{\frac {1}{2}}m$, $u=1$ ; $t=-{\frac {1}{2}}m$, $u=-1$. Si donc on connaît deux transformations dissemblables,

$x=\alpha x'+\zeta y'$,	———	$y=\gamma x'+\delta y'$ ;
$x=\alpha 'x'+\zeta 'y'$,	———	$y=\gamma 'x'+\delta 'y'$

on en déduira douze autres, savoir, six semblables à la première, et qui sont :

$x=$	$\pm \alpha x'\pm \beta y'$	$y=\pm \gamma x'\pm \delta y'$ ;
$x=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\beta -{\frac {\beta B+\delta C}{m}}\right)y'$
$y=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\gamma +{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\delta +{\frac {\beta A+\delta B}{m}}\right)y'$,
$x=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\beta +{\frac {\beta B+\delta C}{m}}\right)y'$
$y=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\delta -{\frac {\beta A+\delta B}{m}}\right)y'$,

et six semblables à la seconde, qu’on obtiendra en mettant dans celles-ci $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ pour $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta '$. Mais on peut faire voir que dans ce cas $F$ et $f$ sont équivalentes des deux manières ; car la forme $\left({\frac {2A}{m}},{\frac {2B}{m}},{\frac {2C}{m}}\right)$ aura $-{\frac {D}{4m^{2}}}=-3$ pour déterminant, et sera par-conséquent équivalente à la forme $(\pm 1,0,\pm 3)$ ou à celle-ci $\left(\pm 2,\pm 1,\pm 2\right)$ (n^o 176), d’où l’on voit facilement que la forme $\left(A,B,C\right)$ équivaut à l’une des formes $\left(\pm {\frac {m}{2}},0,\pm {\frac {3m}{2}}\right)$, $\left(\pm m,\pm {\frac {1}{2}}m,\pm m\right)$, qui sont toutes deux ambiguës. Donc, etc.

4^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=2$, on a $\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}=4{\frac {AC}{m^{2}}}-2$, et partant $\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}\equiv {-2}{\pmod {4}}$. Mais comme aucun quarré ne peut être $\equiv {-2}{\pmod {4}}$ (n^o 103), cette hypothèse est inadmissible.

5^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=1$, on a $\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}=4{\frac {AC}{m^{2}}}-1\equiv {-1}{\pmod {4}}$, ce qui est impossible ; donc cette hypothèse est encore inadmissible.

Comme d’ailleurs $D$ ne peut être ni $=0$, ni $<0$, il n’y a pas d’autres cas que ceux que nous venons de parcourir.

180. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné $M$ par la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$…F, dont le déterminant est négatif, les valeurs de $x$ et de $y$ étant premières entre elles.

On a vu (n^o 154) que l’on ne pouvait résoudre ce problème que dans le cas où $-D$ est résidu quadratique de $M\,;$ on cherchera donc d’abord toutes les valeurs différentes, c’est-à-dire, incongrues de l’expression${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}\,;$ soient ces valeurs $\pm N$, $\pm N',$ $\pm N'',$ etc. Pour rendre le calcul plus simple, on peut prendre toutes ces valeurs telles qu’elles ne soient pas $>{\frac {1}{2}}M.$ Cela posé, comme une quelconque des représentations appartient à quelqu’une de ces valeurs, nous considérerons chacune en particulier.

Si les formes $F$, $\left(M,N,{\frac {D+N^{2}}{M}}\right)$ ne sont pas proprement équivalentes, il n’y aura aucune représentation de $M$ qui appartienne à la valeur $N$ (n^o 168) ; mais si elles le sont, on n’a qu’à chercher une transformation propre de $F$ en $\left(M,N,{\frac {D+N^{2}}{M}}\right)$, qui soit $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, et l’on aura $x=\alpha$, $y=\gamma$ pour la représentation du nombre $M$ par la forme $F$, qui appartient à la valeur $N$. Soit $m$ le plus grand diviseur commun des nombres $A$, $2B$, $C$, et nous pourrons distinguer trois cas :

1^o . Si ${\frac {4D}{m^{2}}}>4$, il n’y aura pas d’autres représentations que ces deux-ci : $x=\alpha$, $y=\gamma$ ; $x=-\alpha$, $y=-\gamma$ (n^os 169, 180).

2^o . Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=4$, il y aura quatre représentations : $x=\pm \alpha$, $y=\pm \gamma$, $x=\pm {\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}$, $y=\pm {\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}$.

3^o . Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=3$, il y aura six représentations :

$x=\pm \alpha$,	——	$y=\pm \gamma$ ;
$x=\pm {\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}$,		$y=\pm {\frac {1}{2}}\gamma +{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}$ ;
$x=\pm {\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}$,		$y=\pm {\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}$.

On cherchera de la même manière les représentations que donnent les valeurs $-N,$ $+N',$ $-N'',$ etc.

181. La recherche des représentations du nombre $M$ par la forme $F$, dans laquelle $x$ et $y$ ont des valeurs quelconques, peut se ramener au premier cas. Supposons que cette représentation ait lieu en faisant $x=\mu e$, $y=\mu f$, ensorte que $\mu$ soit le plus grand diviseur commun des nombres $\mu e$, $\mu f$, ou que $e$ et $f$ soient premiers entre eux ; on aura $M=\mu ^{2}(Ae^{2}+2Bef+Cf^{2})$, et parconséquent $M$ est divisible par $\mu ^{2}$ ; et la substitution $x=e$, $y=f$ fournira une représentation du nombre ${\frac {M}{\mu ^{2}}}$ par la forme $F$, dans laquelle $x$ et $y$ ont des valeurs premières entre elles. Si donc $M$ n’est divisible par aucun quarré, il n’y aura pas de telles représentations ; mais s’il renferme des diviseurs quarrés, que nous appellerons $\mu ^{2}$, $\nu ^{2}$, $\pi ^{2}$, etc ; On cherchera d’abord toutes les représentations du nombre ${\frac {M}{\mu ^{2}}}$ par la forme $(A,B,C)$, dans lesquelles les valeurs de $x$, $y$ sont premières entre elles ; ces valeurs multipliées par $\mu$, donneront toutes les représentations de $M$, dans lesquelles $\mu$ est le plus grand commun diviseur de $x$ et de $y$ ; de la même manière on trouvera toutes les représentations dans lesquelles $\nu$ est le plus grand commun diviseur de $x$ et de $y$, etc.

On peut donc, par les méthodes que nous venons d’exposer, trouver toutes les représentations d’un nombre donné, par une forme donnée de déterminant négatif.

182. Descendons maintenant à quelques cas particuliers remarquables autant à cause de leur élégance, que par l’assiduité avec laquelle Euler s’en est occupé.

1^o . Aucun nombre, à moins que son résidu quadratique ne soit $-1$, ne peut être représenté par la forme $x^{2}+y^{2}$, dans laquelle $x$ et $y$ sont premiers entre eux, ou sont décomposables en deux nombres quarrés premiers entre eux ; mais tous les nombres qui jouiront de cette propriété pourront se décomposer en deux quarrés. Soit $M$ un de ces nombres, et $\pm N$, $\pm N'$, $\pm N''$, etc. les valeurs de l’expression ${\sqrt {-1}}{\pmod {M}}$ ; alors par le n^o 176 la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}+1}{M}}\right)$ sera proprement équivalente à la forme $(1,0,1)$ ; soit $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$ une transformation propre de la forme $(1,0,1)$ en la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}+1}{M}}\right)$ ; on aura les quatre représentations suivantes du nombre $M$ par la forme $x^{2}+y^{2}$, savoir, $x=\pm \alpha$,$y=\pm \gamma$ ; $x=\mp \gamma$, $y=\mp \alpha$. 2^o.— n^o 180).

Comme la forme $(1,0,1)$ est ambiguë, il est évident que la forme $\left(M,-N,{\frac {N^{2}+1}{M}}\right)$ lui est aussi proprement équivalente, et que la première se change en la seconde par la transformation propre $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, d’où naissent quatre représentations de $M$ appartenantes à $-N$, $x=\pm \alpha$,$y=\mp \gamma$ ; $x=\pm \gamma$, $y=\mp \alpha$. Il suit de là qu’il y a huit représentations du nombre $M$, dont quatre appartiennent à la valeur $N$, et quatre à la valeur $-N$. Mais toutes ces représentations donnent la même décomposition du nombre $M$ en deux quarrés, $M=\alpha ^{2}+\gamma ^{2}$, tant qu’on ne considère que les quarrés, et non l’ordre et les signes des racines.

Si donc il n’y a pas d’autres valeurs que $N$ et $-N$ pour l’expression ${\sqrt {-1}}{\pmod {M}}$, ce qui arrive, par exemple, toutes les fois que $M$ est un nombre premier, $M$ ne pourra être décomposé que d’une manière en deux quarrés. Or comme $-1$ est résidu de tous les nombres premiers de la forme $4n+1$ (n^o 108), et qu’un nombre premier ne peut évidemment se partager en deux quarrés non premiers entre eux, nous aurons le théorème suivant.

Tout nombre premier de la forme $4\mathrm {n} +1$ peut être décomposé en deux quarrés, et ne peut l’être que d’une seule manière.

Ainsi :

$1$	$=$	$0$	$+$	$1$,	—	$5$	$=$	$1$	$+$	$4$,	—	$13$	$=$	$4$	$+$	$9$,	—	$17$	$=$	$1$	$+$	$16$,
$29$	$=$	$4$	$+$	$25$,	—	$37$	$=$	$1$	$+$	$36$,	—	$41$	$=$	$16$	$+$	$25$,	—	$53$	$=$	$4$	$+$	$49$,
$61$	$=$	$25$	$+$	$36$,	—	$731$	$=$	$9$	$+$	$64$,	—	$89$	$=$	$25$	$+$	$64$,	—	$97$	$=$	$16$	$+$	$81$,
											etc.

Ce théorème élégant a été donné par Fermat, mais Euler est le premier qui l’ait démontré, Comm, nov. Petr. T. V. ann. 1754 et 1755. p. 3. Dans le T. IV, il existe une dissertation sur le même sujet, p. 8 ; mais alors il n’était pas parvenu à son but.

Si donc un nombre de la forme $4n+1$ ne peut pas être décomposé en deux quarrés, ou peut l’être de plusieurs manières, on sera sûr que ce n’est pas un nombre premier.

Mais réciproquement, si l’expression ${\sqrt {-1}}{\pmod {M}}$ a encore d’autres valeurs que $N$ et $-N$, il y aura d’autres représentations de $M$. Ainsi, dans ce cas, $M$ peut se décomposer en deux quarrés de plusieurs manières ; par exemple :

$65=1+64=16+49,\quad 221=25+196=100+121.$

Les autres représentations dans lesquelles $x$ et $y$ prennent des valeurs non premières entre elles, se trouvent facilement par notre méthode. Observons seulement que si le nombre $M$ renferme des facteurs de la forme $4n+3$, dont on ne puisse pas le délivrer en le divisant par un quarré, ce qui arrivera toutes les fois que le nombre $M$ renfermera des puissances impaires de ces facteurs, il ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés^[7].

2^o . Pour qu’un nombre puisse être représenté par la forme $x^{2}+2y^{2},$ $x$ et $y$ étant premiers entre eux, il faut que ce nombre ait $-2$ pour résidu. Soit donc $M$ un nombre qui ait $-2$ pour résidu, et soit $N$ une valeur de ${\sqrt {-2}}{\pmod {M}}\,;$ alors (n^o 176) les formes $(1,0,2),$ $\left(M,-N,{\frac {N^{2}+2}{M}}\right)$ seront proprement équivalentes. Supposons que la première se change en la seconde par la transformation propre $x=\alpha x'+\beta y',$ $y=\gamma x'+\delta y',$ on aura deux représentations $x=\pm \alpha ,$ $y=\pm \gamma$ du nombre $M$ appartenantes à la valeur $N,$ et il n’y en aura pas d’autres (n^o 180 — 1^o .) D’ailleurs on voit, comme ci-dessus, que les représentations qui appartiennent à $-N$ sont $x=\pm \alpha ,$ $y=\mp \gamma .$ Mais ces quatre représentations ne donnent qu’une seule décomposition du nombre $M$ en un quarré et le double d’un quarré, et si l’expression ${\sqrt {-2}}{\pmod {M}}$ n’a pas d’autres valeurs que $N$ et $-N,$ il n’y aura pas d’autre décomposition, De là, à l’aide des propositions du n^o 116, on déduit facilement le théorème suivant :

Tout nombre premier de la forme $8\mathrm {n} +1$ ou $8\mathrm {n} +3,$ peut être décomposé en un quarré et le double d’un quarré, et cela d’une seule manière ; ainsi,

$1$	$=$	$1$	$+$	$0$,	—	$3$	$=$	$1$	$+$	$2$,	—	$11$	$=$	$9$	$+$	$2$,	—	$17$	$=$	$9$	$+$	$8$,
$19$	$=$	$1$	$+$	$18$,	—	$41$	$=$	$9$	$+$	$32$,	—	$43$	$=$	$25$	$+$	$18$,	—	$59$	$=$	$9$	$+$	$50$,
$67$	$=$	$49$	$+$	$18$,	—	$73$	$=$	$1$	$+$	$72$,	—	$83$	$=$	$81$	$+$	$2$,	—	$89$	$=$	$81$	$+$	$8$,
$97$	$=$	$25$	$+$	$72$,	—	etc.

Ce théorème, ainsi que plusieurs autres semblables, était connu de Fermat ; mais Lagrange l’a démontré le premier (Suite des Recherches Arithmétiques. Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin, 1775, p. 323). Euler avait déjà trouvé beaucoup de choses qui appartenaient à ce sujet (Specimen de usu observationum in mathesi purâ. Com. nov. Petr. T. V. ) ; mais la démonstration, complète lui a toujours échappé, p. 220. On peut voir aussi, T. VIII, la dissertation intitulée : Supplementum quorumdam theorematum arithmeticorum.

3^o . Par la même méthode on démontrera que tout nombre dont $-3$ est résidu quad., peut être représenté par la forme $x^{2}+3y^{2}$, ou par la forme $2x^{2}+2xy+2y^{2},$ de manière que $x$ et $y$ soient premiers entre eux. Donc, comme $-3$ est résidu de tous les nombres de la forme $3n+1$ (n^o 119), et qu’il n’y a que des nombres pairs qui peuvent être représentés par la forme $2x^{2}+2xy+2y^{2}$, on aura, comme plus haut, le théorème suivant :

Tout nombre premier de la forme $3\mathrm {n} +1,$ peut se décomposer en un quarré et le triple d’un quarré, et cela d’une seule manière,

$1$	$=$	$1$	$+$	$0$,	—	$7$	$=$	$4$	$+$	$3$,	—	$13$	$=$	$1$	$+$	$12$,	—	$19$	$=$	$16$	$+$	$3$,
$31$	$=$	$4$	$+$	$27$,	—	$37$	$=$	$25$	$+$	$12$,	—	$43$	$=$	$16$	$+$	$27$,	—	$61$	$=$	$49$	$+$	$12$,
$67$	$=$	$64$	$+$	$3$,	—	$73$	$=$	$25$	$+$	$48$,	—	etc.

Euler a donné le premier la démonstration de ce théorème dans le mémoire déjà cité (Comm. nov. T. VIII.). Nous pourrions continuer de la même manière, et démontrer, par exemple, que tout nombre premier de la forme $20n+1$, $20n+8$, $20n+7$, $20n+9$ (ceux dont $-5$ est résidu) peuvent être représentés par l’une ou l’autre des formes $x^{2}+5y^{2}$ et $2x^{2}+2xy+3y^{2}$ ; savoir, les nombres de la forme $20n+1$, $20n+9$, par la première ; ceux de la forme $20n+3$, $20n+7$, par seconde ; tandis que les nombres doubles de ceux de la forme $20n+1$, $20n+9$ seraient représentés par la forme $2x^{2}+2xy+3y^{2}$, et que les nombres doubles de ceux de la forme $20n+3$, $20n+7$, le seraient par la forme $x^{2}+5y^{2}$ : mais chacun, déduis facilement cette proposition, et une infinité d’autres particulières, tant de ce qui précède que de ce que nous allons exposer.

Nous passerons donc aux formes de déterminant positif, et comme leur nature diffère quand le déterminant est quarré, et quand il ne l’est pas, nous commencerons par exclure ici le premier cas, que nous considérerons ensuite à part.

1. Cette division ne serait pas possible si l’on avait $U=0$ ; mais alors les équations (19), (20), (21) naîtraient immédiatement de la première, de la troisième et de la sixième des équations précédentes.
2. Si l’on avait à-la-fois $\alpha +\alpha '=0$, $\gamma +\gamma '$, $\beta +\beta '=0$, $\delta +\delta '=0$, le rapport ${\frac {m}{n}}$ serait indéterminé, et partant la méthode inapplicable. Mais une légère attention suffit pour voir qu’on aurait alors $e=e'$, et comme d’ailleurs on a $e=-e'$, il s’ensuivrait $e=e'=0$ ; donc alors le déterminant de la forme $F'$ serait nul, et nous excluons ici les formes de déterminant zéro.
3. $\mu '$ et $\nu '$ sont des nombres entiers puisque $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$.
4. Il faut remarquer que si $a$ ou $a'$ étaient zéro, le déterminant serait un quarré positif, ce qui est contre l’hypothèse, par la même raison $a$ et $a'$ ne peuvent être de signe contraire.
5. En effet si l’on change la première de ces formes en la seconde, par la substitution
   $x=\alpha x'+\beta y'$
   $y=\gamma x'+\delta y'$

   
   on aura $a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}=a'$, d’où $aa'=(a\alpha +b\beta )^{2}+D\gamma ^{2}$ : ce produit est donc évidemment positif, et comme ni $a$ ni $a'$ ne sont nuls, il faut que tous deux soient de même signe.

6. On aurait, d’après la notation du n^o 27,
   $\beta ^{(n)}=\pm [-h'',h''',-h^{IV},\ldots \pm h^{(n)}]$,

   
   où les signes ambigus doivent être $-$, $-$ ; $-$, $+$ ; $+$, $-$ ; $+$, $+$, suivant que $n$ est de la forme $4K$, $4K+1$, $4K+2$, $4K+3$,

   $\delta ^{(n)}=\pm [h',-h'',-h''',\dots \pm h^{(n)}]$,

   
   où les signes, dans les mêmes cas, doivent être $+$, $-$ ; $+$, $+$ ; $-$, $-$ ; $-$, $+$.

   Mais le désir d’abréger nous empêche d’insister davantage sur ces formules, qu’au reste chacun pourra confirmer aisément.

7. Soit le nombre $M=2^{\mu }.S.a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$, etc., ensorte que $a$, $b$, $c$, etc. soient des facteurs premiers inégaux de la forme $4m+1$, et $S$ le produit de tous les facteurs premiers de la forme $4n+3$ ; cette forme donnée au nombre $M$ convient dans tous les cas ; pour $M$ impair, il suffit de faire $\mu =0$ ; si $M$ ne renferme aucun facteur de la forme $4n+3$, on fera $S=1$ : si $S$ n’est pas un quarré, $M$ ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés ; mais si $S$ est un quarré, il y aura ${\frac {1}{2}}(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)$, etc, décompositions de $M$, lorsque quelqu’un des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. sont impairs, et il y en aura ${\frac {1}{2}}(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)$, etc. $+{\frac {1}{2}}$ quand tous les nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. seront pairs, tant qu’on ne fait attention qu’aux quarrés eux-mêmes. Ceux qui ont quelque habitude du calcul des combinaisons, déduiront sans peine de notre théorie générale la démonstration de ce théorème, auquel nous ne pouvons nous arrêter, non plus qu’à d’autres particuliers, (Voyez n^o 105).